浅谈在中学数学解题中柯西不等式的运用毕业论文.doc

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1、【标题】浅谈在中学数学解题中柯西不等式的运用 【作者】徐 跃 【关键词】柯西不等式中学数学应用证明 【指导老师】刘 春 花 【专业】数学教育 【正文】1引言许多学生对不等式证明、求最值、求参数等题型感到困难，其原因有以下几方面：一是数学基础知识不扎实，二是识别数学模型和组织信息的能力训练不够，三是在思考和解决问题中缺乏理念、方向、方法和技能，四是在探索隐蔽模式显现化过程中缺乏必要的心理素质和技能.我们在解决数学问题时不必拘泥于某种单一的方法，可根据具体情况灵活选择最简单、最优化的方法，从而达到最佳的解题效果.经典的柯西不等式就能给我们解决许多数学问题带来很多的方便，关于柯西不等式的研究一直受到

2、人们的关注，在高中数学新教材中也有选学内容.本文就是应用柯西不等式解决中学数学问题，在解题时将柯西不等式的解题思想渗透给学生，深刻论述柯西不等式在中学数学解题中的优越性.1.1问题的提出及研究意义1.1.1问题的提出柯西不等式是一个重要的不等式，它能够解决数学中很多问题.那么它的应用到底表现在哪些方面？对我们在中学数学解题中有什么好处？1.1.2研究的意义灵活巧妙地应用柯西不等式，可以使一些较为困难的问题迎刃而解.柯西不等式是解决许多数学问题的有力工具，既符合学生可接受性原则，又充分体现了数学知识的应用价值.研究柯西不等式在中学解题中的应用有利于培养学生思维，提高学生兴趣，能够引导学生去认识数

3、学知识之间的联系.1.2本文研究的目的和内容1.2.1本文研究的目的柯西不等式有着广泛的应用，有许多中学数学问题都可用柯西不等式来求解.为了使柯西不等式解题思想在中学广泛应用，使学生能够熟练掌握运用柯西不等式进行解题，并将柯西不等式解题思路渗透给中学教师和学生，研究柯西不等式在中学解题中的应用具有实用价值.1.2.2本文研究的内容首先简单阐述柯西不等式的基本形式、向量形式及推论形式，然后用具体的例题论述柯西不等式在以下几方面的应用：(1)柯西不等式在解方程中的应用;(2)柯西不等式在求参数范围时的应用;(3)柯西不等式在不等式证明中的应用;(4)柯西不等式在求函数最值问题中的应用;(5)柯西不

4、等式在平面几何中的应用.2柯西不等式的一些形式我们知道，柯西不等式在数学的各个分支里都有着极其广泛的应用，它在不同的领域有着不同的表现形式，对它的应用可谓灵活多样.柯西不等式在初等数学和高等数学中有着不菲的价值，它的应用充分体现了数学各领域间的内通性、渗透性和统一性.对柯西不等式本身的证明涉及有关不等式的一些基本方法和技巧.因此，熟练掌握此不等式的证明对提高我们解决一些数学问题有很大帮助.下面我们给出柯西不等式的基本形式、向量形式和部分推论形式.2.1柯西不等式的基本形式设、，则，设、不全为零，当且仅当=(为实常数， 1,2,)时不等式取等号1.证明:若 0，则 0，此时不等式显然成立.若 0

5、，构造二次函数： 2 0.对一切恒成立，所以二次函数的判别式： 4 4 0，即.当时，显然不等式取等号；.当不等式取等号时 0，二次函数有唯一实根设为，则 0，即，所以柯西不等式得证.2.2柯西不等式的向量形式设维向量，则有，当且仅当时取等号2.2.3柯西不等式的推论形式推论31：若令， 0，,代入得到以下推论：.推论24：设,则.当且仅当时，不等式取等号.证明：,即.从而得.3柯西不等式在解方程中的应用在以前我们见到的方程通常是个未知数和个方程的问题.很少看到方程个数多于未知数个数的问题，如果遇到这样的方程，它的解一般不唯一，但是也有可能是唯一解，在中学时很难解决这类方程，有时利用柯西不等式

6、解决这类方程就相当简单.我们不妨来看一看.例1：在实数集内解方程分析：本题看似代数题实际是一个立体几何问题，它是关于一个球体（圆心在原点，半径为）与一个平面的交点问题.首先判断球与平面的位置关系，也就是圆心到该平面的距离，根据公式5，容易得出，所以，即球体与面相切有且只有一个交点.然后求出通过圆心且垂直平面的直线.直线必然与球有两个交点，这两个交点中只有一个点在平面上，在平面上的点为所求点.但是应用这种方法时在求直线时比较麻烦，学生也很难理解，并且在求直线与球相交时也很复杂，计算量也大，所以这种方法不是解决本题最好方法.实际上本题可以构造柯西不等式来求解，以下是运用柯西不等式解决此题的全过程.

