高中数学复习讲义 第五章 数列.doc

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1、高中数学复习 数列【知识图解】 一、基础知识回顾1、从函数的角度看，数列可以看做是一个函数，定义域是自然数集或自然数集的一个有限子集，函数表达式就是数列的通项公式.2、对于数列an，把Sn=a1+a2+an叫做数列an的前n项和，则有3等差数列与等比数列A等差数列1）定义：（2）通项公式：an=a1+(n1)d .（3）前n项和公式： （4）等差中项： （5）任意两项：an=am+(nm)d.等差数列的性质a.若则 即：首尾颠倒相加，则和相等b等差数列中连续项的和，组成的新数列是等差数列。即：也是等差数列；c、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如：（下标成等差数列）d、等差，

2、则，也等差。e、等差数列的通项公式是的一次函数，即：()； 等差数列的前项和公式是一个没有常数项的的二次函数，即：()；f、项数为奇数的等差数列有：； ；项数为偶数的等差数列有：， ,B等比数列（1）定义：（2）通项公式：an=a1qn1. （3）任意两项：an=amqnm.（4）前n项和公式：（5）等比中项：等比数列的性质a、 若则 即：首尾颠倒相乘，则积相等;b等比数列中连续项的和，组成的新数列是等比数列。即：也是等比数列c、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。d、等比，则，anbn也等比。其中e、等比数列的通项公式类似于的指数函数，即：，其中等比数列的前项和公式是一个平移

3、加振幅的的指数函数，即：f、等比数列中连续相同项数的积组成的新数列是等比数列。求数列通项公式的几种方法1、 定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目例等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，求数列的通项公式.2、公式法（要注意对n的分类讨论，能合则合，不能合则分段表示。）若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解。例已知数列的前项和满足,a1=1. (1)求证：数列为等差数列。 （2）求数列的通项公式。练习：1、设Sn是数列的前n项和，若a1=1,an+1=(n1),求数列的通项公式。3、由递推式求数列通项法对于递推公式确定的

4、数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。类型1 递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例、已知数列中,（n2）,且a1=1 ,求数列的通项公式。练习：1、 已知数列满足，求。2、已知数列满足a1=2,. 求数列的通项公式。类型2 （1）递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。（或用叠（迭）代法。）例、已知数列an，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+(n1)an1(n2)，则an的通项 练习：1、已知数列满足，求。2、设一次函数f(x)的图像关于直线y=x的对称图像

5、为C,且f(-1)=0,若点（n+1,）(n1)在曲线C上，且a1=a2=1.(1)求曲线C的方程。 （2）求数列的通项公式。类型3 递推公式为（其中p，q均为常数，）。解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例、在数列中，若，则该数列的通项 练习：1、 已知数列中，求.2、数列a满足a=1，,求数列a的通项公式。4、构造法已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题常较难，往往使用构造法。构造等差数列或等比数列由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.例： 设各项均为正数的数列

6、的前n项和为，对于任意正整数n，都有等式：成立，求的通项an.练习： 数列中前n项的和，求数列的通项公式.例： 设是首项为1的正项数列，且，（nN*），求数列的通项公式an.例： 数列中，前n项的和，求.例： 已知数列中，n2时，求通项公式.数列求和的常见方法有： （1）公式法： 等差数列的求和公式， 等比数列的求和公式（2）分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和（如：通项中含因式，周期数列等等）（3）倒序相加法：如果一个数列a，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，

7、这一求和方法称为倒序相加法。特征：an+a1=an-1+a2（4）错项相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项相乘所组成，此时求和可采用错位相减法。（5）裂项相消法：把一个数列的各项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项之和变成首尾若干少数项之和。典型题例：一、由规律求数列的通项公式：（周期特征的数列，通用公式型数列，定义型数列，递推型数列，构造法求数列）1. 已知数列满足，则，则= 。2在数列中，若，则该数列的通项 。3设数列的前n项和为， ，且，则_.4已知数列的前项和，则其通项 5已知数列a满足,（）求数列的通项公式；（）若数列满足,证明：是等差数列

