第四章导数及其应用.doc

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1、第四章 导数及其应用七彩教育网 免费提供Word版教学资源第四章 导数及其应用第一部分 五年高考荟萃2009年高考题一、选择题1.(2009年广东卷文)函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是A. (-,2) B.(0,3) C.(1,4) D. (2,+)答案 D解析 f(x)=(x-3)ex+(x-3)ex ( ) ()=(x-2)ex,令f(x)0,解得x2,故选D2.（2009全国卷理） 已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切，则的值为( )A.1 B. 2 C.-1 D.-2答案 B解:设切点P(x0,y0)，则y0=x0+1,y0=ln(x0+a),又Qy|x=x0=1

2、=1 x0+ax0+a=1y0=0,x0=-1a=2.故答案 选B23.（2009安徽卷理）已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x+8x-8，则曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程是( )A.y=2x-1 B.y=x C.y=3x-2 D.y=-2x+3答案 A解析 由f(x)=2f(2-x)-x+8x-8得几何2f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8，即2f(x)-f(2-x)=x+4x-4，f(x)=xf(x)=2x，切线方程22/y-1=2(x-1)，即2x-y-1=0选A234.（2009江西卷文）若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x和y=

3、ax+15x-9都相切，则4( ) a等于七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载七彩教育网 免费提供Word版教学资源A-1或-答案 A 25217257 B-1或 C-或- D-或7 4464464解析 设过(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,x03)，所以切线方程为y-x03=3x02(x-x0)3， 215252x-9相切可得a=-， 当x0=0时，由y=0与y=ax+46432727152x-x-9相切可得a=-1，所以选A. 当x0=-时，由y=与y=ax+2444即y=3x02x-2x03，又(1,0)在切线上，则x0=0或x0=-5.（2009江西

4、卷理）设函数f(x)=g(x)+x2，曲线y=g(x)在点(1,g(1)处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f(x)在点(1,f(1)处切线的斜率为A4 B-答案 A ( ) 11 C2 D- 42解析 由已知g(1)=2，而f(x)=g(x)+2x，所以f(1)=g(1)+21=4故选A 力。6.（2009全国卷理）曲线y=x在点(1,1)处的切线方程为( ) 2x-1A. x-y-2=0 B. x+y-2=0 C.x+4y-5=0 D. x-4y-5=0 答案 B解 y|x=1=2x-1-2x1|=-|=-1, x=122x=1(2x-1)(2x-1)故切线方程为y-1=-(x-1),即

5、x+y-2=0 故选B.7.（2009湖南卷文）若函数y=f(x)的导函数在区间a,b上是增函数， 则函数y=f(x)在区间a,b上的图象可能是 ( )七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载七彩教育网 免费提供Word版教学资源ab a b aA B C D解析 因为函数y=f(x)的导函数y=f(x)在区间a,b上是增函数，即在区间a,b上各点处的斜率k是递增的，由图易知选A. 注意C中y=k为常数噢.8.（2009辽宁卷理）若x1满足2x+2=5, x2满足2x+2log2(x1)=5, x1+x2A.x( ) 57 B.3 C. D.4 221答案 C 解析 由

6、题意2x1+2x=5 -=1) 5 2x2+2lo2gx( 2所以2x=5-2x1,x1=log2(5-2x1) 1即2x1=2log2(5-2x1)令2x172t,代入上式得72t2log2(2t2)22log2(t1)52t2log2(t1)与式比较得tx2于是2x172x29.（2009天津卷理）设函数f(x)=1x-lnx(x0),则y=f(x) 3 ( )1e1B在区间(,1),(1,e) 由题得f(x)=11x-3-=，令f(x)0得x3；令f(x)0得3x3x0x3；f(x)=0得x=3，故知函数f(x)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3,+) 为增函数，在点x=3处有极小值