7、解：由柯西不等式得,所以.又,即不等式中只有等号成立.从而，柯西不等式中等号成立的条件，得.与式联立得、.容易得到运用柯西不等式解决上题比传统方法简单，利用柯西不等式解决此题只要构建合理的柯西不等式模型即可，而传统方法步骤复杂，要进行多次问题转化.另外，我们在运用中学传统方法解此题时，已经将本题转化几何问题，所以我们还能得到：柯西不等式不但能解决代数问题，还能解决部分几何问题，足以见得，柯西不等式在中学解题中应用之广泛.4柯西不等式在求参数范围时的应用在中学求参数问题既是一个重点又是一个难点问题，在求参数时通常不能直接求解，都要经过多次问题转化，有时还要利用题设中的限制条件进行讨论，步骤相当复

8、杂，稍不注意将会出错.例26：已知对于满足等式 3的任意实数对恒有 2，求实数的取值范围.分析：首先用中学传统的方法去分析， 3是一个椭圆方程.再将条件 2转化为，于是原题转化为：“已知椭圆 3与直线相交，求的取值.”这样就将问题转化为中学的数形结合题.现在只要将椭圆方程和直线方程联立求解再结合的取值范围便可求解，但是在用这种方法求解时显得相当麻烦，首先要正确的转化问题，另外在联立求解时还要考虑的取值，在解答时还有可能分步讨论，这样如果分析不完全，将会出错.让我们想一想能否用更简单的方法来解此题，使之没有这么麻烦.仔细观察容易得到可以构造为柯西不等式模型：.解：由=.,所以,要使对恒有.即所以

9、,.容易看出：运用中学传统方法解答时进行了多次问题转化，步骤复杂，计算量也相当的大，所以学生吸收起来比较困难.然而运用柯西不等式解答时问题就迎刃而解，直接运用公式就可得到结论，相当方便，学生很容易吸收.5柯西不等式在不等式证明中的应用中学证明不等式的传统方法有比较法、综合法、换元法、放缩法等，方法相当多，但很少用柯西不等式证明不等式.例37：设, 1,求证 4.分析：构建柯西不等式，通过观察，由于 1,所以,然而等式的右边恰好是柯西不等式的右边.证明：, 4.例48：如果都是正数,且，求证+.分析：由于可以构造为柯西不等式推论1的形式,然而等式的右边为推论1中不等式的左边形式.证明：由推论1可

10、知,例5：设都是正实数，试证.分析：通过观察，可以看作是两向量相乘.可以看作是一向量的模,也可以看作是一向量的模,所以不等式的右边就是两向量模的乘积.然后结合，就可以解此题.证明：设向量，.则=,.由柯西不等式向量形式得：,我们可以看到：运用柯西不等式证明不等式只要合理构造柯西不等式的模型就能使问题迎刃而解，绝大多数问题都可一步到位，也不用太多计算.利用这种方法解中学数学问题时能让学生领悟到数学的思想方法，还能提高学生的思维水平.6柯西不等式在求函数最值问题中的应用用导数法解决一类函数的最值问题，可谓方法绝妙，用这种方法求解，对一般学生难度不大，但是相当复杂.我们不妨利用柯西不等式来求解最值问

11、题，有时要简单一些.例69:求函数 2的最大值.导数法：分析：先求出函数 2的定义域为.再求出,再令 0，求出当 0时的值，找到函数的稳定点.最后将所有稳定点、不可导点与端点值比较大小，最大的值便是所求函数的最大值.柯西不等式法：解：函数 2的定义域为.由柯西不等式推论2有：=,所以 2.通过以上例题我们不难发现：应用中学所学的导数法求解时，虽然思路清晰，学生也易吸收，但是步骤复杂，计算量也相当大，一不小心就会计算错误，特别是在求函数稳定点时更加明显.然而运用柯西不等式的方法求解时只要合理地构建柯西不等式的模型即可，这种方法不但思路清晰，而且步骤相当简单，也不用太多的计算.7柯西不等式在平面几

12、何中的应用柯西不等式不仅在代数方面能够帮助我们解决问题，在解决几何问题上也给我们带来了方便.例710：为内一点，分别为到各边所引垂线的垂足，求所有使为最小的点.解：如图，设的三边长，面积为，记，则由柯西不等式，得即.即,当且仅当（即，也就是）时等号成立，因而使为最小的点是的内心.由此可见:柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解.8主要结论柯西不等式可以直接运用到其它很多数学问题中，由此我们可以看到它的应用相当广泛，本文主要研究了柯西不等式在以下几方面的应用：(1)解方程中的应用；(2)求参数范围；(3)不等式证明；(4)求函数最值问题；(5)平

13、面几何中的应用.运用柯西不等式解决数学问题时的关键是“构造两组数”，并按照柯西不等式的形式进行探索.然而柯西不等式的形式有基本形式、向量形式还有推论形式以及向量形式，我们要合理选择.所以这两组数的构造需要一定的技巧.柯西不等式充分体现了数学的几个分支之间相互渗透、相互促进的内在联系.正如希尔伯特所说：“数学是一个有机整体，它的生命力依赖于各部分的联系.”上述利用柯西不等式解决的一系列数学问题是我们进行“数学探究”的极好的材料，对于培养学生的思维品质，使他们领悟数学思想方法，认识知识间的联系，促进创造性思维很有帮助.教师应该在具体的教学实践中鼓励和引导学生综合运用柯西不等式解决有关数学问题.在教学中教师应引导学生多思考，利用所学的知识将一些不等式进行推广,这样可以提高学生的学习兴趣，开阔他们的视野，培养他们的思维.从柯西不等式的应用可以看到，熟练应用柯西不等式是非常有意义的,我们应该多鼓励学生将柯西不等式应用到中学解题中.