关于不等式证明方法的探讨毕业论文.doc

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1、本科生毕业论文（设计）册学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学专业班级：2010级B班学生：指导教师：河北师范大学本科毕业论文（设计）任务书论文（设计）题目：关于不等式证明方法的探讨 学院：数学与信息科学学院 专业：数学与应用数学 班级：2010级B班 学生姓名： 学号：2010011239 指导教师： 职称：副教授 1、论文（设计）研究目标及主要任务本文对比较法、分析综合法、反证法、放缩法、换元法、数学归纳法、判别式法、函数单调性法、几何证法、面积体积比较法等较常见的不等式证明方法进行总结，意在引发我们对不等式证明方法及其他问题证明方法的注意和思考，以致对整个数学问题的思考，并希望能为

2、读者全面系统的总结不等式证明方法提供帮助和借鉴。学习不等式的对证明方法，可以帮助我们解决一些实际问题，增强对逻辑推理能力、抽象思维和思维能力的培养，并养成善于思考的良好学习习惯，并为以后的教学奠定扎实的理论基础。2、论文（设计）的主要内容对比较法、分析综合法、反证法、放缩法、换元法、数学归纳法、判别式法、函数单调性法、几何证法、面积体积比较法等较常见的不等式证明方法的概念、历史背景、书写步骤、运用情形、和基本分类等进行简单介绍，并对一些情况加以举例说明。3、论文（设计）的基础条件及研究路线在不等式证明方法的研究不断改进和发展的形势下，总结前人的经验和研究成果，对几种常见证明方法进行探讨，同时对

3、其进行改进和创新，发表自己独特的见解，并举例加以解释和说明。4、主要参考文献1匡继昌.常用不等式M.济南：山东科技出版社，2004：23-34.2李长明，周焕山.初等数学研究M.北京：高等教育出版社，1995:252-263.3叶惠萍.反思性教学设计-不等式证明综合法J.数学教学研究，2005,10(3):89-91.4胡炳生，吴俊.现代数学观点下的中学数学M.北京：高等教育出版社，1998:45-50.5GaoMingzhe. OnHeisenbergsInequalityJ. J.Mth.Anal.Appl.,1999,234(2):727-734.5、计划进度阶段起止日期1毕业论文背景调

4、查及资料收集2014/12/20-2014/3/102完成论文开题报告2014/3/11-2014/3/203完成论文初稿并提交2014/3/21-2014/3/314论文初稿修改并提交2014/4/1-2014/4/205毕业论文定稿及答辩准备2014/4/21-2014/5/20指导教师: 年 月 日教研室主任: 年 月 日河北师范大学本科生毕业论文（设计）开题报告书数学与信息科学学院 数学与应用数学专业 2014届学生姓名论文（设计）题目关于不等式证明方法的探讨指导教师专业职称副教授所属教研室学科教研室研究方向数学教育与数学建模教育课题论证：见附页1.方案设计：首先，介绍不等式的应用价值

5、以及其证明方法在现实生活和教育教学工作中的重要性，不等式及其证明方法发展的现状和教师与学生们对于它们存在和面临问题，并提出自己的建议和意见。然后，对常用不等式的证明方法做进一步更加细致周密广泛普及的总结，总结了诸如比较法，分析综合法，反证法，放缩法，换元法，数学归纳法，判别式法，函数单调性法，几何证法，面积体积比较法等较常见的证明方法。最后，按照总分总的经典模式，对各方法之间的区别和联系加以较详细的分析和解释说明，强调各方法与方法之间存在的共融性以各方法并不是单纯的孤立存在和盲目使用的；并提出本文的不足之处，让读者更容易进行更加深层次的归纳总结。进度计划：1毕业论文背景调查及资料收集 2014

