江苏省一轮复习数学试题选编23：椭圆（学生版） Word版含答案（ 高考）.doc

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1、江苏省2014届一轮复习数学试题选编23：椭圆（学生版）填空题 （2013江苏高考数学）在平面直角坐标系中,椭圆的标准方程为,右焦点为,右准线为,短轴的一个端点为,设原点到直线的距离为,到的距离为,若,则椭圆的离心率为_. （江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）椭圆()的左焦点为F,直线与椭圆相交于A,B两点,若的周长最大时,的面积为,则椭圆的离心率为_. （2009高考(江苏)）如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为_. （南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）已知、

2、分别是椭圆的左、右焦点, 点是椭圆上的任意一点, 则的取值范围是 . （江苏省南京市四区县2013届高三12月联考数学试题 ）设椭圆:的左、右焦点分别为,上顶点为,过点与垂直的直线交轴负半轴于点,且.则椭圆的离心率为_ （江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）在平面直角坐标系中,已知点是椭圆上的一个动点,点P在线段的延长线上,且,则点P横坐标的最大值为_. （扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）已知椭圆的离心率,A、B是椭圆的左、右顶点,P是椭圆上不同于A、B的一点,直线PA、PB斜倾角分别为、,则=_. 解答题 （扬州市2012-2013学

3、年度第一学期期末检测高三数学试题）如图,已知椭圆方程为,圆方程为,过椭圆的左顶点A作斜率为直线与椭圆和圆分别相交于B、C. ()若时,恰好为线段AC的中点,试求椭圆的离心率;()若椭圆的离心率=,为椭圆的右焦点,当时,求的值;()设D为圆上不同于A的一点,直线AD的斜率为,当时,试问直线BD是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由. （江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理）已知椭圆的中心为原点O,一个焦点为F,离心率为.以原点为圆心的圆O与直线互相切,过原点的直线与椭圆交于A,B两点,与圆O交于C,D两点.(1)求椭圆和圆O的方程;(2)线段CD恰好被

4、椭圆三等分,求直线的方程.（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）如图,设,分别为椭圆的右顶点和上顶点,过原点作直线交线段于点(异于点,),交椭圆于,两点(点在第一象限内),和的面积分别为与.(1)若是线段的中点,直线的方程为,求椭圆的离心率;(2)当点在线段上运动时,求的最大值.OMDACB（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）已知左焦点为F(-1,0)的椭圆过点E(1,).过点P(1,1)分别作斜率为k1,k2的椭圆的动弦AB,CD,设M,N分别为线段AB,CD的中点.(1)求椭圆的标准方程;(2)若P为线段AB的中点,求k1;(3)若k1+k2=1,

5、求证直线MN恒过定点,并求出定点坐标.（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）已知椭圆的离心率,一条准线方程为求椭圆的方程;设为椭圆上的两个动点,为坐标原点,且.当直线的倾斜角为时,求的面积;是否存在以原点为圆心的定圆,使得该定圆始终与直线相切?若存在,请求出该定圆方程;若不存在,请说明理由.（江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）如图,在平面直角坐标系中,点为椭圆的右顶点, 点,点在椭圆上, .(1)求直线的方程;(2)求直线被过三点的圆截得的弦长;(3)是否存在分别以为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的方程;若不存在,请说明理由.（苏北三市（徐州、淮安、宿

6、迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）如图,在平面直角坐标系中,椭圆的焦距为2,且过点.(1)求椭圆的方程;(2)若点,分别是椭圆的左、右顶点,直线经过点且垂直于轴,点是椭圆上异于,的任意一点,直线交于点()设直线的斜率为直线的斜率为,求证:为定值;()设过点垂直于的直线为.求证:直线过定点,并求出定点的坐标.（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点 在直线上。（1）求椭圆的标准方程（2）求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并

7、求出这个定值。（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）如图,在平面直角坐标系xoy中,已知分别是椭圆E:的左、右焦点,A,B分别是椭圆E的左、右顶点,且. (1)求椭圆E的离心率;(2)已知点为线段的中点,M 为椭圆上的动点(异于点、),连接并延长交椭圆于点,连接、并分别延长交椭圆于点、,连接,设直线、的斜率存在且分别为、,试问是否存在常数,使得恒成立?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）如图,圆O与离心率为的椭圆T:()相切于点M.求椭圆T与圆O的方程;过点M引两条互相垂直的两直线、与两曲线分别交于点A、C与点B、D(均不重合

