毕业论文数列的差分及其教学研究.doc

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1、毕业论文论文题目：数列的差分及其教学研究 目 录摘要IAbstractII1引言12数列的差分13递推数列44数列的基本定理114.1数列114.2等差数列114.3等差数列的前项和114.4等比数列124.5等比数列的前项和125数列通项公式的求法135.1观察法135.2递推法135.3转化构造法145.4归纳法146差分与数列的教学设计研究156.1高中数列教学设计的内容156.1.1知识结构156.1.2数学概念156.1.3数学公式156.1.4数学方法166.2数列教学涉及的因素分析166.2.1数列的教学设计思路176.2.2数列教学设计的学法探讨176.3对数列教学设计的实践分

2、析186.3.1探讨最优的教学设计186.3.2教学设计要适合学生186.3.3教学案例18致 谢21参考文献21数列的差分及其教学研究 摘要： 数列不仅是数学的基础知识之一，蕴含着类比、猜想、归纳、递归等丰富的数学思想方法，而且数列知识在日常生活、社会实践中有着广泛的应用.同时，数列的教学也是培养观察、分析、归纳、猜想、逻辑推理以及运用数学知识提出问题、分析问题和解决问题的必不可少的重要途径.差分是2003版高中数学课程标准中选修课程三中的一门选修知识，也是高中数学课程标准中较之原教大纲新增的内容之一，因此，有必要探讨与数列相关的知识的联系与教学规律.所以，研究数列的教学设计可以洞察高中数学

3、教学设计的一般规律，进而在高中教学研究的理论与实践之间架起一座更为坚实的桥梁.进行数列的教学设计，既要考虑到教学内容的特点，又要考虑到学生的因素，还与教师的教学风格有关，要综合多种因素，因情况而定，但好的教学设计就是既达到知识的传授，又能对学生的能力发展有一定的促进作用.关键词：数列 等差数列 等比数列 差分 数列的教学研究Difference of Sequence of number and its Teaching Research Abstract: Sequence of number is not only one of the basic knowledge of mathema

4、tics, contains many ways of mathematical thinking, such as analogy, imagine, draw conclusions, recursive, but also, it has a wide range of applications in our everyday life. At the same time, the sequence teaching also is raises the observation, the analysis, the induction, the suspicion, the logica

5、l inference as well as using mathematics knowledge proposed the question, the analysis question and solve the question essential important way. Difference is knowledge of an elective of high school mathematics curriculum standards the 2003 edition in three elective courses，also, Its a new knowledge

6、of high school mathematics curriculum standards，so，Its necessary to discussion Sequence of number associated with the knowledge and the teaching law. Thus, the research sequence teaching research may see clearly the high school mathematics teaching research in general rule, then puts up a more solid

7、 bridge between the high school mathematics teaching research theory and the practice. So, when carrying on the teaching research of the sequence. Choosing which kind of teaching research style and presenting by any type form for the students, both must consider to the course content characteristic,

8、 and must consider to students factor. Certainly it also relates to teachers teaching style. So we must synthesize the many kinds of factors, then decide by the situation. However the good teaching research does not only achieve the knowledge of research, but also can have the certain promoter actio

9、n to students ability development.Keywords: Sequence of number；Arithmetic Sequence of number；Geometric Sequence of number； difference；Teaching Research of Sequence of number1引言数学是一门逻辑性很强的基础科学，人们运用通过数学推导出的种种概念、原理与规律指导日常生活.有人把数学对于人类的意义比作生活中不能缺少盐一样.离开了数学，人们的生活将寸步难行.数学早已确立了其在人类文明中的基础地位，恩格斯说过，“一个学科成熟的标志，

10、就是数学的介入.”这充分体现出了数学的重要性.自然科学和工程领域中数学知识无处不在，甚至在人文学科中数学也扮演着越来越重要的角色.一切科学、技术的发展都需要数学，这是因为数学的抽象，使外表完全不同的问题之间有了深刻的联系.因此数学是自然科学中最基础的学科，因此常被誉为科学的皇后.数列是一种特殊的函数.有时候也把它称为“离散”的函数.它不仅是数学中一种重要的研究对象，也是研究数学问题的一种重要的方法和工具.数列不仅是数学的基础知识之一，蕴含着类比、猜想、归纳、递归等丰富的数学思想方法，而且数列知识在日常生活、社会实践中有着广泛的应用.同时，数列的教学也是培养观察、分析、归纳、猜想、逻辑推理以及运

