几何模型：一线三等角模型知识讲解.docx

《几何模型：一线三等角模型知识讲解.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《几何模型：一线三等角模型知识讲解.docx（22页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、几何模型：一线三等角模型一线三等角模型.一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，K形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。二一线三等角的分类 全等篇相似篇C同侧CPC异侧三、“一线三等角”的性质1. 一般情况下，如图 3-1，由/ 1 = / 2=7 3,易得 AE3A BDE.2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图3-1，若CE=ED,则厶AECA BDE.图3-13.中点型“一线三等角如图 3-2，当/ 1=7 2=7 3,且 D 是 BC

2、中点时， BD0A CFSA DFE.-BAC时，点0是厶ABC的内心.可以考虑构2造“一线三等角”等角”的各种变式3-5，以等腰三角形为例进行说明在图3-4 （右图）中，如果延长 BE与CF，交于点P，则点D是厶PEF的旁心.J K”BOC 901 BAC这是内心的性质，反之未必是内心25.“4.“中点型一线三等角“的变式（了解）如图3-3，当7仁7 2且 BOC 90如图3- 4 “中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，图3-5其实这个第4图，延长DC反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为 是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进 行解题四、“一

3、线三等角”的应用1. “一线三等角”应用的三种情况a. 图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；b. 图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；c. 图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题.体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角 或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.2. 在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的 张角问题，在x轴或y轴（也可以是平行于x轴或y轴的直线）上构造 线三等角解决问题更是重要的手段.3. 构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似AEBAE Uft&m A*ACb

4、d在DC的延长拔上截职CE= , 5 CD的延长St上截取DF 1(anatwct贝It3nZAEP=t3nZPFB= taMjIlJZAEPs ZPFB= a= ZAPF ,所 APAJw ABPF -BDtanaE CP上载取CE=tansIJtmZAEC=tanBFD tana iWJZAEC ZBFD=a= ZAPS i所以 AP/lEsABPF 6坐标系中，要讲究“线”的特殊性C、如图3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角 当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过 D两点作直线I的垂线是必不可少的。两条垂线通常情况下是为了“量化” 的需要。上面就是

5、作辅助线的一般程序，看起来线条比较多，很多老师都认为一下子不 容易掌握.解题示范例1如图所示，一次函数 y x 4与坐标轴分别交于 A、B两点，点P是线段AB上一个动点（不包括 A、B两端点），C是线段0B上一点，/ OPC=45 若OPC是等腰三 角形，求点P的坐标.例 2 如图所示，四边形 ABCD 中，/ C=90 :/ABD= / DBC=22.5 AE 丄 BC 于 E，/ ADE=67.5 AB=6,则 CE=.例 3 如图，四边形 ABCD 中，/ABC= / BAD=90 ,Z ACD=45 , AB=3 , AD=5.求 BC 的长.x-3例 4 如图， ABC 中，/BAC

6、=45 , AD 丄 BC , BD=2 , CD=3,求 AD 的长.一线三等角，补形最重要，内构勤思考，外构更精妙找出相似形,比例不能少巧设未知数，妙解方程好还是可以纵横斜三个方向构造，坐标系中一般考虑纵横两个方向构造例 5 如图，在ABC 中，/ BAC=135 , AC= .2 AB, AD 丄AC 交 BC 于点 D,若AD = .2 ,求ABC的面积当然有45或135。等特殊角，据此也可以构造不同的一线三等角一线三等角所有的构造都是把分居定角两侧的数据集中在一起，是相似集中条件的一种大练身手:1.如图，皿号匕中，tan厶6 =乙卫=90, 血=2.握匸=4 .求D的长.2 如图*

7、AJJ?C 中，/片9(T , ZCD=45 , ABt CD二勺 求殍D 的长.3.如图，在四边形 ABCD 屮* ZBAD= ZACB=ACD=4Sw t AO4t 求ECD 的周艮DC5如图，在 RtABC 中，Z*C*30 , D4 平分 ZCAB,若ZCDB-6Q9.04 = 4币 求/1Q 的长.巧、/ 6如图.在等腰宜角三角形中.ZBJO90- , D为上一点，连接Cd P为CQ上一点, ZBFD二45，若CP=6, zMCD的面积为18,则线段Q的长为&如樹，仙C 中.ZBAO909 肋=2 血点 D 悝 BC 边上.BCJiCD, DE 丄 PC LL DE = DC DE交