8、;6在数列中，则 。7已知数列an是等差数列,且a2=8,a8=26,从an中依次取出第3项,第9项,第27项,第3n项,按原来的顺序构成一个新的数列bn, 则bn=_ _二、两类特殊数列的应用：（关注定义与性质）1设是公差为正数的等差数列，若，则 。2公差不为0的等差数列an中，a2，a3，a6依次成等比数列，则公比等于 。3若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有 项。4.设数列an是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 。5（1）已知数列为等差数列，且（）求数列的通项公式；（）证明6已知等差数列共有10项，其中奇数

9、项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 。7设等差数列an的前n项和为Sn,已知a3=12,S120,S130.则公差d的取值范围为 。三、数列的求和1已知公差不为0的正项等差数列an中,Sn为前n项之和,lga1、lga2、lga4成等差数列，若a5=10,则S5 = 。2若数列满足：2，3.则 . 3数列前项之和满足：（1） 求证：数列是等比数列；（2） 若数列的公比为,数列满足：，求数列的通项公式；（3） 定义数列为，求数列的前项之和。4已知数列满足，（）求数列的通项公式； （）设，求数列的前项和；（）设，数列的前项和为求证：对任意的，5已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 7数

10、列an满足a1=2，对于任意的nN*都有an0, 且(n+1)an2+anan+1nan+12=0，又知数列bn的通项为bn=2n1+1. (1)求数列an的通项an及它的前n项和Sn；(2)求数列bn的前n项和Tn；8数列an中，a1=8,a4=2且满足an+2=2an+1an,(nN*).(1)求数列an的通项公式；(2)设Sn=a1+a2+an,求Sn;(3)设bn=(nN*),Tn=b1+b2+bn(nN*),是否存在最大的整数m，使得对任意nN*均有Tn成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.四、数列的应用：1若数列中，且对任意的正整数、都有，则 .2设等比数列的公比为，前项和

11、为，若成等差数列，则的值为 。3已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则 4已知正数组成的两个数列，若是关于的方程的两根（1）求证：为等差数列； （2）已知分别求数列的通项公式； （3）求数。5. 已知数列 （1）求数列的通项公式； （2）求证数列是等比数列；（3）求使得的集合. 6.已知数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，满足关系. 证明：是等比数列；我的大学爱情观目录：一、 大学概念二、 分析爱情健康观三、 爱情观要三思四、 大学需要对爱情要认识和理解五、 总结1、什么是大学爱情：大学是一个相对宽松，时间自由，自己支配的环境，也正因为这样，培植爱情之花最肥沃的土地。大学生恋爱一直是大

12、学校园的热门话题，恋爱和学业也就自然成为了大学生在校期间面对的两个主要问题。恋爱关系处理得好、正确，健康，可以成为学习和事业的催化剂，使人学习努力、成绩上升；恋爱关系处理的不当，不健康，可能分散精力、浪费时间、情绪波动、成绩下降。因此，大学生的恋爱观必须树立在健康之上，并且树立正确的恋爱观是十分有必要的。因此我从下面几方面谈谈自己的对大学爱情观。2、什么是健康的爱情：1) 尊重对方，不显示对爱情的占有欲，不把爱情放第一位，不痴情过分；2) 理解对方，互相关心，互相支持，互相鼓励，并以对方的幸福为自己的满足; 3) 是彼此独立的前提下结合；3、什么是不健康的爱情：1)盲目的约会，忽视了学业;2)

13、过于痴情，一味地要求对方表露爱的情怀，这种爱情常有病态的夸张;3)缺乏体贴怜爱之心，只表现自己强烈的占有欲;4)偏重于外表的追求;4、大学生处理两人的在爱情观需要三思：1. 不影响学习：大学恋爱可以说是一种必要的经历，学习是大学的基本和主要任务，这两者之间有错综复杂的关系，有的学生因为爱情，过分的忽视了学习，把感情放在第一位；学习的时候就认真的去学，不要去想爱情中的事，谈恋爱的时候用心去谈，也可以交流下学习，互相鼓励，共同进步。2. 有足够的精力：大学生活，说忙也会很忙，但说轻松也是相对会轻松的！大学生恋爱必须合理安排自身的精力，忙于学习的同时不能因为感情的事情分心，不能在学习期间，放弃学习而