6、/2/15-2014/3/102完成论文开题报告 2014/3/11-2014/3/203完成论文初稿并提交 2014/3/21-2014/3/314论文初稿修改并提交 2014/4/1-2014/4/205毕业论文定稿及答辩准备 2014/4/21-2014/5/10指导教师意见：指导教师签名： 年 月 日教研室意见：教研室主任签名： 年 月 日附1：课题论证关于不等式证明方法的探讨不等式是高中数学阶段一个极为重要的内容，几乎贯穿与整个高中数学的任何一个章节，是一种应用普遍的技巧性工具。在现实日常生活中，不等式的应用是非常普遍的应用在社会生产和生活的各个方面的应用，例如，经常面临的采购批发方

7、案设计，房屋租赁方案设计，消费娱乐方案设计等。然而，对一些不等式的证明又为我们在生活中利用不等式提供了有力证据。随着上世纪七八十年代大量新型不等式的发现和对已知不等式的改进，以及发现在更多的领域都广泛都涉及到不等式的应用，这让现有的不等式内容及界限难以满足社会时代和经济的发展，促使科学家们不得不开始着眼于研究更多特殊情况下不等式的证明及其方法。因此，上世纪末新世纪初，不等式在形式要求下，得到了突飞猛进的发展和开拓，打破了原有的局限，在更多领域得到了更加广泛更加深层的应用。在此基础上，由特殊到一般，就迫切要求我们进一步更加细致周密广泛普及的总结更多的更广泛统一性证法。另一方面，不等式的证明在中学

8、数学教学中也是一个非常重要的教学内容，他可以多方面训练学生的综合能力，有效的培养学生运用综合法和分析法解决问题的能力。与此同时，不等式的证明的内容灵活多变，可以从多个角度考查学生的数学素养，是数学教学内容中一个多可多得的好素材。但是，我们现在面临的现状是学生无法掌握变化多样的不等式证明方法，遇到问题时，不知如何选用合适的方法，这是很多老师和学生们都遇到的共性问题。然而，万千事物万变不离其宗，遇事抓住其根本，总结前人和自己的生活学习工作经验，举一反三，必定能够在数学研究中有所突破，独树一帜。在这样的形势下，本文更多的是从一般普遍的情况下进行研究，查阅了各方面关于不等式的习题相应的解题方法，并对这

9、些习题和方法进行了细致全面的归纳总结，总结了诸如比较，分析综合，反证，放缩，换元，数学归纳，判别式，函数单调性，几何，面积体积法等较常见的证明方法，希望给读者们进行进一步总结提供一些借鉴和帮助。河北师范大学本科生毕业论文（设计）文献综述不等式证明方法研究的文献综述不等式的发展现状和趋势如所熟知，各种不等式实质就是各种形式的数量或变量之间的互相比较或互相制约关系，因此，不等式很自然地成为分析数学和离散数学诸分支中极为重要的工具，而且早已成为国际上一个专门的研究对象。例如，现今国际上已有多种不等式研究性刊物，既可见其受重视之程度。不等式的研究文献中，一个常见的现象是，许多基本重要而又十分重要的不等

10、式，经过多次拓广后其结构形式往往会变得越来越复杂，以致失去了由简单性和对称性来保证的优美性。对此，数学界的普遍观点是，如果拓广后没有增加新的应用面，则这些结果虽然也能够在一些刊物上发表出来，但其真正价值价值并不大。真正很有价值的不等式理应具备三个条件，即普适性、优美性（简单性）、和精确性（不可改进性）。不等式证明方法的发展现状和趋势上世纪初以前，在不等式的证明中，除了如等及其一般的原理外，统一的方法并不多，而对同一个不等式能用几种方法证明的情况较多，直至20世纪70年代以来大量新不等式的涌现和原有不等式的改进，自然伴随着不等式不等式证明方法的增多。以及发现在更多的领域都广泛都涉及到不等式的应用