11、用数学知识提出问题、分析问题和解决问题的必不可少的重要途径.数学公式只是一些符号，学生记忆容易，但用起来困难，因此，公式的记忆要借助于对知识点的理解.在教学中，设置的问题由易到难，在解决问题过程中，一步一步引向要学的知识，让学生在问题中寻找规律、方法，并加以总结，最后得到数列的公式；在课堂练习中，增加讨论、小节这一环节，帮助学生提高认识、归纳方法，通过分析公式中各个量，只要知道其中的任意几个量就可以求另一个，如果是求两个量，可以用公式联立方法组解决问题.这样，通过对问题解决方法的归纳，提高了学生的解题能力.因而，研究数列的教学设计可以洞察高中数学教学设计的一般规律，进而在高中教学研究的理论与实

12、践之间架起一座更为坚实的桥梁.因此，进行数列的教学设计，既要考虑到教学内容的特点，又要考虑到学生的因素，还与教师的教学风格有关，要综合多种因素，因情况而定，但好的教学设计就是既达到知识的传授，又能对学生的能力发展有一定的促进作用.2数列的差分通过学习数列的差分理解数列的一、二阶差分，高阶差分以及它们对描述数列变化的意义，结合数列，了解差分与数列并懂得运用差分的思想去解决一些常见的递推数列.定义 对于数列，称为的一阶差数列，并称 为的一阶差分（简称差分）； 的一阶差分 叫做的二阶差分；一般地，设是任一正整数，则称 为的阶差分，这里，.由定义可以直接推出差分的如下性质.定理 1 对于数列，有（1）

13、，这里，为常数；（2），或；（3）.证明：仅证（3）.由（2），有 ，于是 .由定义可知，如果，那么， .例2.1 求数列的前项的和.解 由 ，得 ， .例2.1表明，公比不等于1的等比数列的一阶差数列仍是等比数列，从而这种等比数列的任意阶差数列都是等比数列.定理 2 若是阶等差数列，它的前项的和为，则是阶等差数列，且 .证明：因为是阶等差数列，且前项的和为，显然是阶等差数列，又因为所以 .例2.2 求3阶等差数列前项的和.解一 设 ，则 ， .根据定理 2， . 解二 令 ，这就有 ， .3递推数列定义1 对任何自然数，由递推关系确定的数列叫做递推数列.例如，设 ，则确定数列的初始条件和递推

14、关系为， ，；或 ，；或 ，.定义2 若数列自第项以后的任一项都是其前项的线性组合，即 ， （I）其中是任意自然数，是常数，且，则称为阶线性递归数列，（I）叫做的递归方程.线性递归数列是经常遇到的数列.例如：（1） 公比为的等比数列是一阶线性递归数列，递归方程为，；（2） 一阶等差数列是二阶线性递归数列，递归方程为，；（3） 菲波那契（Fibonacci）数列也是二阶线性递归数列，递归方程为，并且，；（4） 二阶等差数列是三阶线性递归数列.把（2），（4）加以推广，有下面的定理3 阶等差数列是由递归方程所确定的阶线性递归数列.证 对作数学归纳法.当时，由（2）知结论成立.假定对阶等差数列，结论

15、成立.当是阶等差数列时，是阶等差数列，由归纳假定 .于是 ，即结论对阶等差数列也成立. 根据数学归纳法原理，定理3得证.为了寻求（I）所确定数列的通项公式，我们指出如下事实:（5）如果是由（I）所确定的个数列，是任意常数，那么也是由（I）确定的数列.（6）令.代入（I），得，上式两边除以，有 ， （II）可见，是方程（II）的根.反过来，若是方程（II）的根，由知，并且适合（I）.所以，（I）确定等比数列的充要条件是为（II）的根.（II）叫做（I）的特征方程.定理4 若（II）有个相异的根，则（I）所确定递归数列的通项公式为，其中是下面线性方程组的唯一解：证 由前述两点事实，可知是由（I）确

