初中圆知识点总结与练习.docx
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1、圆圆的认识1圆的定义OAr(1)在一个平面内,线段OA绕它的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径,如右图所示。(2)圆可以看作是平面内到定点的距离等于定长的点的集合,定点为圆心,定长为圆的半径。说明:圆的位置由圆心确定,圆的大小由半径确定,半径相等的两个圆为等圆。2圆的有关概念(1)弦:连结圆上任意两点的线段。(如右图中的CD)。BOA(2)直径:经过圆心的弦(如右图中的AB)。直径等于半径的2倍。DC(3)弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧。(如右图中的、)其中大于半圆的弧叫做优弧,如,小于半圆的弧叫做劣弧。(4)圆心角:如右图中C
2、OD就是圆心角。3与圆相关的角(1)与圆相关的角的定义圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角圆周角:顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角。弦切角:顶点在圆上,一边和圆相交,另一连轴和圆相切的角叫做弦切角。(2)与圆相关的角的性质圆心角的度数等于它所对的弦的度数;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;同弧或等弧所对的圆周角相等;半圆(或直径)所对的圆周角相等;弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角;两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等;圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。4圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。(1)定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对
3、的弦的弦心距相等。(2)推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等【例1】 下面四个命题中正确的一个是( ) A过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B过弦的中点的直线必过圆心 C弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦,且过圆心 D弦的垂线平分弦所对的弧【答案】C与圆有关的位置关系1点与圆的位置关系如果圆的半径为r,某一点到圆心的距离为d,那么:(1)点在圆外(2)点在圆上(3)点在圆内2直线和圆的位置关系设r为圆的半径,d为圆心到直线的距离(1)直线和圆相离,直线与圆没有交点;(2)直线和圆相切,直线与圆有唯一交点;(3)直
4、线和圆相交,直线与圆有两个交点。3两圆的位置关系设R、r为两圆的半径,d为圆心距(1)两圆外离;(2)两圆外切;(3)两圆相交;(4)两圆内切;(5)两圆内含。(注意:如果为,则两圆为同心圆。)4. 切线的性质与判定定理 (1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线; 两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即:且过半径外端 是的切线(2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图) 推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。5. 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即:、是的两条
5、切线 平分【例2】 已知O的半径为1,点P到圆心O的距离为d,若关于x的方程x22xd=0有实根,则点P( )A在O的内部B在O的外部C在O上D在O上或O的内部【答案】D【例3】 已知:如图,PA,PB分别与O相切于A,B两点求证:OP垂直平分线段AB【答案】略【例4】 已知:如图,PA切O于A点,POAC,BC是O的直径请问:直线PB是否与O相切?说明你的理由【答案】直线PB与O相切提示:连结OA,证PAOPBO【例5】已知:如图,O1与O2外切于A点,直线l与O1、O2分别切于B,C点,若O1的半径r1=2cm,O2的半径r2=3cm求BC的长【答案】提示:分别连结O1B,O1O2,O2C
6、【例6】如图,点A,B在直线MN上,AB=11cm,A,B的半径均为1cmA以每秒2cm的速度自左向右运动,与此同时,B的半径也不断增大,其半径r(cm)与时间t(s)之间的关系式为r=1t(t0)(1)试写出点A,B之间的距离d(cm)与时间t(s)之间的函数表达式;(2)问点A出发多少秒时两圆相切?【答案】(1)当0t时,d112t;当t时,d2t11(2) 第一次外切,t3;第一次内切,第二次内切,t11;第二次外切,t13垂径定理及推论垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,
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