运用微分学方法证明不等式毕业论文.doc

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1、运用微分学方法证明不等式Proofs of inequalities by using of differential calculus专 业: 数学与应用数学作 者: 指导老师: 二一二年五月 摘 要本文将运用微分学知识证明不等式的方法归纳为：利用函数单调性证明不等式、利用微分中值定理证明不等式、利用泰勒公式证明不等式、利用曲线凹凸性证明不等式和利用函数的最值证明不等式, 并通过实例分析, 探讨了运用微分学知识证明不等式应该注意的问题关键词: 不等式；微分学；证明方法AbstractWe summarize the proofs of the inequalities by using th

2、e differential calculus, that is, using the function monotonicity, using the differential mean value theorem, using the Taylor formula, using the concavity and convexity of curve, using the extreme value of the function and so on Furthermore, we investigate points for attention when we prove inequal

3、ity by using of differential calculus by some examplesKeywords: inequality; differential calculus; proofs目 录摘 要IABSTRACTII0 引言11 利用函数单调性证明不等式12 利用微分中值定理证明不等式33 利用泰勒公式证明不等式74 利用曲线凹凸性证明不等式115 利用函数最值证明不等式12参考文献150 引言一个数学问题中, 往往同时存在着若干个量, 研究他们彼此间的关系, 常常归结于不等式问题作为一种工具, 不等式在数学的各个领域内都起着十分重要的作用, 在应用上也有十分重要的

4、价值, 本文将散见于文献中运用微分学知识证明不等式的方法归纳为：利用函数单调性证明不等式、利用微分中值定理证明不等式、利用泰勒公式证明不等式、利用曲线凹凸性证明不等式和利用函数的最值证明不等式为本文行文方便, 文中未特别申明的符号与文献4相同1利用函数单调性证明不等式利用函数的单调性证明在区间I上不等式 （或）成立的步骤一般为(1) 构造函数, 借助进行证明的过程中如果出现不简便或比较困难的情形, 则可以将原不等式作适当的变形, 改证其等价的不等式, 再构造辅助函数(2) 考察在由I及其端点(若在该点有定义)构成的区间上的连续性(3) 求, 讨论在区间I内的符号, 由此确定在上述区间上的单调性

5、(有时需求出、等, 才能确定的单调性) (4) 求出在区间端点处的函数值(或极限值) , 根据单调性即得证例1 证明：(1)当时, (2)当时, 证明 (1)令,因为函数在上连续, 在内可导, 且当时, 所以当时, 函数是单调递增的故当时,有,从而 (2)因为, 所以, 令函数, 则有因为时, , 所以即在时严格递增的,又因为, 所以, 即例 2 证明：当时, 证明 设 ,则在上可导, 且, , 故为上单调增函数, ,于是, 为上的单调增函数, 所以即 2利用微分中值定理证明不等式为以下行文方便, 将几个主要的微分中值定理摘录如下：定理1 （罗尔中值定理） 如果函数在闭区间上连续, 在开区间内

6、可导, 且满足, 那么在内至少存在一点, 使得定理2（拉格朗日中值定理） 如果函数在闭区间上连续, 在开区间内可导, 那么在内至少存在一点, 使得当函数在内的变化范围已知时, 有, 于是可以利用拉格朗日定理来证明一类的不等式定理3 （柯西中值定理） 如果函数在闭区间上连续, 在开区间内可导, 且在内每一点均不为零, 那么在内至少存在一点, 使得根据要求不等式的两边的代数式选取合适的函数, 应用微分中值定理得出一个等式之后, 对这个等式根据取值范围的不同进行讨论, 得到不等式例3 (1) 如果, 证明： ;(2) 证明: 证明 (1)令, 在区间上连续, 在内可导, 应用拉格朗日中值定理, 则有

7、, 由于在闭区间上, 有, 所以(2)当时, 显然等号成立当时, 不妨设设,由拉格朗日中值定理, 得 , 则有 所以 例4 已知, , 证明： 证明 设, 根据拉格朗日中值定理, 存在使得又因为 , 所以,于是 例5 当时, 函数在其定义域上可导, 且为不增函数, 又, 证明：证明 用数学归纳法当时, 显然不等式成立当时, 若均为, 或者一个为时, 当一个为时, 显然有设均大于, 不妨设, 在应用拉格朗日中值定理可得在上再次利用拉格朗日中值定理可得显然, 由题设知, 所以 ,即 假设当时不等式成立, 即 取, 显然的情况不证而明, 所以只考虑的情况取, 由前面已证的结论有 再用归纳假设可得 ,

8、即当时结论成立 所以例 6 证明：当时, 证明 可设, 则在上由柯西中值定理的条件, 故存在使得例7 (1)设, 对的情况, 证明: (2)设, 证明: 证明 (1)设,当时, 结论显然成立当时, 取或, 在闭区间或上连续, 在开区间或可导, 且在内或每一点均不为零, 由柯西中值定理可得, 或即 所以(2)设, , 在闭区间上连续, 在开区间内可导, 且在内每一点均不为零, 那么由柯西中值定理可得, 即 , 因为, 所以即 3利用泰勒公式证明不等式定理4（泰勒公式）如果函数在含有点的区间上有阶的导数, 则函数在内可表示成一个多项式与一个余项式的和, 其中, 在与之间利用此定理可以证明不等式得一