8、AC边与点F. EF=V5,则/IC的长为9 如图，任平向岂角坐标条中.点4（4.0，点（0.2歼 点C在第一欽限内，若AMC为等边三角形，则点C的坐标为10矩形ABCD坐标系的位置如图所示，点*（2届,0）点C（0 5）,反比例浙敬的图像交边血、BC T D. E 两点且ZDOE 45*，则匕.11 如用.点线 24交坐标轴与儿两点.交双曲线y-(x0)于点G nSag8,点P在点CAT的右侧的双曲线匕ZPBC=45 则点P的坐标为.12.在肋C中，AB = 2l2.ZB = 45%以点4为直角顶点作寻蝶直角点D在BC上点E杞AC上,若CEy/5 则CD的长为.13如图.直角仙C中，ZC-9

9、0 , AO6. BC-8-。楚斜边的中点，E为BC上动点,QF丄干点F. 连接DE,若4DEF是等腰宜角三角形.求DE的长度.14在ABC中.Z=45a , ZC=30 ,点D足BC上一点.连接 Q过点4作4G丄应在4G上取点氏 连接F延长IM至民 使AE=AF.连接EG. DG, H. GE=DF.(1) 若 AB = 142 AB=2.求 BC 的长；(2) tHlRJb 当点 G 在 AC时，求证I BD-CGx2(3) 如用2,当点G在ACM直平分线上时，直接写出笔的值.例7:在平面直角坐标系中，已知点A (1, 0), B (0, 3), C (-3, 0), D是线段AB上一点，

10、CD交y轴于E,且 8bce = 2Saaob .(1) 求直线AB的解析式；(2) 求点D的坐标，猜想线段CE与线段AB的数量关系和位置关系，并说明理由;(3)若F为射线CD上、_ 2例&如图，直线y= x+ 2与y轴交于点C,与抛物线y= ax交于A、B两点(A 在B的左侧)，BC= 2AC,点P是抛物线上一点.(1) 求抛物线的函数表达式；(2) 若点P在直线AB的下方，求点P到直线AB的距离的最大值；(3) 若点P在直线AB的上方，且/ BPC= 45求所有满足条件的点P的坐 标.练1:.如图，抛物线的顶点为C (- 1, -1),且经过点A、点B和坐标原点O,点B的横坐标为-3.(1

11、) 求抛物线的解析式；(2) 若点D为抛物线上的一点，且 B0D的面积等于 B0C的面积，请直接 写出点D的坐标；(3) 若点E的坐标为(0, 2),点P是线段BC上的一个动点，是否存在点P,使得/ 0PE= 45若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.C课后作业：如图，点 A(0,-1),B(3,0),P为直线y= -x+5上一点，若/ APB=45 ，求点P的坐标在四边形 ABCD 中，/ ABC= / BAD=90 ，/ ACD=45 , AB=3,AD=4,求 AC 的长.如图，正方形 ABCD中，点E,F,G分别在AB,BC,CD上， EFG为等边三角形，求证:BE+GC= 一

12、 3 BC如图， ABC : DBA,且 AC= . 2 BC,求证:CD=2AB.如图，在四边形 ABCD 中，/ ABC = 90 AB = 3, BC = 4, CD = 10, DA =5 . 5，求BD的长AB如图，点A是反比例(X 0)图形上一点，点 B是X轴正半轴上一点，点 C的坐标为 (0, 2)，点 ABC是等边三角形时，求点 A的坐标.掀物线r =+ 3与坐标轴交于儿 乩C三点*点F在馳物线匕PAlffC于点瓦 若PE=2CE.求F点坐标.如图，抛物线y= ax2 + bx+ 4与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y1轴交于点C,直线I: y=- x+ m经过点A,

13、与抛物线交于另一点D (5,-7)，点P是直线I上方的抛物线上的动点，连接 PC、PD.(1) 求抛物线的解析式；(2) 当厶PCD为直角三角形时，求点 P的坐标；(3) 设厶PCD的面积为S,请你探究：使S的值为整数的点P共有几个，说明 理由.4222y x 1.如图1,已知直线y=kx与抛物线273交于点A (3, 6)(1)求直线y=kx的解析式和线段0A的长度;(2)点P为抛物线第一象限内的动点,过点P作直线PM,交x轴于点M(点M、O不重合),交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线,交y轴于点N.试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值?如果是,求出这个定值，如果不是,说明理由；（3）如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点0、A不重合），点D （ m, 0）是x轴正半轴上的动点,且满足/ BAE=Z BED= /AOD.继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？图图2、_ 2 如图，直线AC: y= 2x+ 2与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y= ax +bx+ c (a0)过A、C两点，与x轴交于另一点B (B在A的右侧)，且 OBCOCA.(1)求抛物线的解析式;(2)备用图