备战高考数学――名师精编预测题跟踪演练详解系列56.doc

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1、备战09高考数学名师精编预测题跟踪演练详解系列五1（本小题满分14分）已知椭圆的左、右焦点分别是F1（c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足 （）设为点P的横坐标，证明； （）求点T的轨迹C的方程； （）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M， 使F1MF2的面积S=若存在，求F1MF2 的正切值；若不存在，请说明理由.本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.（）证法一：设点P的坐标为由P在椭圆上，得由，所以 3分证法二：设点P的坐标为记则

2、由证法三：设点P的坐标为椭圆的左准线方程为 由椭圆第二定义得，即由，所以3分（）解法一：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点.在QF1F2中，所以有综上所述，点T的轨迹C的方程是7分解法二：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点. 设点Q的坐标为（），则因此 由得 将代入，可得综上所述，点T的轨迹C的方程是7分 （）解法一：C上存在点M（）使S=的充要条件是 由得，由得 所以，当时，存在点M，使S=；当时，不存在满足条件的点M.11分当时，由，得解法二：C上存在点M（）使S

3、=的充要条件是 由得 上式代入得于是，当时，存在点M，使S=；当时，不存在满足条件的点M.11分当时，记，由知，所以14分2（本小题满分12分）函数在区间（0，+）内可导，导函数是减函数，且 设是曲线在点（）得的切线方程，并设函数 （）用、表示m； （）证明：当； （）若关于的不等式上恒成立，其中a、b为实数， 求b的取值范围及a与b所满足的关系.本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分 （）解：2分 （）证明：令 因为递减，所以递增，因此，当； 当.所以

4、是唯一的极值点，且是极小值点，可知的最小值为0，因此即6分 （）解法一：，是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 对任意成立的充要条件是 另一方面，由于满足前述题设中关于函数的条件，利用（II）的结果可知，的充要条件是：过点（0，）与曲线相切的直线的斜率大于，该切线的方程为于是的充要条件是10分综上，不等式对任意成立的充要条件是 显然，存在a、b使式成立的充要条件是：不等式 有解、解不等式得 因此，式即为b的取值范围，式即为实数在a与b所满足的关系.12分（）解法二：是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 对任意成立的充要条件是 8分令，于是对任意成立的充要条件是 由当时当时，

5、所以，当时，取最小值.因此成立的充要条件是，即10分综上，不等式对任意成立的充要条件是 显然，存在a、b使式成立的充要条件是：不等式 有解、解不等式得因此，式即为b的取值范围，式即为实数在a与b所满足的关系.12分3（本小题满分12分）已知数列的首项前项和为，且（I）证明数列是等比数列；（II）令，求函数在点处的导数并比较与的大小.解：由已知可得两式相减得即从而当时所以又所以从而故总有，又从而即数列是等比数列；（II）由（I）知因为所以从而=-=由上-=12当时，式=0所以；当时，式=-12所以当时，又所以即从而4(本小题满分14分)已知动圆过定点，且与直线相切，其中.（I）求动圆圆心的轨迹的

6、方程；（II）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.解：（I）如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为；（II）如图，设，由题意得（否则）且所以直线的斜率存在，设其方程为，显然，将与联立消去，得由韦达定理知（1）当时，即时，所以，所以由知：所以因此直线的方程可表示为，即所以直线恒过定点（2）当时，由，得=将式代入上式整理化简可得：，所以，此时，直线的方程可表示为即所以直线恒过定点所以由（1）

7、（2）知，当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点.5（本小题满分12分）已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点. （）求双曲线C2的方程；（）若直线与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足（其中O为原点），求k的取值范围.解：（）设双曲线C2的方程为，则故C2的方程为（II）将由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得即 .由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得 解此不等式得 由、得故k的取值范围为6（本小题满分12分）数列an满足.（）用数学归纳法证明：；（）已知不等式，其中无理数e=2

8、.71828.（）证明：（1）当n=2时，不等式成立.（2）假设当时不等式成立，即那么. 这就是说，当时不等式成立.根据（1）、（2）可知：成立.（）证法一：由递推公式及（）的结论有 两边取对数并利用已知不等式得 故 上式从1到求和可得即（）证法二：由数学归纳法易证成立，故令取对数并利用已知不等式得 上式从2到n求和得 因故成立.7（本小题满分12分）已知数列（1）证明（2）求数列的通项公式an.解：（1）方法一 用数学归纳法证明：1当n=1时， ，命题正确.2假设n=k时有 则 而又时命题正确.由1、2知，对一切nN时有方法二：用数学归纳法证明：1当n=1时，； 2假设n=k时有成立， 令，

9、在0，2上单调递增，所以由假设有：即也即当n=k+1时 成立，所以对一切 （2）下面来求数列的通项：所以,又bn=1，所以备战09高考数学名师精编预测题跟踪演练详解系列六1（本小题满分14分）如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1）求APB的重心G的轨迹方程.（2）证明PFA=PFB.解：（1）设切点A、B坐标分别为，切线AP的方程为： 切线BP的方程为：解得P点的坐标为：所以APB的重心G的坐标为 ，所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为： （2）方法1：因为由于P点在抛物线外，则同理有AFP=

10、PFB.方法2：当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：即所以P点到直线BF的距离为：所以d1=d2，即得AFP=PFB.当时，直线AF的方程：直线BF的方程：所以P点到直线AF的距离为：，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到AFP=PFB.2（本小题满分12分）设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点. （）确定的取值范围，并求直线AB的方程；（）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由. （此题不要求在答题卡上画图）本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能