16、定的数列.现在只要证明上面线性方程组有唯一解.事实上，它的系数行列式为，这里是级范德蒙行列式.因为均不为零，且互不相等，所以，于是上面方程组有唯一解.例3.1 已知，求.解 特征方程有两个相异的根，根据定理3，通项公式为，代入前两项的值，得解得 ，. .例3.2 已知，求.解 特征方程有三个相异的根，.于是通项公式为.代入初始值，得解得 ，.定理5 若（II）有重根，则（I）所确定的递归数列的通项公式为，其中是下面线性方程组的唯一解：证 这时，（II）是，即 .相应的（I）为 . （7）设是阶等差数列，根据定理3，是阶线性递归数列，且. （8）（8）的两边同乘以，得. （8） 于是适合（7）.

17、反之，若适合（7）.令，由（7）得（9），（9）的两边同时除以，得到（8）.根据定理3的逆定理，是阶等差数列.由多项式的因式分解的定理知，是的次多项式，所以.代入前项的值，得定理3中线性方程组.它的系数行列式为，这里是阶范德蒙行列式，它的第二行诸元素互不相同，于是，又，所以定理3中的方程组有唯一解.例3.3 已知，求.解 方程有三重根，依定理3，其中满足方程组解此方程组，得 ， .定理6 若（II）有重根，重根，重根，则（I）所确定递归数列的通项公式为，其中是在上面通项公式中令，所得到的线性方程组的唯一解.例3.4 已知，求.解 方程的根为，根据定理6，其中满足方程组解此方程组，得， .例3.

18、5 已知，求.解 特征方程的根为，根据定理6，.代入初始条件，得 解得，. 其中是正整数.定理7 若是由（I）确定的阶线性递归数列，它的前项的和为，则是阶线性递归数列，其递归方程为.例3.6 已知是线性递归数列，其特征方程为，这个数列的前项的和为，求证的特征方程为.证 设是由（I）确定的阶线性递归数列，则.由定理7可知的特征方程为，即 ，亦即 .4数列的基本定理4.1数列按一定次序排成的一列数叫做数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第项，.数列的一般形式可以写成 .其中是数列的第项.有时我们把上面的数列简记作.如果数列的第项与之间的关系可以

19、用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.如果已知一个数列的通项公式，那么只要依次用1，2，3，代替公式中的，就可以求出这个数列的各项.如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.4.2等差数列一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做这个等差数列的公差，公差通常用字母表示.如果等差数列的首项是，公差是，那么等差数列的通项公式为 .4.3等差数列的前项和设等差数列的前项和为，即 ，根据等差数列的通项公式，可以得到前项和公

20、式即等差数列的前项和等于首末项的和与项数乘积的一半.又因为 ，所以上面的公式又可以写成 .4.4等比数列一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示. 通项公式为 .其中，与均不为.由于当时上面等式两边均为，即等式也成立，说明上面公式当时都成立，因而它就是等比数列的通项公式.4.5等比数列的前项和一般地，设有等比数列 ，它的前项和是 .等比数列的前项和的公式 .因为 ，所以上面的公式还可以写成 .5数列通项公式的求法数列是高中数学的重点和难点，它方法灵活，技巧性强，往往难以把握，数列通项又是数列

21、中的难中之难，同学们常常因不得解题要领而束手无策，那么，如何帮助大家系统的掌握数列通项公式的求法呢？下面通过实例来展示常规题型的解法，希望能对大家有点帮助.5.1观察法所谓观察法，是通过观察题目中数字的变化规律及位置特点，从而发现题目中的数量关系，把题目解答出来的一种解题方法.观察要有次序，要看得仔细、真切，在观察中想出道理、找出规律.例5.1 已知数列，写出数列的一个通项公式.解析 通过观察可以发现这个数列的各项由以下三部分组成的特征：符号、分子、分母，所以应逐个考察其规律.先看符号，第一项有点违反规律，需改写为，由此整体考虑，得数列的符号规律是；再看分母，都是偶数，且呈现的数列规律是；最后