7、1-ln30；又七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载七彩教育网 免费提供Word版教学资源f(1)=1e11,f(e)=-10，故选择D。 33e3e二、填空题x2+a10.（2009辽宁卷文）若函数f(x)=在x=1处取极值，则a= x+12x(x+1)-(x2+a)解析 f(x) (x+1)2f(1)答案 311.若曲线f(x)=ax+Inx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是23-a0 a3 41。因为存在垂直于y轴x1的切线，故此时斜率为0，问题转化为x0范围解析 由题意该函数的定义域x0，由f(x2)=a+交点，故有a0应填(-,0)或是a|a0。

8、解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程2ax+1=0在(0,+)内有解，显然可得xa=-1(-,0) 22x3212.（2009江苏卷）函数f(x)=x-15x-33x+6的单调减区间为.七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载七彩教育网 免费提供Word版教学资源解析 考查利用导数判断函数的单调性。f(x)=3x2-30x-33=3(x-11)(x+1)，由(x-11)(x+1)1【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答.14.（2009福建卷理）若曲线f(x)=ax3+l

9、nx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是_.答案 (-,0)解析 由题意可知f(x)=2ax+所以2ax+221，又因为存在垂直于y轴的切线， x11=0a=-3(x0)a(-,0)。 x2xn+115.(2009陕西卷理)设曲线y=x(nN*)在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lgxn，则a1+a2+L+a99的值为答案 -2解析：点（1，1）在函数y=xn+1(nN*)的图像上，（1，1）为切点，y=xn+1的导函数为y=(n+1)xny|x=1=n+1切线是：y-1=(n+1)(x-1)令y=0得切点的横坐标：xn=nn+11298991a1+a2+.+a99

10、=lgx1x2.x99=lgg.=lg=-2239910010016.（2009四川卷文）设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f:VV,aV，记a的象为f(a)。若映射f:VV满足：对所有a、bV及任意实数l,m都有f(la+mb)=lf(a)+mf(b)，则f称为平面M上的线性变换。现有下列命题： 设f是平面M上的线性变换，a、bV，则f(a+b)=f(a)+f(b) 若e是平面M上的单位向量，对aV,设f(a)=a+e，则f是平面M上的线性变换；七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载七彩教育网 免费提供Word版教学资源对aV,设f(a)=-a，则f是平面M

11、上的线性变换；设f是平面M上的线性变换，aV，则对任意实数k均有f(ka)=kf(a)。 其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）答案 解析 ：令l=m=1，则f(a+b)=f(a)+f(b)故是真命题同理，：令l=k,m=0，则f(ka)=kf(a)故是真命题：f(a)=-a，则有f(b)=-bf(la+mb)=-(la+mb)=l(-a)+m(-b)=lf(a)+mf(b)是线性变换，故是真命题：由f(a)=a+e，则有f(b)=b+ef(la+mb)=(la+mb)+e=l(a+e)+m(b+e)-e=lf(a)+mf(b)-ee是单位向量，e0，故是假命题【备考提示】本小题主要考查函数

12、，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖， 突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。17.（2009宁夏海南卷文）曲线y=xex+2x+1在点（0,1）处的切线方程为 。 答案 y=3x+1xx解析 y=e+xe+2，斜率ke+0+23，所以，y13x，即y=3x+1 0三、解答题18.（2009全国卷理）本小题满分12分。（注意：在试题卷上作答无效） 设函数f(x)=x+3bx+3cx在两个32极值点x1、x2，且x1-1，0,x21,2.（I）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点(b,c)的区域；(II)证明：-10f(x2)-1 2分析（I）这一问

13、主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载七彩教育网 免费提供Word版教学资源大部分考生有思路并能够得分。f(x)=3x2+6bx+3c由题意知方程f(x)=0有两个根x1、x2且x1-1，0,x21,2.则有f(-1)0，f(0)0，f(1)0，f(2)0故有右图中阴影部分即是满足这些条件的点(b,c)的区域。 (II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标（如果消 c会较繁琐）再利用x2的范围，并借助（I）f(x2)=x23+3bx22+3cx2中

14、的b，中的约束条件得c-2,0进而求解，有较强的技巧性。解析 由题意有f(x2)=3x2+6bx2+3c=0 2又f(x2)=x2+3bx2+3cx2 32消去b可得f(x2)=-133cx2+x2 221 219.（2009浙江文）（本题满分15分）已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b (2)-又Qx21,2，且c-2,0 -10fx(a,bR)（I）若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a,b的值；（II）若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调，求a的取值范围 解析 （）由题意得f(x)=3x+2(1-a)x-a(a+2) 2f(0)=b=0 又