11、力和综合解决问题的能力. （）解法1：依题意，可设直线AB的方程为，整理得 设是方程的两个不同的根， 且由N（1，3）是线段AB的中点，得 解得k=1，代入得，的取值范围是（12，+）. 于是，直线AB的方程为 解法2：设则有 依题意，N（1，3）是AB的中点， 又由N（1，3）在椭圆内，的取值范围是（12，+）.直线AB的方程为y3=（x1），即x+y4=0. （）解法1：CD垂直平分AB，直线CD的方程为y3=x1，即xy+2=0，代入椭圆方程，整理得 又设CD的中点为是方程的两根，于是由弦长公式可得 将直线AB的方程x+y4=0，代入椭圆方程得 同理可得 当时，假设存在12，使得A、B、

12、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.点M到直线AB的距离为 于是，由、式和勾股定理可得故当12时，A、B、C、D四点匀在以M为圆心，为半径的圆上. （注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）A、B、C、D共圆ACD为直角三角形，A为直角|AN|2=|CN|DN|，即 由式知，式左边由和知，式右边式成立，即A、B、C、D四点共圆.解法2：由（）解法1及12,CD垂直平分AB， 直线CD方程为，代入椭圆方程，整理得 将直线AB的方程x+y4=0，代入椭圆方程，整理得 解和式可得 不妨设计算可得，A在以CD为直径的圆上.又B为A关于CD的对称点，A、B、C、D四点共圆.（注：也可用勾股

13、定理证明ACAD）3（本小题满分14分）已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足 （）证明（）猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；（）试确定一个正整数N，使得当时，对任意b0，都有本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想. （）证法1：当即 于是有 所有不等式两边相加可得 由已知不等式知，当n3时有，证法2：设，首先利用数学归纳法证不等式 （i）当n=3时， 由 知不等式成立.（ii）假设当n=k（k3）时，不等式成立，即则即当n=k+1时，不等式也成立.由（i）、（ii）知，又由已知不等式得 （）有极限，且 （）则有故取

14、N=1024，可使当nN时，都有4如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|A1F1|21 ()求椭圆的方程； ()若点P为l上的动点，求F1PF2最大值本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分14分.解：()设椭圆方程为，半焦距为，则()5已知函数和的图象关于原点对称，且 ()求函数的解析式； ()解不等式； ()若在上是增函数，求实数的取值范围本题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的

15、能力.满分14分.解：()设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则点在函数的图象上()由当时，此时不等式无解.当时，解得.因此，原不等式的解集为.（）6(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分. 对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x) 、y=g(x), f(x)g(x) 当xDf且xDg 规定: 函数h(x)= f(x) 当xDf且xDg g(x) 当xDf且xDg(1) 若函数f(x)=,g(x)=x2,xR,写出函数h(x)的解析式;(2) 求问题(1)中函数h(x)的值域;(3)若g(x)=f(x+), 其中是常数,且0,请设计

16、一个定义域为R的函数y=f(x),及一个的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明. 解 (1)h(x)= x(-,1)(1,+) 1 x=1 (2) 当x1时, h(x)= =x-1+2, 若x1时, 则h(x)4,其中等号当x=2时成立若x1时, 则h(x) 0,其中等号当x=0时成立函数h(x)的值域是(-,0 14,+)(3)令 f(x)=sin2x+cos2x,=则g(x)=f(x+)= sin2(x+)+cos2(x+)=cos2x-sin2x,于是h(x)= f(x)f(x+)= (sin2x+co2sx)( cos2x-sin2x)=cos4x.另解令f(x)=1+sin2x,

17、 =,g(x)=f(x+)= 1+sin2(x+)=1-sin2x,于是h(x)= f(x)f(x+)= (1+sin2x)( 1-sin2x)=cos4x.7(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分8分, 第3小题满分6分. 在直角坐标平面中,已知点P1(1,2),P2(2,22),Pn(n,2n),其中n是正整数.对平面上任一点A0,记A1为A0关于点P1的对称点, A2为A1关于点P2的对称点, , AN为AN-1关于点PN的对称点. (1)求向量的坐标; (2)当点A0在曲线C上移动时, 点A2的轨迹是函数y=f(x)的图象,其中f(x)是以3为周期的周期函

18、数,且当x(0,3时,f(x)=lgx.求以曲线C为图象的函数在(1,4上的解析式; (3)对任意偶数n,用n表示向量的坐标.解(1)设点A0(x,y), A0为P1关于点的对称点A0的坐标为(2-x,4-y), A1为P2关于点的对称点A2的坐标为(2+x,4+y), =2,4. (2) =2,4,f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到.因此, 曲线C是函数y=g(x)的图象,其中g(x)是以3为周期的周期函数,且当x(-2,1时,g(x)=lg(x+2)-4.于是,当x(1,4时,g(x)=lg(x-1)-4.另解设点A0(x,y), A2(x2,y2),于是x2-x=2,y2-y=4,若3 x26,则0 x2-33,于是f(x2)=f(x2-3)=lg(x2-3).当1 x4时, 则3 x26,y+4=lg(x-1).当x(1,4时,g(x)=lg(x-1)-4.(3) =,由于,得 =2()=2(1,2+1,23+1,2n-1)=2,=n,