11、，这让现有的不等式内容及界限难以满足社会时代和经济的发展，促使科学家们不得不开始着眼于研究更多特殊情况下不等式的证明及其方法。因此，上世纪末新世纪初，不等式在形式要求下，得到了突飞猛进的发展和开拓，打破了原有的局限，在更多领域得到了更加广泛更加深层的应用。在此基础上，由特殊到一般，。就迫切要求我们进一步更加细致周密广泛普及的总结更多的更广泛统一性证法。如今，各种不等式的新证明方法层出不穷，在这种形式下，迫切需要对他们的类别和通用过程做出总结归纳，以保证他们的规范性，减轻使用它们的繁琐性。目前，不等式的证明在中学数学教学中也是一个非常重要的教学内容，他可以多方面训练学生的综合能力，有效的培养学生

12、运用综合法和分析法解决问题的能力。与此同时，不等式的证明的内容灵活多变，可以从多个角度考查学生的数学素养，是数学教学内容中一个多可多得的好素材。但是，我们现在面临的现状是学生无法掌握变化多样的不等式证明方法，遇到问题时，不知如何选用合适的方法，这是一个很多老师都遇到的共性问题。所以不等式的教学过程中应正确应用不等式的性质，提高解体和归纳能力，学生需重点掌握的证明方法比如比较法、分析综合法、数学归纳法，它们是不等式证明的最基本、最常用的方法。除此之外，教学过程，也要提供多种其他的难度适中的不等式证明方法。参考文献1匡继昌.常用不等式M.济南：山东科技出版社，2004：23-34.2徐利治.评匡继

13、昌著常用不等式第三版J.数学研究与评论,2004,24(3):569-572.3杨帆.浅谈不等式证明方法的综合运用M.理工科研,2008,08(01):269-272.4Kazarinoff.N.D. Geometric InequalitiesM. JRStatist Soc.(SeriesB),1986,:23-26.5GaoMingzhe. OnHeisenbergsInequalityJ. J.Mth.Anal.Appl.,1999,234(2):727-734.河北师范大学本科生毕业论文（设计）翻译文章几何不等式及其证明卡扎里诺夫1986.几何不等式M在数学中，算术与几何均值不等式，

14、或者更简单的说是不等式，指出非负实数的范围内，若干个数的算术平均值大于或等于他们自己的几何平均值，更进一步地说就是，这两个平均值相等相等的情况只能是当且仅当他们中的每个数字是相等的。最简单的非平凡的情况下-即具有多个变量-两个非负数，就是声明,等号成立当且仅当时。这种情况下，可以从一个事实，即一个实数的平方总是正的，并从基本情况二项式公式可以看出，同样的，等号成立当且仅当。这种情况下，可以从一个事实，即一个实数的平方总是非负的，并从基本情况二项式公式可以看出,换句话说就是，等号成立的时候也就是的时候，即。现在用一个几何的方法来解释，设一个长和宽分别为的边的矩形，因此，它具有。相似的，一个边长为

15、正方形有着周长=4和与之前的矩形相同面积。在这种最简单的情况下，不等式的就能写成，这就意味着只有在所成区域是正方形的情况下才能使面积不变的矩形的周长最小。一般的，不等式对应于一个事实，即自然对数，用不等式关于不等式所示的一般的证明过程，它转换乘法到加法，是一个严格凹函数。被推广的不等式，可在包括重力学或更广义的层次上运用。算术平均值，或称准确平均数，指的是个实数，记作，并且当且仅当时，等号成立。几何平均数和算术平均数是相似的，不同之处在于它只是定义为在非负实数的范围内，并使用乘法和根号代替了算术平均值之中的加法和除法，记作.如果，那么他就等价于以自然对数为底数,以算术平均值为指数的指数函数的值