9、般步骤为根据已知条件, 围绕证明目标, 寻取适当的点将函数在该点展成泰勒展式根据已知条件, 向着有利于证明不等式的方向对上面的展式作适当的处理, 直到可以结合已知条件证出不等式为止例8 当时, 证明: 分析 由于朗格朗日中值定理很容易证明,而利用泰勒中值定理时, 当时, 不等式为显然第二个比前一个的不等式的精确度高得多, 随着的增大, 不等式的精确度会大幅度地提高, 所以我们在做题过程中, 按题目的要求选择适当的方法证明证明 令,函数在点展开前项的泰勒公式为因为, 所以, 从而,所以有 同理, 因为,所以 例9 设在上有连续的三阶导数, 且证明：在内至少存在一点, 使得证明 由泰勒公式 , ,

10、 其中, 以上两式相减, 得, 因在上连续, 设在处取得最大值, 即为最大值, 则也即 例 10 设在的某领域内存在四阶导数, 且, 其中M是一个正常数是该领域内关于对称的两点, 且, 证明：证明 由泰勒公式, 有, , 其中在与之间, 在与之间将以上两式相加即得, 所以 例11设在上二阶可导, 且满足, 其中为非负常数, 证明：对于任意, 有证明 由所给条件及欲证不等式可知, 对给定, 宜首先找出与和的某种关系式, 然后再估值, 故将函数在处展开, , , 其中 将以上两式相减, 即得, 从而 , 又当时, , 所以例12 设函数在上二阶可导, , 且在内取最大值, 证明：证明 设在出取得最

11、大值, 因在上可导, 则必有又对在及上使用拉格朗日中值定理, 有, 所以4 利用曲线凹凸性证明不等式利用这种方法证不等式首先要构造辅助函数并说明其在某区间I上的凹凸性若的图形在I上是凹的, 则对I上任意两点和, 有反之, 若的图形在I上为凸的, 则有例13 证明：当时, 分析 不等式等价于：不等式两边含有相同“形式”：, 可设辅助函数 因此原不等式化为要证只要证明在上为凹函数, 即证在内即可证明 设,那么 ,所以在内的图形是凹的, 有凹弧定义, 对于内任意两点, 恒有也即 例14 已知, 且证明：证明 令,则, 所以,即 ,所以 ,例15 证明：证明 设, , 即5利用函数的最值证明不等式当给

12、定的不等式是具体的函数在给定区间内大于或小于某个常数, 即形如或时, 可考虑是否为这个区间上的最值, 此时利用最值证明往往较简单例16 设, 常数, 证明：证明 设,并由解得驻点为, 则在闭区间上连续因为所以在的最小值为, 最大值为1, 即例 17 设, 证明：, 为正整数证明 设,则令, 得内的唯一驻点为, 当时, , 当时, 所以当时, 在处取得最大值, 即由于数列是单调递减的, 并且, 因此对于任意的正整数n, 有, 即由此可见, 当, n为正整数时, , 即例 18 设, 证明：证明 构造辅助函数, ,则, 令, 得驻点为, 当时, , 所以在上单调递增, 对, 有；当时, , 所以在

13、上单调递减, 对, 有, 故在上有最小值, ,即也就是说, 当时, 有致谢 本文是在涂建斌老师的指导下完成的, 在此作者对涂老师表示衷心的感谢参考文献1 D. S. 密斯特利诺维奇. 解析不等式M. 北京: 科学出版社. 1987.2 . . 菲赫金哥尔茨. 微积分学教程（第八版）. 北京:高等教育出版社. 20063 R. 科朗等.微积分和数学分析引论M. 北京: 科学出版社. 2002. 4 华东师范大学数学系. 数学分析M. 北京: 高等教育出版社, 1991.5 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法M. 北京: 高等教育出版社,1 994.6 刘玉莲. 数学分析讲义M. 北京: 高等教

14、育出版社, 1999.7 刘早清. 高等数学. 武汉: 高等教育出版社, 2008. 8 南文胜. 大学应用数学. 上海: 同济大学出版社, 2008. 9 王茂南，薛国民高等数学习题课教程M苏州：苏州大学出版社，2004：49-7610 王景克高等数学解题方法与技巧M3版北京：中国林业出版社200l：12卜lZ911 The Sixtythird William Lowell Putnam Mathematical CompetitionJThe AmerMathMonthly，2003110(9)：720-72612 Print , The best critical summary of the present state of knowledge on Gutenberg is Guy Bechtel , Gutenberg et linvention de limp rimerie : Une nquet e ( Paris :Fayard , 1992) . ISBN 2213028656 For a good short account in English see Martin Davies.