15、 ，解得b=0，a=-3或a=1 f(0)=-a(a+2)=-3（）函数f(x)在区间(-1,1)不单调，等价于导函数f(x)在(-1,1)既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数即函数f(x)在(-1,1)上存在零点，根据零点存在定理，有f(-1)f(1)0， 即：3+2(1-a)-a(a+2)3-2(1-a)-a(a+2)02 整理得：(a+5)(a+1)(a-1)0，解得-5a-1七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载七彩教育网 免费提供Word版教学资源20.（2009北京文）（本小题共14分）设函数f(x)=x3-3ax+b(a0).（）若曲线y=f(x)

16、在点(2,f(x)处与直线y=8相切，求a,b的值；（）求函数f(x)的单调区间与极值点.解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力（）f(x)=3x2-3a,曲线y=f(x)在点(2,f(x)处与直线y=8相切，3(4-a)=0a=4,f(2)=0 8-6a+b=8b=24.f(2)=82（）f(x)=3x-a()(a0),当a0，函数f(x)在(-,+)上单调递增，此时函数f(x)没有极值点.当a0时，由f(x)=0x=，(当x(时，f(x)0，函数f(x)单调递增，当x-,时，f(x)0，函数f(x)单调递增，此时x=f(x)的极大

17、值点，x=21.（2009北京理）（本小题共13分）设函数f(x)=xe(k0) kxf(x)的极小值点.（）求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程；（）求函数f(x)的单调区间；（）若函数f(x)在区间(-1,1) 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查 综合分析和解决问题的能力（）f(x)=(1+kx)ekx,f(0)=1,f(0)=0,七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载七彩教育网 免费提供Word版教学资源曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=x.（）由f(x)=(1+kx)ekx=0，得x=-若k0，则

18、当x-,-1(k0)， k1时，f(x)0，函数f(x)单调递增， k1时，f(x)0，函数f(x)单调递增， k 若k0，则当x-,-当x-1,+,时，f(x)0，则当且仅当-即k1时，函数f(x)(-1,1)(1)由已知得f(x)=ax+2bx+1,令f(x)=0,得ax+2bx+1=0, 2f(x)要取得极值,方程ax2+2bx+1=0必须有解,所以=4b-4a0,即ba, 此时方程ax+2bx+1=0的根为222x2=x1=所以f(x)=a(x-x1)(x-x2)七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载七彩教育网 免费提供Word版教学资源当a0时,x f(x)

19、 f (x)(-,x1) 增函数x 1 0 极大值(x1,x2) 减函数x2 0 极小值(x2,+) 增函数所以f(x)在x 1, x2处分别取得极大值和极小值. 当aa时, f(x)取得极值.2(2)要使f(x)在区间(0,1上单调递增,需使f(x)=ax2+2bx+10在(0,1上恒成立.ax1ax1-,x(0,1恒成立, 所以b(-)max 22x22x1a(x2-)ax1a1, -设g(x)=-,g(x)=-+2=22x22x2x2即b-令g(x)=0得x=或x=舍去),当a1时,01ax10,g(x)=-单调增函数;a22x当xax1时g(x)0,g(x)=-单调减函数,22x所以当

20、x=时,g(x)取得最大,最大值为g所以b当01时, b 当01知，当x0，故f(x)在区间(-,2)是增函数；当2x2a时，f(x)2a时，f(x)0，故f(x)在区间(2a,+)是增函数。综上，当a1时，f(x)在区间(-,2)和(2a,+)是增函数，在区间(2,2a)是减函数。 （II）由（I）知，当x0时，f(x)在x=2a或x=0处取得最小值。1f(2a)=(2a)3-(1+a)(2a)2+4a2a+24a 34=-a3+4a2+24a 3f(0)=24a由假设知a1,a14f(2a)0, 即-a(a+3)(a-6)0, 解得 1<a<6f(0)0,324a0.故a的取值