8、).若P为椭圆上任一点,记点P到两直线的距离分别为、,求的最大值;若,求与的方程.（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）已知椭圆的左、右顶点分别为,圆上有一动点, 在轴的上方,直线交椭圆于点,连结,.(1)若,求的面积;(2)设直线,的斜率存在且分别为,若,求的取值范围.OPDACB（2011年高考（江苏卷）如图,在平面直角坐标系中,分别是椭圆的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于两点,其中在第一象限,过作轴的垂线,垂足为,连接,并延长交椭圆于点,设直线的斜率为yBAMNxPOC(1)若直线平分线段,求的值;(2)当时,求点到直线的距离;(3)对任意,求证:（镇江市2013届

9、高三上学期期末考试数学试题）已知椭圆的中心在原点,长轴在x轴上,右顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为. 不过A点的动直线交椭圆于P,Q两点.(1)求椭圆的标准方程;(2)证明P,Q两点的横坐标的平方和为定值;(3)过点 A,P,Q的动圆记为圆C,动圆C过不同于A的定点,请求出该定点坐标.（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）在直角坐标系上取两个定点,再取两个动点,且.()求直线与交点的轨迹的方程;()已知点()是轨迹上的定点,是轨迹上的两个动点,如果直线的斜率与直线的斜率满足,试探究直线的斜率是否是定值?若是定值,求出这个定值,若不是,说明理由.（南京市、盐城市2013届高三年级第一

10、次模拟考试数学试题）如图, 在平面直角坐标系中, 已知椭圆经过点,椭圆的离心率, 、分别是椭圆的左、右焦点.(1)求椭圆的方程;(2)过点作两直线与椭圆分别交于相异两点、. 若直线过坐标原点, 试求外接圆的方程;若的平分线与轴平行, 试探究直线的斜率是否为定值?若是, 请给予证明;若不是, 请说明理由.（苏州市第一中学2013届高三“三模”数学试卷及解答）已知椭圆过点,且它的离心率.直线与椭圆交于、两点.()求椭圆的标准方程;()当时,求证:、两点的横坐标的平方和为定值;()若直线与圆相切,椭圆上一点满足,求实数的取值范围.OxyMN（江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）WORD

11、版）在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(ab0)的左右顶点分别为A,B,离心率为,右准线为l:x=4.M为椭圆上不同于A,B的一点,直线AM与直线l交于点P.(1)求椭圆C的方程;(2)若=,判断点是否在以PM为直径的圆上,并说明理由;(3)连结PB并延长交椭圆C于点N,若直线MN垂直于x轴,求点M的坐标.ABPMNxyO(第18题)（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）椭圆的右焦点为,右准线为,离心率为,点在椭圆上,以为圆心,为半径的圆与的两个公共点是.(1)若是边长为的等边三角形,求圆的方程;(2)若三点在同一条直线上,且原点到直线的距离为,求椭圆方程.

12、科.网（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）已知椭圆E:的左顶点为A,左.右焦点分别为F1.F2,且圆C:过A,F2两点.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线PF2的倾斜角为,直线PF1的倾斜角为,当-=时,证明:点P在一定圆上.（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆:的离心率,分别是椭圆的左、右两个顶点,圆的半径为,过点作圆的切线,切点为,在轴的上方交椭圆于点. 求直线的方程;求的值;设为常数.过点作两条互相垂直的直线,分别交椭圆于点,分别交圆于点,记和的面积分别为,求的最大值.A1A2OPQMNBCxy（第18题图）（江苏省连

13、云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修历史）如图,已知中心在原点且焦点在x轴上的椭圆E经过点A(3,1),离心率.(1)求椭圆E的方程;(2)过点A且斜率为1的直线交椭圆E于A、C两点,过原点O与AC垂直的直线交椭圆E于B、D两点,求证A、B、C、D四点在同一个圆上.（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）在平面直角坐标系中,椭圆C:过点.(1)求椭圆C的方程;(2)已知点在椭圆C上,F为椭圆的左焦点,直线的方程为.求证:直线与椭圆C有唯一的公共点;若点F关于直线的对称点为Q,求证:当点P在椭圆C上运动时,直线PQ恒过定点,并求出此定点的坐标.（江苏省泰州市2012-2