14、去谈感情，把握合理的精力，分配好学习和感情。3、 有合理的时间；大学时间可以分为学习和生活时间，合理把握好学习时间和生活时间的“度”很重要；学习的时候，不能分配学习时间去安排两人的在一起的事情，应该以学习为第一；生活时间，两人可以相互谈谈恋爱，用心去谈，也可以交流下学习，互相鼓励，共同进步。5、大学生对爱情需要认识与理解，主要涉及到以下几个方面：（一） 明确学生的主要任务“放弃时间的人，时间也会放弃他。”大学时代是吸纳知识、增长才干的时期。作为当代大学生，要认识到现在的任务是学习学习做人、学习知识、学习为人民服务的本领。在校大学生要集中精力，投入到学习和社会实践中，而不是因把过多的精力、时间用

15、于谈情说爱浪费宝贵的青春年华。因此，明确自己的目标，规划自己的学习道路，合理分配好学习和恋爱的地位。（二） 树林正确的恋爱观提倡志同道合、有默契、相互喜欢的爱情：在恋人的选择上最重要的条件应该是志同道合，思想品德、事业理想和生活情趣等大体一致。摆正爱情与学习、事业的关系：大学生应该把学习、事业放在首位，摆正爱情与学习、事业的关系，不能把宝贵的大学时间，锻炼自身的时间都用于谈情说有爱而放松了学习。 相互理解、相互信任，是一份责任和奉献。爱情是奉献而不时索取，是拥有而不是占有。身边的人与事时刻为我们敲响警钟，不再让悲剧重演。生命只有一次，不会重来，大学生一定要树立正确的爱情观。（三） 发展健康的恋

16、爱行为 在当今大学校园，情侣成双入对已司空见惯。抑制大学生恋爱是不实际的，大学生一定要发展健康的恋爱行为。与恋人多谈谈学习与工作，把恋爱行为限制在社会规范内，不致越轨，要使爱情沿着健康的道路发展。正如马克思所说：“在我看来，真正的爱情是表现在恋人对他的偶像采取含蓄、谦恭甚至羞涩的态度，而绝不是表现在随意流露热情和过早的亲昵。”（四） 爱情不是一件跟风的事儿。很多大学生的爱情实际上是跟风的结果，是看到别人有了爱情，看到别人幸福的样子（注意，只是看上去很美），产生了羊群心理，也就花了大把的时间和精力去寻找爱情（五） 距离才是保持爱情之花常开不败的法宝。爱情到底需要花多少时间，这是一个很大的问题。有

17、的大学生爱情失败，不是因为男女双方在一起的时间太少，而是因为他们在一起的时间太多。相反，很多大学生恋爱成功，不是因为男女双方在一起的时间太少，而是因为他们准确地把握了在一起的时间的多少程度。（六） 爱情不是自我封闭的二人世界。很多人过分的活在两人世界，对身边的同学，身边好友渐渐的失去联系，失去了对话，生活中只有彼此两人；班级活动也不参加，社外活动也不参加，每天除了对方还是对方，这样不利于大学生健康发展，不仅影响学习，影响了自身交际和合作能力。总结：男女之间面对恋爱，首先要摆正好自己的心态，树立自尊、自爱、自强、自重应有的品格，千万不要盲目地追求爱，也不宜过急追求爱，要分清自己的条件是否成熟。要树立正确的恋爱观，明确大学的目的，以学习为第一；规划好大学计划，在不影响学习的条件下，要对恋爱认真，专一，相互鼓励，相互学习，共同进步；认真对待恋爱观，做健康的恋爱；总之，我们大学生要树立正确的恋爱观念，让大学的爱情成为青春记忆里最美的风景，而不是终身的遗憾！