用放缩法证明不等式.doc

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1、用放缩法证明不等式1、若是自然数，求证2、求证：3、若a, b, c, dR+，求证：4、当 n 2 时，求证：5. 设a，b为不相等的两正数，且a3b3a2b2，求证。6. 已知a、b、c不全为零，求证：7. 已知a、b、c为三角形的三边，求证：。8. 已知nN*，求。9. 已知且，求证：对 所有正整数n都成立。10. 已知函数，证明：对于且都有。11. 已知，求证：当时。12. 已知数列中，证明：13.已知数列中，求证：14. 已知，求证。15. 已知a，b，c为ABC的三条边，且有，当且时，求证：。16. 已知a，bR，求证。用放缩法证明不等式参考答案对于分子分母均取正值的分式，常用的两

2、种放缩技巧：（）如果分子不变，分母缩小（分母仍为正数），则分式的值放大；（）如果分子不变，分母放大，则分式的值缩小。1、若是自然数，求证证明： = =注意：实际上，我们在证明的过程中，已经得到一个更强的结论，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。2、求证：证明：由（是大于2的自然数） 得 3、若a, b, c, dR+，求证：证：记m = a, b, c, dR+ 1 m 2 时，求证：证：n 2 n 2时, 所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他

3、方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。一. “添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。5. 设a，b为不相等的两正数，且a3b3a2b2，求证。证明：由题设得a2abb2ab，于是（ab）2a2abb2ab，又ab0，得ab1，又ab（ab）2，而（ab）2ababab（ab）2，即（ab）2ab，所以ab，故有1ab。6. 已知a、b、c不全为零，求证：证明：因为，同理，。所以二. 分式放缩一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。7.

4、已知a、b、c为三角形的三边，求证：。证明：由于a、b、c为正数，所以，所以，又a，b，c为三角形的边，故b+ca，则为真分数，则，同理，故.综合得。三. 裂项放缩若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。 8. 已知nN*，求。证明：因为，则，证毕。9. 已知且，求证：对所有正整数n都成立。证明：因为，所以，又，所以，综合知结论成立。四. 公式放缩利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。10. 已知函数，证明：对于且都有。证明：由题意知又因为且，所以只须证，又因为所以。11. 已知，求证：当时。证明：证毕。12. 已知数列中，证明：放缩一

5、：点评：此种放缩为常规法，学生很容易想到，但需要保留前5项，从第6项开始放大，才能达到证题目的，这一点学生往往又想不到，或因意志力不坚强而放弃。需要保留前5项，说明放大的程度过大，能不能作一下调节？放缩二：点评：此种方法放大幅度较（一）小，更接近于原式，只需保留前2项，从第3项开始放大，能较容易想到，还能再进一步逼近原式？放缩三： 本题点评：随着放缩程度的不同，前面需保留不动的项数也随着发生变化，放缩程度越小，精确度越高，保留不动的项数就越少，运算越简单，因此，用放缩法解题时，放缩后的式子要尽可能地接近原式，减小放缩度，以避免运算上的麻烦。13.已知数列中，求证：方法一： 方法二：点评：方法一

6、用的是放缩法后用裂项法求和；方法二是通过放缩转化为等比数列求和，从数值上看方法二较方法一最后结果的精确度高，但都没超过要证明的结果3。五. 换元放缩对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目的。14. 已知，求证。证明：因为，所以可设，所以则，即。15. 已知a，b，c为ABC的三条边，且有，当且时，求证：。 证明：由于，可设a=csina，b=ccosa（a为锐角），因为，则当时，所以。六. 单调函数放缩根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。16. 已知a，bR，求证。证明：构造函数，首先判断其单调性，设，因为，所以，所以在上是增函数，取，显然满足，所以，即。证毕。