21、范围是（1，6）23.（2009广东卷理）（本小题满分14分）已知二次函数y=g(x)的导函数的图像与直线y=2x平行，且y=g(x)在x=-1处取七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载七彩教育网 免费提供Word版教学资源得极小值m-1(m0)设f(x)=g(x) x（1）若曲线y=f(x)上的点P到点Q(0,2)m的值；（2）k(kR)如何取值时，函数y=f(x)-kx存在零点，并求出零点解析 （1）依题可设g(x)=a(x+1)2+m-1 (a0)，则g(x)=2a(x+1)=2ax+2a；又g(x)的图像与直线y=2x平行 2a=2 a=1g(x)=(x+1)

22、2+m-1=x2+2x+m， f(x)=g(x)x=x+mx+2，设P(x2222mo,yo)，则|PQ|=x0+(y0-2)=x0+(x0+x)2 2x2+m2=20x2+2m22m+2m=22|m|+2m 0当且仅当2x20=m2x2时，|PQ|2取得最小值，即|PQ|取得最小值2 当m0时，(22+2)m=2 解得m=-1当m0，若m0，k1-1m，函数y=f(x)-kx有两个零点x=-24-4m(1-k)2(1-k)，即x=1-m(1-k)k-1；若m0，k1-11(m0)，或k1-（m0)，讨论f(x)的单调性. x24.（2009安徽卷理）（本小题满分12分） 已知函数f(x)=x

23、-本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分12分。2ax2-ax+2. 解析 f(x)的定义域是(0,+),f(x)=1+2-=2xxx2设g(x)=x-ax+2,二次方程g(x)=0的判别式D=a-8. 22当D=a-80，即0a0都有f(x)0,此时f(x)在(0,+)上是增函数。当D=a-8=0,即a=x=2f(x)=0,对其余的x0都有 f(x)0,此时f(x)在(0,+)上也是增函数。 当D=a-80，即a 2方程g(x)=0有两个不同的实根x1=x2=,0x1x2. x (0,x1) x1 (x1,x2) x2

24、(x2,+)七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载七彩教育网 免费提供Word版教学资源f(x)f(x) + 单调递增g 0 极大 _ 单调递减g 0 极小 + 单调递增此时f(x)在上单调递增,在是上单调递减,在+)上单调递增. 25.（2009安徽卷文）（本小题满分14分）已知函数（）讨论的单调性；在区间1，a0， （）设a=3，求上值域。期中e=2.71828是自然对数的底数。【思路】由求导可判断得单调性，同时要注意对参数的讨论，即不能漏掉，也不能重复。2第二问就根据第一问中所涉及到的单调性来求函数f(x)在1,e上的值域。解析 (1)由于f(x)=1+令t=2

25、a- 2xx1得y=2t2-at+1(t0) x2当D=a-80,即00,即a 2由2t-at+10得t 2x0x又由2t-at+ tx2综上当0a, f(x)在(-,0)及(0,+)上都是增函数.当a, f(x)在上是减函数, 七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载七彩教育网 免费提供Word版教学资源aa+在(-,0)(0,及(+)上都是增函数. 22(2)当a=3时,由(1)知f(x)在1,2上是减函数.2在2,e上是增函数.又f(1)=0,f(2)=2-3ln20 e22221,e上的值域为 2-3ln2,e-5函数f(x)在2e26.（2009江西卷文）（本

26、小题满分12分） 设函数f(x)=x-392x+6x-a 2（1）对于任意实数x，f(x)m恒成立，求m的最大值；（2）若方程f(x)=0有且仅有一个实根，求a的取值范围解析 (1) f(x)=3x2-9x+6=3(x-1)(x-2),因为x(-,+),f(x)m, 即 3x2-9x+(6-m)0恒成立,所以 D=81-12(6-m)0, 得m-33，即m的最大值为- 44 (2) 因为 当x0;当1x2时, f(x)2时, f(x)0;所以 当x=1时,f(x)取极大值 f(1)=5-a; 2当x=2时,f(x)取极小值 f(2)=2-a;故当f(2)0 或f(1)0时, 方程f(x)=0仅