14、013学年度第一学期期末考试高三数学试题）直角坐标系中,已知椭圆 （江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）如图,已知椭圆C:=1的离心率为,过椭圆C上一点P(2,1)作倾斜角互补的两条直线,分别与椭圆交于点A、B,直线AB与x轴交于点M,与y轴负半轴交于点N.()求椭圆C的方程:()若SPMN=,求直线AB的方程.（2012年江苏理）如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,.已知和都在椭圆上,其中为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设是椭圆上位于轴上方的两点,且直线与直线平行,与交于点P.(i)若,求直线的斜率;(ii)求证:是定值.（2010年高考（江苏）在平面直

15、角坐标系中,如图,已知椭圆的左右顶点为A,B,右焦点为F,设过点T()的直线TA,TB与椭圆分别交于点M,其中m0,设动点P满足,求点P的轨迹设,求点T的坐标设,求证:直线MN必过x轴上的一定点ABOF(其坐标与m无关)（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）如图,在平面直角坐标系中,已知点是椭圆的左焦点,分别为椭圆的右、下、上顶点,满足,椭圆的离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)若为线段(包括端点)上任意一点,当取得最小值时,求点的坐标;(3)设点为线段(包括端点)上的一个动点,射线交椭圆于点,若,求实数的取值范围.OMNACB（连云港市2012-2013学年度第一学期

16、高三期末考试数学试卷）已知椭圆C:(ab0)的上顶点为A,左,右焦点分别为F1,F2,且椭圆C过点P(,),以AP为直径的圆恰好过右焦点F2.(1)求椭圆C的方程;(2)若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点,试问:在轴上是否存在两定点,使其到直线l的距离之积为1?若存在,请求出两定点坐标;若不存在,请说明理由.xyOF2(第18题图)PAF11（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）如图,在平面直角坐标系中,椭圆的右焦点为,离心率为.分别过,的两条弦,相交于点(异于,两点),且.(1)求椭圆的方程;(2)求证:直线,的斜率之和为定值.（第18题）（江苏省徐

17、州市2013届高三考前模拟数学试题）已知椭圆:的离心率为,右焦点为,且椭圆上的点到点距离的最小值为2.求椭圆的方程;设椭圆的左、右顶点分别为,过点的直线与椭圆及直线分别相交于点.()当过三点的圆半径最小时,求这个圆的方程;()若,求的面积.（江苏省盐城市2013届高三10月摸底考试数学试题）如图,直线与椭圆:()交于两点,与轴和轴分别交于点和点,点是点关于轴的对称点,直线与轴交于点.(1)若点为(6,0),点为(0,3),点,恰好是线段的两个三等分点.求椭圆的方程;过坐标原点引外接圆的切线,求切线长;(2)当椭圆给定时,试探究是否为定值?若是,请求出此定值;若不是,请说明理由.（南京市、盐城市

18、2013届高三第三次模拟考试数学试卷）在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: +=1.(1)若椭圆C的焦点在x轴上,求实数m的取值范围;(2)若m=6,P是椭圆C上的动点, M点的坐标为(1,0),求PM的最小值及对应的点P的坐标;过椭圆C的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线,交椭圆C于A,B两点,线段AB的垂直平分线l交x轴于点N,证明: 是定值,并求出这个定值.（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）已知椭圆C: + =1(ab0)的左焦点为F1(-3,0),过点F1作一条直线l交椭圆于A,B两点,点A关于坐标原点O的对称点为A1,两直线AB,A1B的斜率之积为-.(1)求椭圆C的方程

19、;(2)已知D(m,0)为F1右侧的一点,连AD,BD分别交椭圆左准线于M,N两点,若以MN为直径的圆恰好过点F1,求m的值. 江苏省2014届一轮复习数学试题选编23：椭圆（学生版）参考答案填空题 解析:本题主要考察椭圆的性质,以及化繁为简运算能力及数学思想方法. 中,利用面积相等 或者利用原点到直线即的距离公式得,因为带入得 左边分子分母同时除以右边平方再开方得: (舍) 法二:【解析】如图,l:x=,=-c=,由等面积得:=.若,则=,整理得:,两边同除以:,得:,解之得:=,所以,离心率为: yxlBFOcba 【答案】【解析】用表示交点T，得出M坐标，代入椭圆方程即可转化解得离心率.