16、： .最后重申总结这个使用数学符号的不等式：我们有，对于个非负实数，必，并且当且仅当时等号成立。几何解释：在两维空间里，就是以为长和宽的矩形的周长。相似的，是与此矩形具有相同面积的正方形的周长。因此，不等式在的情况下，就等价于在所有的面积一定的矩形中，当且仅当他正好是正方形的时候，它的周长达到最小值。这个不等式的广义的概念就是这一理念到维空间的延伸运用。假设存在一个维的空间，在其中的任意一个维盒子，那么他就是每个顶点出链接有条边。我们假设一个顶点处的这条边的长度分别为，那么就是链接到这个顶点的个边的总长度。我们知道，一个维盒子有个顶点，所以我们用乘，但是因为每条边两端分别链接两个顶点，也就是说

17、用顶点计算边的时候每条边都被计算了两次。因此，我们把刚才得到的除以2，就得出任意一个维体总共有条边。我们还知道，跟“二维盒子”长方形、三维盒子长方体类似，一个维盒子有种长度不同的边，并且每种长度的边的条数都相等。这样，我们就得出了每种长度的边有条和这个维盒子的边长总和为。另一方面，是与之具有相同体积的正维盒子（维立方体）的边长总和。又由不等式，我们便得到：，并且当且仅当时等号成立。最后，我们总结一下，不等式对于几何上的解释就是，在所有的面积一定维盒子中，当且仅当它是正维盒子（维立方体）的时候，它的边长总和达到最小值。应用举例：；对于所有正实数。假设我们希望找到这个函数的极小值。首先，我们对它进

18、行一些变形：不妨令.则 这样，我们便可以利用不等式，此时，,我们就得到此外，我们还知道等号成立的条件就是当且仅当的时候。即：当且仅当时，且为最小值。所有的满足这些条件的点都分布在一个开始于原点的半行内，并表示如下：在金融数学中的一个重要的实际应用是计算回报率：年化回报率，由几何平均计算得到，会低于平均年度回报率，由算术平均值计算得到（当且仅当所有的回都是相等的时候他们就会就会相等）。这是在分析投资很重要，因为平均收益夸大了累积效应。我们这里有几种方法来证明对不等式，例如，它可以从不等式可以推断，利用凹函数的。它也可以使用在重排不等式证明。考虑长度和所需的先决条件，通过诱导初等证明下面给出的可能

19、是进行首读的最好的建议。前两个证明的想法我们 必须表明，（0）只有当所有的字母都是相等的时候等号成立。当时，然后通过将都换成，这样就会使得左侧的算术平均值不变，而右侧的几何平均值就会增大，因为：.因此，右侧将是最大的 - 这样的想法 - 当所有变量都与算术平均值相等的时候：下面，因为之前计算出右侧的算术平均值是最大的，于是我们就得到：这是当情况下的有效证明，但这种采取迭代平均值的成对的过程在的情况下可能会失败。例如一种较简单的情况；平均两个不同的号码产生两个相等的数字，但第三个是仍然不同。因此，我们从来没有真正得到涉及三个相等的数字几何平均不等式。因此，为了有效证明n3的情况，更多的方法或修改

20、的参数是需要的。数学归纳法证明:对于算术平均值，当 为非负实数时，不等式就等价于 ;并且当且仅当变量 都相等时，等号成立。然而以下的证明我们运用数学归纳法和唯一一个著名的运算规则。奠基归纳：当时,显然这个不等式是成立的；假设归纳：假设不等式对时成立；递推归纳：利用假设归纳的结论推断当时，不等式也成立。利用不等式的自然对数的有限形式，我们可以证明加权算术之间的不平等均值和加权几何平均如上所述。因为一个变量当他的“权”等于零的时候，他就有对不等式不会产生影响，我们可能会在以下假定所有的权重都是正的。如果所有的是相等的，那么等式成立。因此，它仍然证明不全等，如果他们并不都是平等的，我们将承担以下，太

21、。如果至少有一个是零（但不是全部都为零） ，然后加权几何平均值为零，而加权算术平均数是正的，因此不等式成立。因此，我们也可以假设所有的变量是非负的。河北师范大学本科生毕业论文翻译原文Inequality of arithmetic and geometric meansKazarinoff.N.D. 1986. Geometric InequalitiesInmathematics, theinequality of arithmetic and geometric means, or more briefly theAMGM inequality, states that thearithm