22、看分子，其规律是每个分子的数比分母都小3，即.所以数列的通项公式为 .5.2递推法递推法是利用问题本身所具有的一种递推关系求问题解的一种方法.例5.2 已知是首项为1的正项数列，并且 则它的通项公式 解析 对所给式子的左边分解因式得 ， ，. 又，故， 得公式.5.3转化构造法 构造法是数学解题中一种常见方法，体现了一种广泛联系与相互转化的哲学思想通过构造某种数学模型(如函数，数列，方程等)作为中介，实现条件与结论的联系和转化因此构造法既是一种方法，更是一种思想例5.3 若中，且（是正整数），则数列的通项公式解析，两边取对数，得.是以为首项，以2为公比的等比数列.，.5.4归纳法归纳法或归纳推

23、理，有时叫做归纳逻辑，是论证的前提支持结论但不确保结论的推理过程.是指将一系列具体的内容按其不同的特点和规律分门别类的归纳在一起的方法.例5.4 已知数列的地推公式是，且，求数列的前5项，并推测数列的通项公式.解析 由，得 ， ， ， 可归纳推测 .6差分与数列的教学设计研究6.1高中数列教学设计的内容6.1.1知识结构数列这一章应主要包括一般的数列、等差数列、等比数列以及数列的应用四部分，重点是等差数列以及等比数列这两个部分.数列这一部分主要是数列的概念、特点、分类以及数列的通项公式；等差数列和等比数列这两个部分内容主要介绍了两类特殊数列的概念、性质、通项公式以及数列的前项和公式；数列的应用

24、重点是新理念下研究性学习专题，即数列在分期付款中的应用以及储蓄问题.因此，数列的主要只是结构可以如下：6.1.2数学概念数学概念是反映数学对象本质属性的思维形式，它的定义方式有描述性的，指明外种延的，有种概念加类差等方式.一个数学概念需要记住名称，说出本质属性，体会出所涉及的范围，并应用概念准确进行判断.数列、等差数列、等比数列、通项公式等都属于数学概念，而且都属于陈述性概念，再设计这些概念的教学时，教师要注意向同学表明这些定义所揭露的概念的特点、本质，因为这些概念既是后续学习相应公式以及性质的基础，更是同学们准确解题的依据.6.1.3数学公式公式在一定的范围内具有普遍适用性，因而也具有抽象性

25、，公式中的字母代表一定范围内的无穷多个数.有的学生在学习公式时，可以再短时间内掌握，而有的学生却要翻来覆去地体会，才能跳出千变万化的数字关系的泥堆里.数列主要设计到等差数列的通项公式，等差数列的前项和公式及其变形公式，等比数列通项公式，等比数列前项和公式及其变形公式.要使同学能牢固的记住并熟练应用这些公式就必须让他们懂得公式的来龙去脉，掌握其推导思想及过程.数列里有很多的变形公式，因此，要明确哪个公式适用于哪种情形，以使解题变得简单易行.6.1.4数学方法数列中蕴含着多种数学思想及方法，如函数思想、方程思想，而且在基本概念、公式的教学本身也包含着丰富的数学方法，掌握这些思想方法不仅可以增进对数

26、列概念、公式的理解，而且运用数学思想方法解决问题的过程，往往能诱发知识的迁移，产生举一反三、融会贯通的解决多数列的问题.在数列里主要用到了以下几种数学方法：6.1.4.1不完全归纳法 不完全归纳法不但可以培养学生的数学直观，而且可以帮助学生有效地解决问题，在等差数列以及等比数列通项公式推导的过程就是用到了不完全归纳法.6.1.4.2倒叙相加法 等差数列前项和公式的推导过程中，就根据等差数列的特点，很好的应用了倒叙相加法，而且很多问题都直接或间接地用到了这种方法.6.1.4.3错位相减法 错位相减法是另一种数列求和的方法，它主要应用于求和的项之间通过一定的变形可以相互转化，并且是多个数求和的问题