20、 提示:设,由,得, =, 研究点P横坐标的最大值,仅考虑, (当且仅当时取“=”). 解答题 解:()当时,点C在轴上,且,则,由点B在椭圆上, 得, , ()设椭圆的左焦点为,由椭圆定义知, ,则点B在线段的中垂线上, 又, 代入椭圆方程得=,= ()法一:由得, ,或, ,则 由得, 得,或,同理,得, 当时, , BDAD,为圆, ADB所对圆的弦为直径,从而直线BD过定点(a,0) 法二:直线过定点, 证明如下: 设,则: , 所以,又 所以三点共线,即直线过定点 (2) 直线的方程为,由 解得, 恰好被椭圆三等分, = , 直线的方程为 解:依题设c=1,且右焦点(1,0). 所以

21、,2a=,b2=a2-c2=2, 故所求的椭圆的标准方程为 (2)设A(,),B(,),则,. -,得 . 所以,k1= (3)依题设,k1k2. 设M(,),直线AB的方程为y-1=k1(x-1),即y=k1x+(1-k1),亦即y=k1x+k2, 代入椭圆方程并化简得 . 于是, 同理,. 当k1k20时, 直线MN的斜率k= 直线MN的方程为, 即 , 亦即 . 此时直线过定点 当k1k2=0时,直线MN即为y轴,此时亦过点. 综上,直线MN恒过定点,且坐标为 本题主要考查直线与椭圆的基础知识,考查计算能力与独立分析问题与解决问题的能力.讲评本题时,要注意对学生耐挫能力的培养. 第(2)

22、问,亦可设所求直线方程为y-1=k1(x-1),与椭圆方程联立,消去一个变量或x或y,然后利用根与系数的关系,求出中点坐标与k1的关系,进而求出k1的值. 第(3)问,可有一般的情形:过定椭圆内的定点作两条斜率和为定值的动弦,则两动弦的中点所在直线过定值.此结论在抛物线中也成立.另外,也可以求过两中点所在直线的斜率的最值. 近几年江苏高考解析几何大题的命题趋势:多考一点“算”,少考一点“想”. (1)因为, 解得,所以椭圆方程为 (2)由,解得 , 由 得 , 所以,所以 假设存在满足条件的定圆,设圆的半径为,则 因为,故, 当与的斜率均存在时,不妨设直线方程为:, 由,得,所以, 同理可得

23、(将中的换成可得) , 当与的斜率有一个不存在时,可得, 故满足条件的定圆方程为: 解: (1)因为,且A(3,0),所以=2,而B, P关于y轴对称,所以点P的横坐标为1, 从而得 所以直线BD的方程为 (2)线段BP的垂直平分线方程为x=0,线段AP的垂直平分线方程为, 所以圆C的圆心为(0,-1),且圆C的半径为 又圆心(0,-1)到直线BD的距离为,所以直线被圆截得的弦长 为 由题意得 ,所以,又, 消去可得,解得或(舍去),则, 所以椭圆的方程为 ()设,则, 因为三点共线,所以, 所以,8分 因为在椭圆上,所以,故为定值 ()直线的斜率为,直线的斜率为, 则直线的方程为, =, 所

24、以直线过定点 解：（1）又由点M在准线上，得故，从而 所以椭圆方程为 （2）以OM为直径的圆的方程为即 其圆心为,半径 因为以OM为直径的圆被直线截得的弦长为2所以圆心到直线的距离 所以，解得所求圆的方程为 （3） 设，则 所以，为定值 解:(1),.,化简得, 故椭圆E的离心率为. (2)存在满足条件的常数,.点为线段的中点,从而,左焦点,椭圆E的方程为.设,则直线的方程为,代入椭圆方程,整理得,.,.从而,故点.同理,点.三点、共线,从而.从而.故,从而存在满足条件的常数,. 解: (1)由题意知: 解得可知: 椭圆的方程为与圆的方程 (2)设因为,则因为 所以, 因为 所以当时取得最大值

25、为,此时点 (3)设的方程为,由解得; 由解得 把中的置换成可得,12分 所以, , 由得解得15分 所以的方程为,的方程为 或的方程为,的方程为16分 【命题立意】本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力. 【解析】由题设知,故, 所以线段MN的中点坐标为,由于直线PA平分线段MN,故直线PA过线段MN的中点,又直线PA过坐标原点,所以. (2)直线PA的方程为,代入椭圆方程得,解得,因此.于是,直线AC的斜率为,故直线AB的方程为.因此. (3)将直线PA的方程代入,解得. 记,则.于是.故直线AB的斜率为,

