九年级(上)培优讲义第4讲二次函数综合应用.docx
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1、 第4讲: 二次函数综合应用一、 建构新知1.二次函数y=ax2+bx+c=0(a0),a的符号由抛物线的开口方向决定,c的符合由抛物线与y轴交点的位置确定,b的符号由a及对称轴的位置决定,抛物线的增减性由对称轴决定,当抛物线开口向上时,对称轴左边y随x的增大而减小,对称轴右边y随x的增大而增大;当抛物线开口向下时,对称轴左边y随x的增大而增大,对称轴右边y随x的增大而减小此外抛物线解析式中y=0得到一元二次方程的解即为抛物线与x轴交点的横坐标2.二次函数的图象及性质:对于二次函数的图象与性质,关键是把握图象与二次函数各项系数之间的关系,同时观察图象与x轴,y轴交点的位置,注意二次函数值y随自
2、变量x的变化要以对称轴为分界点. 对于二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象:(1)开口向上a0;开口向下a0图象与y轴的正半轴有交点;c=0图象过坐标原点;c0图象与y轴的负半轴有交点;(3)根据对称轴和a符号确定b的符号以及a、b之间的数量关系;(4)根据x=1时y的值来确定a+b+c的符号;根据x=1时y的值来确定ab+c的符号;x=2时y的值来确定4a+2b+c的符号;根据x=2时y的值来确定4a2b+c的符号.(5)比较函数值的大小,应根据二次函数的对称性把两个点归纳在对称轴的同侧,然后利用函数的增减性比较大小.3.二次函数综合应用,解题的关键是联想相关函数与方程、不等式、坐标交
3、点、图象交点分析,这是解决这类问题的思考点,数形结合思想方法是解题中常用方法.二、经典例题例1.如图,已知抛物线于x轴交于A(1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式.(2)设抛物线的顶点为D,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P,使得PDC是等腰三角形,若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.(3)若点M是抛物线上一点,以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形,试求出点M的坐标.例2.如图,抛物线经过A(1,0),B(5,0),C(0,)三点(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PAPC的值最小,求点P的坐标;(3)
4、点M为x轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形?若存在,求点N的坐标;若不存在,说明理由yxOABC例3. 如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=x2+2x与x轴相交于O、B,顶点为A,连接OA(1)求点A的坐标和AOB的度数;(2)若将抛物线y=x2+2x向右平移4个单位,再向下平移2个单位,得到抛物线m,其顶点为点C连接OC和AC,把AOC沿OA翻折得到四边形ACOC试判断其形状,并说明理由;(3)在(2)的情况下,判断点C是否在抛物线y=x2+2x上,说明理由;(4)若点P为x轴上的一个动点,试探究在抛物线m上是否存在点Q,使以点
5、O、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形,且OC为该四边形的一条边?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由三、基础演练1如图,已知二次函数的图象的顶点为.二次函数 的图象与轴交于原点及另一点,它的顶点在函数的图象的对称轴上xyO12321A(1)求点与点的坐标;(2)当四边形为菱形时,求函数的关系式2如图,二次函数的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,1),ABC的面积为(1)求该二次函数的关系式;(2) 在该二次函数的图象上是否存在点D,使四边形ABCD为直角梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由3已知,如图抛物线与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,A点在
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