27、.等比数列的前项和公式的推导就用到了这种思想方法.6.1.4.4函数的思想方法 数列本身就是一个特殊的函数，而且是离散的函数，因此在解题过程中，尤其在遇到等差数列与等比数列这两类特殊的数列时，可以将他们看成一个函数，进而运用函数的性质和特点来解决问题.6.1.4.5方程的思想方法 数列涉及了多个关于首项、末项、项数、公差、公比、第项和前项和这些量的数学公式，而公式本身就是一个等式，因此，在球这些数学量的过程中，可将它们看成相应的已知量和未知数，通过公式建立关于求未知量的方程，可以使解题变得清晰、明了，而且简化了解题过程.6.2数列教学涉及的因素分析在数学知识体系内部，数列占据着非常重要的地位，

28、而且在现实生活当中有着巨大的应用价值，对学生能力的培养也起到了不可估量的作用，因此要重视数列的教学.那么，在新的理念下，如何进行数列的教学设计才能将知识更好地传给学生，才能对学生的发展有帮助，才可以称得上是个好的教学设计呢？哪些因素影响了数列的教学设计呢？6.2.1数列的教学设计思路教师是教学的实施者，是教学涉及的实践者，尤其是优秀的教师，他们积累了大量的教学经验，因此有绝对充分的发言权：6.2.1.1重视教学情境的设置以及教学案例的使用要使学生学好数学，首先要培养学生的学习兴趣，而恰当的教学情境及教学案例的使用不但能更好的启发学生，激发学生的学习兴趣，而且有助于增强学生的应用意识.6.2.1

29、.2 对等差数列概念的教学，采用以学生为中心的教学设计风格更适合学生深刻理解知识“等差数列”这个概念本身就很形象的描述了它的本质，因此应当创设恰当的情境，让学生在这个情境中自觉领会和发现知识的形成过程，在感悟的过程中深刻体会其蕴含的数学思想和方法，理解知识的本质.在教学过程中应组织学生研究、讨论，培养学生的合作意识和能力，在合作中发现学习的乐趣，从而提高学生的学习兴趣，开发学生智力.6.2.1.3 对等差数列通项公式推导的教学设计等差数列通项公式的推导思想非常重要，他不但有助于理解公式，而且在以后的解题中也会用到，但只要通过适当的讲解，加以适当的引导，学生便能掌握.而有的教师则持另一种观点，他

30、们认为，等差数列通项公式的推导思想并不是很顺理成章，水到渠成的，单纯的讲解可能对有的学生来说很生涩，因此，有必要再这一教学环节设置适当的情境，启发与引导学生，这样才能达到更佳的教学效果.6.2.1.4 对等比数列的概念以及通项公式的教学，有多种教学设计风格等比数列与等差数列虽然是两类不同的数列，但是它们在研究方法、性质上都有很多的共通之处.因此，等比数列的教学设计可以采用对比法，即在概念、性质、公式的教学过程当中对比着相应的等差数列的内容进行设计，这也符合心理学中顺应教学法.有了等差数列的教学设计基础，因此有的教师见意可采用类似等差数列相应知识的教学设计法，学生不但可以很容易的接受等比数列的内

31、容，还可以加深学生对等差数列的理解，但两种方法都各有自己的长处，教师可根据个人风格自己进行选择设计，当然如果将两种方法结合起来，针对不同的内容进行优化设计，可能会收到更好的效果.6.2.2数列教学设计的学法探讨教学设计的对象是学生，最终的着眼点是为了学生的发展，因此从学生的角度出发考虑教学设计变得尤其重要.6.2.2.1对于等差数列的概念以及通项公式的教学设计，学生更希望教师能给自己更多的参与空间.比如对于等差数列概念的教学，学生更期望老师能先列举几个等差数列的例子，让同学思考、说出它的特点，找出规律，从而总结出什么是等差数列.因为作为高中生已经初步具备了一定的数学思维，已经学会了用思考、分析