27、有一个实根. 解得 a27.（2009江西卷理）（本小题满分12分） 5. 2ex设函数f(x)= x(1)求函数f(x)的单调区间；(1)若k0，求不等式f(x)+k(1-x)f(x)0的解集解析 (1)f(x)=-1x1xx-1xe+e=e, 由f(x)=0,得 x=1. 22xxx七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载七彩教育网 免费提供Word版教学资源因为 当x0时,f(x)0； 当0x1时,f(x)1时,f(x)0；(0,1. 所以f(x)的单调增区间是:1,+)； 单调减区间是: (-,0)，x-1+kx-kx2x(x-1)(-kx+1)xe0, e=(

28、2)由 f(x)+k(1-x)f(x)=22xx得：(x-1)(kx-1)0.故：当 0k1时, 解集是：x1x1时, 解集是：x1k1x0 3（）当m=1时，曲线y=f(x)在点（处的切线斜率 1，f（1）（）求函数的单调区间与极值；（）已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，x1,x2，且x1f(1)恒成立，求m的取值范围。答案 （1）1（2）f(x)在(-,1-m)和(1+m,+) 解析 当m=1时，f(x)=x+x,f(x)=x+2x,故f(1)=1 3数。函数f(x)在x=1+m处取得极大值f(1+m)，且f(1+m)=所以曲线y=f(x)在点（处的切线斜率为1. 1，f（1）（2）

29、解析 f(x)=-x+2x+m-1，令f(x)=0，得到x=1-m,x=1+m 221+m1-m 因为m0,所以当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表： xf(x) (-,1-m) + 1-m 0 (1-m,1+m) - 1+m 0 (1+m,+) +七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载七彩教育网 免费提供Word版教学资源f(x) 极小值 极大值f(x)在(-,1-m)和(1+m,+) 由题设， f(x)=x(-x+x+m-1)=-x(x-x1)(x-x2) 33122所以方程-x+x+m-1=0由两个相异的实根x1,x2，故x1+x2=3，且3411D=

30、1+(m2-1)0，解得m 3223因为x1x1+x2=3,故x21 21若x11x2,则f(1)=-(1-x1)(1-x2)0，而f(x1)=0，不合题意 3函数f(x)在x=1+m处取得极大值f(1+m)，且f(1+m)=若1x1f(1)恒成立的充要条件是f(1)=m2-130,解得- m 22221综上，对任意的b、c都有M 2而当，b=0,c=1112时，g(x)=-x+在区间-1,1上的最大值M= 222故MK对任意的b，c恒成立的k的最大值为31.（2009四川卷文）（本小题满分12分） 12已知函数f(x)=x+2bx+cx-2的图象在与x轴交点处的切线方程是y=5x-10。 （

31、I）求函数f(x)的解析式；（II）设函数g(x)=f(x)+321mx，若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数3g(x)取得极值时对应的自变量x的值.解析 （I）由已知,切点为(2,0),故有f(2)=0,即4b+c+3=02又f(x)=3x+4bx+c，由已知f(2)=12+8b+c=5得8b+c+7=0联立，解得b=-1,c=1.所以函数的解析式为f(x)=x-2x+x-2 4分 （II）因为g(x)=x-2x+x-2+令g(x)=3x-4x+1+232321mx 31m=0 3七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载七彩教育网 免费提供Word版教学资源2当函数有极值时，则D0，方程3x-4x+1+1m=0有实数解，3由D=4(1-m)0，得m1.当m=1时，g(x)=0有实数x=无极值当m0，故函数g(x)3311x1=(2x2=(2+g(x),g(x)情况如下表：所以在m(-,1)时，函数g(x)有极值；当x=11(2-时，g(x)有极大值；当x=(2+时，g(x)有极小值； 3312分32.（2009全国卷理）(本小题满分12分)设函数f(x)=x+aIn(1+x)有两个极值点x1、x2，且x11-2In24a2x2+2x+a=(x-1) 解: （I）f(x)=2x+1+x1+x令g(x)=2x+2x+a，其对称轴为x