26、其方程为,代入椭圆方程得,解得或.因此,于是直线PB的斜率.因此,所以 解:(1)设椭圆的标准方程为.由题意得 , , 椭圆的标准方程为 (2)证明:设点 将带入椭圆,化简得: , , P,Q两点的横坐标的平方和为定值4 (3)(法一)设圆的一般方程为:,则圆心为(), PQ中点M(), PQ的垂直平分线的方程为:, 圆心()满足,所以, 圆过定点(2,0),所以, 圆过, 则 两式相加得: , , 因为动直线与椭圆C交与P,Q(均不与A点重合)所以, 由解得: 代入圆的方程为:, 整理得:, 所以: 解得:或(舍). 所以圆过定点(0,1) (法二) 设圆的一般方程为:,将代入的圆的方程:

27、方程与方程为同解方程., 圆过定点(2,0),所以 , 因为动直线与椭圆C交与P,Q(均不与A点重合)所以. 解得: , (以下相同) 【说明】本题考查圆锥曲线的基本量间关系、直线与圆锥曲线的位置关系;考查定点定值问题;考查运算求解能力和推理论证能力. 解: (1)由,得,故椭圆方程为3分 又椭圆过点,则,解得,所以椭圆的方程为 (2)记的外接圆的圆心为.因为,所以的中垂线方程为, 又由, ,得的中点为,而, 所以的中垂线方程为,由,得 所以圆T的半径为, 故的外接圆的方程为 (说明:该圆的一般式方程为) (3)设直线的斜率为,由题直线与的斜率互为相反数, 直线的斜率为.联立直线与椭圆方程:

28、, 整理得,得, 所以,整理得, 又 =,所以为定值 解:() 设椭圆的标准方程为 由已知得:,解得 所以椭圆的标准方程为: () 由,得,设, 则,为定值 ()因为直线与圆相切 所以, 把代入并整理得: 设,则有 因为, 所以, 又因为点在椭圆上, 所以, . 因为 所以 , 所以 ,所以 的取值范围为 解:(1)由解得所以b2=3.所以椭圆方程为+=1 (2)因为=,所以xM=1,代入椭圆得yM=,即M(1,),所以直线AM为:y=(x+2),得P(4,3),所以=(-1,),=(2,3) 因为=0,所以点B不在以PM为直径的圆上 (3)因为MN垂直于x轴,由椭圆对称性可设M(x1,y1)

29、,N(x1,-y1).直线AM的方程为:y=(x+2),所以yp=,直线BN的方程为:y=(x-2),所以yp=, 所以=.因为y10,所以=-.解得x1=1.所以点M的坐标为(1,) 解:设椭圆的半长轴是,半短轴是,半焦距离是, 由椭圆的离心率为,可得椭圆方程是, (只要是一个字母,其它形式同样得分,) 焦点,准线,设点, (1)是边长为的等边三角形, 则圆半径为,且到直线的距离是, 又到直线的距离是, 所以, 所以 所以,圆的方程是 (2)因为三点共线,且是圆心,所以是线段中点, 由点横坐标是得, 再由得:, 所以直线斜率 直线:, 原点到直线的距离, 依题意,所以, 所以椭圆的方程是 解

30、:(1)圆与轴交点坐标为, 故,所以,椭圆方程是:. (2)设点P(x,y),因为(-,0),(,0), 设点P(x,y),则=tan=,=tan=, 因为-=,所以tan(-)=-. 因为tan(-)=, 所以=-.化简得x2+y2-2y=3. 所以点P在定圆x2+y2-2y=3上. 连结,则,且, 又,所以. 所以,所以直线的方程为 由知,直线的方程为,的方程为, 联立解得 因为,即,所以,故椭圆的方程为. 由解得, 所以 不妨设的方程为, 联立方程组解得, 所以; 用代替上面的,得. 同理可得, 所以 因为, 当且仅当时等号成立,所以的最大值为 解(1) 设椭圆方程为,因为离心率,所以,

31、 所以椭圆方程为, 又因为经过点,则, 所以,所以椭圆的方程为 (1)P(,), KOP=-1,4b2=3a2=4(a2-c2), a2=4c2, e= (2)MN=, 由得,a2=4,b2=3, (3)cos=cos,= 化简得: t=-y0 0y08-m0,解得4m0.由c=3,得25k2-16k2=9,所以k=1 所以,椭圆C:+ =1 (2)若l存在斜率k时,设l:y=k(x+3),A(x1,y1),B(x2,y2), 由消去y,得(16+25k2)x2+150k2x+225 k2-400=0. 所以 设,由M、A、D共线,得, 同理 又, 得=-, 整理得 ,所以m=5,因为m-3,所以m=5