32、、理解去解决问题，这种求知的方式不仅能让他们体会知识的形成过程，能深刻的理解与记忆知识，而且能够提高他们分析问题、解决问题，以及战胜困难的能力.6.2.2.2数学史知识的引入可以提高学生的学习兴趣数学史知识的适当引入不但能活跃课堂气氛，调动大家学习的积极性，激发学生学习数学的兴趣，使枯燥的数学变得更加生动有趣，而且有助于他们更好的接纳新知识，因此89.5%的学生都希望能在课堂上听到教室讲述有关的数学史知识.6.3对数列教学设计的实践分析实践是最好的问题发源地，何种类型的教学设计更容易让学生接受，更易知识的传授，对学生的发展有帮助，要通过实践才能得以验证，为此观察这一章的教学过程，有很大的启发作

33、用.6.3.1探讨最优的教学设计对数列的教学设计，不存在完全以“教”为中心，或以“学”为中心的极端教学设计风格.两种风格的教学设计，并不是是我非你，是你非我的完全对立的关系，并不是一定要肯定一方，而否定另一方，采用哪种模式的教学设计，要针对不同的教学内容进行选择.比如等差数列前项和公式的推导课，一种是基于以教师的教为中心的风格，令一种是基于以学生的学为中心，两种收到的效果也大相径庭.第一种以降解为主，又由于本身能力所限，不能对学生进行很好的启发、诱导，因此很难将同学们的思路引导正确的路线上来，以至于同学们表现得不够积极，而且公式的推导也因为同学们的无法配合而显得过于生硬、艰难；另一种则将公式推

34、导与梯形面积公式的证明联系起来，创设了恰当的教学情境，使公式的推导显得简单而水到渠成，而且同学们表现得也非常积极，教学效果非常好.但是对于等比数列的概念的教学，两种风格的教学设计若经过教师认真的思考，斟酌，都会是一个好的教学设计.6.3.2教学设计要适合学生教学设计最终是为学生服务的，而学生原有认知水平，认知结构，以及接受能力都会因人而异，对于水平相对弱些的学生，如果把课堂教给他们，让他们自己去探索、发现知识可能会有一些困难，因此，对于这样的学生更适合传统的讲授式教学，这不但能让他们在尽可能短的时间内掌握最基本的知识，而且通过强化，能帮助他们对知识的记忆.6.3.3教学案例如何冲洗衣服最干净又

35、不废水（一）问题的提出我们都知道水是可再生能源，但由于人们在生产、生活中的过度用水，导致了水资源的严重匮乏，有的地区还出现了定点供水的现象，有人甚至做过虽有些夸张但毫不危言耸听的预测：“世界上的最后一滴水将会是人的眼泪”，因此节约水资源已经迫在眉睫.家庭用水是一笔不小的开支，而且中国是一个有着近 14 亿人口的泱泱大国，如果每个家庭都为节约水资源贡献一份力量，那么集体的力量是不可估量的.洗衣用水是每个家庭必不可少的，如果我们能找到一种可以使衣服洗得干净，但用水量却最少的方法，并且将每个家庭都动员起来，这对中国的节水事业无疑是一个令人振奋的消息.在洗衣服的过程中，人们把衣服洗干净后，还要用大量的

36、清水将洗衣粉等碱性物质投洗掉，在投洗的过程中，通常有两种处理方法：一种方法是每次只投洗尽可能少的衣服，这样可以减少投衣服次数，而另一种方法则是将同类衣服一起投洗.我们所要关心的是：问题：如果在同样的用水量下，哪种方法更容易将衣服洗干净呢，更可取呢？（二）问题的解决1活动设计将全班同学分成两组，每组分得四个洗脸盆，其中一个盆中盛有 4000g 的水，四块已被洗干净但未经投洗的毛巾，每块毛巾重 200g，所含洗衣粉重 10g.再将每个组分成A、B、C 三个小队，其中 A 队的同学负责实验操作，B 队的同学负责观察对比，C 队的同学负责数据的处理.第一组的同学采用第一种投洗衣服方式，由 A 队的同学

37、将水平均分成四份，分放在四个洗脸盆当中，将四块毛巾单独放入四个盆子当中进行清洗，洗完后将毛巾拿出，并尽可能拧掉毛巾中所含的水.第二组的同学采用第二种投洗方式，由 A 队的同学将四块毛巾分四次一起进行投洗，每次的用水量相同.2问题解决的过程分析每组 B 队的同学将两组投毛巾后的水进行对比，他们会发现，第二组的投洗毛巾后的水明显要比第一组的水清净，因此我们认为，第二种投衣服方式明显要优于第一种处理方式.由每组 C 队的同学对数据进行分析计算，找出问题的原因所在.(1)对第一种处理方式的研究第一块毛巾投洗掉的洗衣粉重量为：,所以第一块毛巾经投洗后，四块毛巾所含的洗衣粉的量约为：. 因为对四块毛巾采用

