高中数学教学论文:关于圆锥曲线的几组统一的优美结论.doc
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1、关于圆锥曲线的几组统一的优美结论摘要:圆锥曲线有很多有趣、统一的性质,无论在结构上、形式上都让人耳目一新,在近几年高考试题中频频出现。本文对圆锥曲线的有关性质做简单的归纳与思考。关键词:斜率定比离心率一、圆锥曲线标准方程的两个用定比表示的斜率公式及其在解高考题时的应用。1、若AB是椭圆 (ab0)或双曲线或抛物线 (p0)的焦点弦,F为焦点,且(A点位于B点之上),则弦AB所在直线的斜率k满足 证明:设AB的倾斜角为。当时,直线l为F对应的准线,对于椭圆有,。当F为右焦点时,如图1 , ,,。当F为左焦点时,如图2,,。(2)当时。当F为右焦点时,如图3 ,。当F为左焦点时,如图4 ,。综上所
2、述,焦点弦AB所在直线的斜率k满足。 对于双曲线,当时,如图5,。当F为右焦点时,,。当F为左焦点时,如图6,。同样地,当时,有。 对于抛物线 (p0),当时,如图7,有, (此时e=1)。,,。同样地,当时,也有。 2、若AB是椭圆 (ab0)或双曲线或抛物线 (p0)的焦点弦,F为焦点,且(A点位于B点之上),则弦AB所在直线的斜率k满足 对于椭圆,有,。当时,如图8,。当F坐标为(0,-c)时,如图9,。同样地,当时,有。类似地,可证明式对于双曲线和抛物线也成立。结论和在解与定比有关的焦点弦问题时十分方便,它是一个一揽子解决的方法显得十分轻松。例1 已知椭圆C的焦点为到相应准线的距离为,
3、过且倾斜角为锐角的直线l与椭圆交于A、B两点,。(1)求椭圆方程。(2)求直线l的方程。解:(1)如图10,c=。,。椭圆方程为。(2),直线l的倾斜角为锐角,A在B之上,。=,。直线l的方程为。例2 给定抛物线C:,F是焦点,过点F的直线l 与抛物线C相交于A、B两点。()略。()设,若,求直线l在y轴上截距的变化范围。(2004年高考数学全国巻)。解:如图11,设直线l在y轴上截距为t,则,又e=1,由公式知,。,由图12可知,或。 二、以为定值的圆锥曲线问题。 1、若椭圆 (ab0)上任意一点P(不是长轴的端点)与长轴的两个端点的连线的斜率分别为,则。证明:设P(x,y), 。2、若双曲
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