22、etic meanof a list of non-negativereal numbersis greater than or equal to thegeometric meanof the same list; and further, that the two means are equalif and only ifevery number in the list is the same.The simplest non-trivial case i.e., with more than one variable for two non-negative numbersxandy,

23、is the statement thatwith equality if and only ifx=y. This case can be seen from the fact that the square of a real number is always non-negative (greater than or equal to zero) and from the elementary case(ab)2=a2 2ab+b2of thebinomial formula:In other words(x+y)2 4xy, with equality precisely when(x

24、y)2= 0, i.e.x=y. For a geometrical interpretation, consider arectanglewith sides of lengthxandy, hence it hasperimeterandareaxy. Similarly, asquarewith all sides of length has the perimeterand the same area as the rectangle. The simplest non-trivial case of the AMGM inequality implies for the perime

25、ters that2x+ 2yand that only the square has the smallest perimeter amongst all rectangles of equal area.The general AMGM inequality corresponds to the fact that thenatural logarithm, which converts multiplication to addition, is astrictly concave function; usingJensens inequalitythegeneral proofof t

26、he inequality follows.Extensions of the AMGM inequality are available to includeweightsorgeneralized means.BackgroundThearithmetic mean, or less precisely theaverage, of a list ofnnumbersx1,x2, . . . ,xnis the sum of the numbers divided byn:Thegeometric meanis similar, except that it is only defined

27、 for a list ofnonnegativereal numbers, and uses multiplication and arootin place of addition and division:Ifx1,x2, . . . ,xn 0, this is equal to theexponentialof the arithmetic mean of thenatural logarithmsof the numbers:The inequalityRestating the inequality using mathematical notation, we have tha

28、t for any list ofnnonnegative real numbersx1,x2, . . . ,xn,and that equality holds if and only ifx1=x2= =xn.Geometric interpretationIn two dimensions,2x1+ 2x2is theperimeterof a rectangle with sides of lengthx1andx2. Similarly,4x1x2is the perimeter of a square with the samearea. Thus forn= 2the AMGM

29、 inequality states that only the square has the smallest perimeter amongst all rectangles of equal area.The full inequality is an extension of this idea tondimensions. Every vertex of ann-dimensional box is connected tonedges. If these edges lengths arex1,x2, . . . ,xn, thenx1+x2+ +xnis the total le

30、ngth of edges incident to the vertex. There are2nvertices, so we multiply this by2n; since each edge, however, meets two vertices, every edge is counted twice. Therefore we divide by2and conclude that there are2n1nedges. There are equally many edges of each length andnlengths; hence there are2n1edge

31、s of each length and the total edge-length is2n1(x1+x2+ +xn). On the other hand,is the total length of edges connected to a vertex on ann-dimensional cube of equal volume. Since the inequality sayswe getwith equality if and only ifx1=x2= =xn.Thus the AMGM inequality states that only then-cubehas the

32、 smallest sum of lengths of edges connected to each vertex amongst alln-dimensional boxes with the same volume.1Example applicationConsider the functionfor all positive real numbersx,yandz. Suppose we wish to find the minimal value of this function. First we rewrite it a bit:withApplying the AMGM in

33、equality forn= 6, we getFurther, we know that the two sides are equal exactly when all the terms of the mean are equal:All the points(x,y,z)satisfying these conditions lie on a half-line starting at the origin and are given byPractical applicationsAn important practical application infinancial mathe

34、maticsis to computing therate of return: theannualized return, computed via the geometric mean, is less than the average annual return, computed by the arithmetic mean (or equal if all returns are equal). This is important in analyzing investments, as the average return overstates the cumulative eff

35、ect.Proofs of the AMGM inequalityThere are several ways to prove the AMGM inequality; for example, it can be inferred fromJensens inequality, using the concave function ln(x). It can also be proven using therearrangement inequality. Considering length and required prerequisites, the elementary proof

