新课程数学必修5教案《数列的概念与简单表示法》(二).doc
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1、第二章 数列2.1数列的概念与简单表示法(第二课时)【创设情景 引入新知】 既然数列是一类特殊的函数,那么数列是否像一般函数那样可以用图象、列表等方法来表示呢?【探索问题 形成概念】复习回顾1.数列的相关定义及分类. 2.写出以下数列的通项公式: 2,4,6,8,10,12, 这是一个由全体正偶数按从小到大的顺序构成数列,因此,其通项公式为:.O 1 2 3 4 5 6 7图象是一些点246810 与函数一样,数列2,4,6,8,10,12,也可以用图象、列表等方法来表示,如下表和下图. 可以看出数列的图像是一系列孤立的点. 想一想 数列的表示方法有哪些? 列表法(自变量的取值有规律性)图象法
2、(数列的图象是一系列孤立的点)通项公式法(解析法) 数列的表示方法 【例题】如下图中的三角形图案称为谢宾斯基(Sierpinski)三角形.在下图四个三角形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前项,请写出这个数列的一个通项公式,并在直角坐标系中画出它的图象.【思路】分清着色三角形个数与序号的关系,找出其中的数量关系,并联想可能的函数表示.【解答】这四个三角形图案中着色的小三角形的个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是3的指数幂,指数为序号减1.所以,这个数列的一个通项公式是. 将此数列用图象法表示如图2.16.【反思】这种由“数”给出数列的“式”的题目,解决的关键是找出这个数列呈
3、现的规律性的东西,然后在通过归纳给出这个数列的通项公式. 思考 除了用通项公式外,还有什么办法可以确定这些数列的每一项? 观察以下数列,并写出其通项公式:(1)1,3,5,7,9,11,(2)3,9,27,81,【分析】 从第2项起每一项等于它的前一项加2,即. 从第2项起每一项等于它的前一项乘3,即.像这样给出数列的方法叫做递推法.递推公式定义:已知数列的第一项(或前几项),且任一项与它前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,这个公式叫做数列的递推公式. 如何理解数列的递推公式呢? 递推公式是给出数列的一种重要方法,其关健是先求出a1,a2,然后用递推关系逐一写出数列中的项. 1.通
4、项公式能够很清楚的表示数列中项数和项的关系; 2.由通项公式可以求出数列中的每一项; 3.递推公式也是给出数列的一种方法.探究所有的数列都有递推公式吗?一个数列的递推公式的表示形式唯一吗?请举例说明. 与所有的数列不一定都有通项公式一样,并不是所有数列都有递推公式.如精确到的近似值构成的数列,无法写出其递推公式.有些数列即使有它的公式,也不一定唯一.如数列为正偶数组成的数列,其它的公式有:,而也是它的递推公式.【例题】已知数列的首项,且,写出这个数列的前项.【思路】根据递推公式写出数列的前几项,要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可【解答】由题意可知【反思】解答这类问题时还需注意:若知道
5、的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式;若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.【解疑释惑 促进理解】难点一、如何根据数列的递推公式求出其通项公式运用递推公式给出的数列,可以揭示出数列的一些性质,但不容易了解数列的全貌,同时计算数列的项也不方便,因此我们经常利用它求出通项公式,再以此研究数列的性质.一般情况下我们可根据数列的递推公式写出这个数列的前几项,继而结合前几项的特征猜想出它的一个通项公式,有时也可以通过递推公式直接递推出数列的通项公式.【例题】已知, ,试写出数列的通项公式.【思路】思路一:先求出数列的前几项,然后归纳猜想出其通项公式;思路
6、二:将递推公式变形为,依此对n取值,得到n-1个等式两端分别相乘即可得到通项公式.【解答】解法一: ,观察可得 解法二:由 即 【反思】解法一利用了数列的前三项,归纳猜想出了数列的通项公式,这种推理方式为不完全归纳法;解法二直接利用递推公式推导出了数列的通项公式,是一种严格的推理方式.【小结归纳 自主建构】 这节课我们学习了:(1)数列的表示法;(2)递推公式的概念;(3)递推公式与数列的通项公式的区别是:a.通项公式反映的是项与项数之间的关系,而递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.b.对于通项公式,只要将公式中的n依次取1,2, 3, 4,即可得到相应的项,而递推公式则要已知首项(
7、或前n项),才可依次求出其他项.数列列数列概念数列的表示数列分类列举法图象法通项公式递推公式 【反馈学习,查缺补漏】 通过本节课的学习我们掌握了数列的四种表示方法-列表法、图像法、通项公式法、递推公式法,并明确了数列与函数的关系. 下一节课,我们要学习一种特殊的数列-等差数列,请大家预习课时详解第十一课时,并思考下列问题:什么样的数列是等差数列?如何推导出等差数列的通项公式? 本课后收集有关数列递推公式的资料并阅读。【阅读延伸,开阔视野】有趣的斐波那契数列斐波那契数列在数学理论上有许多有趣的性质,不可思议的是在自然界中也存在着这个性质,似乎完全没有秩序的植物的纸条彼此相隔的距离或叶子的生长凡是
8、,都被斐波那契数列支持着。1、斐波那契数列与花朵的花瓣数花瓣数是极有特征的。多数情况下,花瓣的数目都是3,5,8,13,21,34,55,这些数恰好是斐波那契数列的某些项,例如,百合花有3瓣花瓣,至良属的植物有5瓣花瓣;许多翠雀属植物有8瓣花瓣;万寿菊的花瓣有13瓣,更有趣的是,有一位学者细心地数过一朵花的花瓣,发现这朵花的花瓣刚好有157瓣。且他又发现其中有13瓣与其他144瓣有显著的不同,是特别长并卷曲向内,这表明这朵花的花瓣树木是由F1=13和F2=144合成的。2、斐波那契数列与仙人掌的结构在仙人掌的结构中有这一数列的特征。研究人员分析了仙人掌的形状、叶片厚度和一系列控制仙人掌情况的各
9、种因素,并将所得数据输入电脑,结果发现仙人掌的Fibonacci数列结构特征能让仙人掌最大限度地减少能量消耗,适应其在干旱沙漠的生长环境。3、斐波那契数列与向日葵种子排列方式向日葵种子的排列方式,就是一种典型的数学模式。仔细观察向日葵花盘,你就会发现两组螺旋线,一组顺时针方向盘旋,另一组则逆时针方向盘旋,并且彼此相嵌。虽然不同的向日葵品种中,种子顺、逆时针方向和螺旋线的数量有所不同,但往往不会超出34和55、55和89或者89和144这3组数字,这每组数字就是Fibonacci数列中相邻的两个数。前一个数字是顺时针盘旋的线数,后一个数字是逆时针盘旋的线数。4、斐波那契数列与台阶问题只有一个台阶
10、时,只有一种走法,F1=1两个台阶,走法有2种,一阶一阶或者一步上两个台阶,所以F2=2。三个台阶时,走法有一步一阶,2阶再1阶,1阶再2阶,因此,F3=3。四个台阶时,走法有(1,1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1)(,2,2),共5种方法,故F4=5以此类推,有数列:1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,.斐波那契与自然、生活、科学上的联系其实还有很多,但是仅仅从这几个例子上我们就可以看出斐波那契数列的应用的广泛性,由此我们可以看到数学的美其实是无处不在的它是一门科学,同时也是一种语言,一种艺术,它如同盛开的茉莉,洁白淡雅,总而言之,数学
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