38、同样的处理方法，所以第二块毛巾经投洗后，四块毛巾所含洗衣粉的重量约为：；同样的计算方法，第三、四块毛巾经投洗后，所含洗衣粉的重量分别是：和.由此可以看出，每块毛巾经投洗后，四块毛巾所含总的洗衣粉重量构成了一个以 40为首项，8.33 为公差的等差数列，其中 40g 是四块毛巾最初的含洗衣粉量，8.33g 是每次投洗掉的洗衣粉的量，因此总的计算式为： 这种投洗衣服的数学模型为：设每块毛巾（含水）重，有块需要清洗，每块毛巾中含洗衣粉，共有水.每次投洗后毛巾所含总的洗衣粉重量构成了一个以为首项，为公差的等差数列，那么经次投洗后所含洗衣粉的重量，也就是数列的第项为：.(2)对第二种处理方式的研究经第一

39、次投洗后，四块毛巾所含洗衣粉的重量为：;经第二次投洗后，四块毛巾所含洗衣粉的重量为：;经第三次投洗后，四块毛巾所含洗衣粉的重量为：;经第四次投洗后，四块毛巾所含洗衣粉的重量为：.由数据的得出过程，可以清晰地看出，这是一个以 40 为首项，以即为公比的等比数列，因此，投洗后四块毛巾所含的洗衣粉重量的总计算式为：这种投洗衣服的数学模型为：设每块毛巾（含水）重，有块需要清洗，每块毛巾中含洗衣粉，共有水.每次投洗后毛巾后，所含总的洗衣粉重量构成了一个以为首项，为公比的等比数列，那么经次投洗后所含洗衣粉的重量，也就是数列的第项为：经第二种投衣方式处理后，衣服中所含洗衣粉的量 1. 56g 明显少于用第一

40、种方式所得结果 6. 68g，因此，经过对比，我们发现，第二种投衣服方式虽然有些麻烦，而且需要人们更多的耐心和时间，但是它的效果要远远优于第一种，可以用尽可能少的水将衣服洗得最干净，这无疑给我们提供了一种可行的家庭节水方法，而且，如果将全国的人民一起动员起来，每个家庭在每次洗衣服时都采用这样的处理方式，并一贯坚持下去，积少成多，这种量的积累一定会达到质的飞跃.（三）总结与反思在数学学习的过程中，学生往往感觉不到数学在现实生活中的应用性，本研究性学习课题是从学生所熟悉的生活实际出发，抽象出数学问题，再用数学方法让学生动脑去解决，这不但大大激发了学生对数学学习的积极性，提高了问题解决的能力，而且让

41、学生亲身体验了数学在实用价值.致 谢首先要感谢我的指导老师，在本次毕业设计以及期间，陈老师给了我很多帮助.我从陈老师身上不仅学到了许多理论知识和技术，更重要的是学到了很多学习方法，并给了我很多有建设性的意见和建议.在此，感谢陈老师耐心的指导.同时我还要感谢在我大学四年的过程中，所有给予我帮助的各位老师和同学，我的成长和进步与你们的耐心帮助是分不开的.参考文献1李兴怀主编.金牌之路竞赛解题指导(高中数学) M.西安：陕西师范大学出版社,20042曹汝成编著.组合数学M.广州：华南理工大学出版社，2000.13Richard A. Brualdi,Introductory CombinatoricsM.3rd 2002 reprint Edition4余元希，田万海，毛宏德等.初等代数研究M.高等教育出版社5高中数学课程标准研制组.普通高中数学课程标准M.北京：人民教育出版社，2003 6杨开城，李文光.教学设计理论的新框架J.北京：中国电化教育，2001 7文喆.关于教学设计的若干思考J.北京：人民教育，2003