36、 by induction given below is probably the best recommendation for first reading.Idea of the first two proofsWe have to show thatwith equality only when all numbers are equal. Ifxixj, then replacing bothxiandxjby(xi+xj)/2will leave the arithmetic mean on the left-hand side unchanged, but will increas

37、e the geometric mean on the right-hand side becauseThus right-hand side will be largest so the idea when allxis are equal to the arithmetic meanthus as this is then the largest value of right-hand side of the expression, we haveThis is a valid proof for the casen= 2, but the procedure of taking iter

38、atively pairwise averages may fail to producenequal numbers in the casen 3. An example of this case isx1=x2x3: Averaging two different numbers produces two equal numbers, but the third one is still different. Therefore, we never actually get an inequality involving the geometric mean of three equal

39、numbers.Hence, an additional trick or a modified argument is necessary to turn the above idea into a valid proof for the casen 3.Proof by inductionWith the arithmetic meanof the non-negative real numbersx1, . . . ,xn, the AMGM statement is equivalent towith equality if and only if=xifor alli 1, . .

40、. ,n.For the following proof we applymathematical inductionand only well-known rules of arithmetic.Induction basis:Forn= 1the statement is true with equality.Induction hypothesis:Suppose that the AMGM statement holds for all choices ofnnon-negative real numbers.Induction step:Considern+1non-negative

41、 real numbers. Their arithmetic meansatisfies.本科生毕业论文设计关于不等式证明方法的探讨作者姓名：曾海辉指导教师：张硕所在学院：数学与信息科学学院专业（系）：数学与应用数学专业班级（届）：2014届数学B班二一四年 四月 三十日目录目录1摘要、关键字21 问题提出 31.1 在现实生活中的意义及前景 31.2 在数学教学中的现状和问题 32 常用证明方法 52.1 比较法 52.2 分析综合法 62.3 反证法 72.4 放缩法 82.5 换元法 112.6 数学归纳法 142.7 判别式法 152.8 函数单调性法 162.9 几何证法 172.

42、10 面积体积法 182.11 极值法 193 教学建议与思考203.1 内容综述与建议 193.2 问题总结与思考 22参考文献 23Abstract 24 关于不等式证明方法的探讨学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学专业指导教师： 张 硕作 者： 曾海辉摘要：不等式及其证明的内容极为丰富，在高中数学中占据了相当关键的主体地位，它贯穿于高中数学的几乎每一个章节之中，同时，他又是我们实践生活应用甚为广泛的一种集理论和技巧于一身的格式化计算性工具。不等式及其证明在实际中的普遍应用呈现在广泛的采购批发方法，房屋租赁方法，购物娱乐方法等的设计现象之中。然而，对一些不等式的证明又为我们在生活中

43、利用不等式提供了有力证据。在这里我们就来探讨不等式的一些常用证明方法。在证明不等式过程中，除了等特别常见的原理外，统一的方法没有很多，但是经常会出现同一不等式可有多种证明方法的情形。上年代以来，由于不等式的改进和新型的发现络绎不绝，就促使着科学家们对更多新的证明方法的研究和发现。在教学生活中，不等式及其证明是教师们的重头戏，是学生们的老大难，因此在本文中，、函数单调性法、几何证法、面积体积比较法、极值法等常见证明方法，期望能对读者、。关键词：1 问题提出不等式及其证明非但是各级数学中的重、难、考、热点，教师们的重头戏，学生们的老大难；而且是现实生活中运用最普遍，跨领域性最强的一种集理论、技巧于一身的格式化计算工具，以下就是对他的实际价值、研究现状和发展前景的论述。1.1 在现实生活中的意义及前景在日常实践活动中，不等式及其证明是运用最为广泛，跨领域性最强的一种集理论、技巧于一身的格式化计算工具，而且，使用不等式来实现任务完成的情况呈现于社会生产和实践生活的各方各面，各个层次，