中学数学竞赛讲义——平面向量.doc

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1、中学数学竞赛讲义平面向量一、基础知识定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。定理1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。定理2 非零向量a, b共线的充要条件是存在实数0，使得a=f定理3 平面向

2、量的基本定理，若平面内的向量a, b不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数x, y，使得c=xa+yb，其中a, b称为一组基底。定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数x, y，使得c=xi+yi，则（x, y）叫做c坐标。定义4 向量的数量积，若非零向量a, b的夹角为，则a, b的数量积记作ab=|a|b|cos=|a|b|cos，也称内积，其中|b|cos叫做b在a上的投影（注：投影可能为负值）。定理4 平面向量的坐标运算：若a=(x1, y1), b=(x2, y2)，1a+b=

3、(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2)，2a=(x1, y1), a(b+c)=ab+ac，3ab=x1x2+y1y2, cos(a, b)=(a, b0),4. a定义5 若点P是直线P1P2上异于p1，p2的一点，则存在唯一实数，使，叫P分所成的比，若O为平面内任意一点，则。由此可得若P1，P，P2的坐标分别为(x1, y1), (x, y), (x2, y2)，则定义6 设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照向量a=(h, k)的方向，平移|a|=个单位得到图形，这一过程叫做平移。设p(x, y)是F上任意一点，平移到上对应的点为，则称为平移公式。定

4、理5 对于任意向量a=(x1, y1), b=(x2, y2), |ab|a|b|，并且|a+b|a|+|b|.【证明】 因为|a|2|b|2-|ab|2=-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)20，又|ab|0, |a|b|0，所以|a|b|ab|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1, x2,xn)，b=(y1, y2, , yn)，同样有|ab|a|b|，化简即为柯西不等式： (x1y1+x2y2+xnyn)20，又|ab|0, |a|b|0，所以|a|b|ab|.由向量的三角形法则及直线段最短

5、定理可得|a+b|a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1, x2,xn), b=(y1, y2, , yn)，同样有|ab|a|b|，化简即为柯西不等式：(x1y1+x2y2+xnyn)2。2）对于任意n个向量，a1, a2, ,an，有| a1, a2, ,an| a1|+|a2|+|an|。二、方向与例题1向量定义和运算法则的运用。例1 设O是正n边形A1A2An的中心，求证：【证明】 记，若，则将正n边形绕中心O旋转后与原正n边形重合，所以不变，这不可能，所以例2 给定ABC，求证：G是ABC重心的充要条件是【证明】必要性。如图所示，设各边中点分别为D，E

6、，F，延长AD至P，使DP=GD，则又因为BC与GP互相平分，所以BPCG为平行四边形，所以BGPC，所以所以充分性。若，延长AG交BC于D，使GP=AG，连结CP，则因为，则，所以GBCP，所以AG平分BC。同理BG平分CA。所以G为重心。例3 在凸四边形ABCD中，P和Q分别为对角线BD和AC的中点，求证：AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。【证明】 如图所示，结结BQ，QD。因为，所以= 又因为同理 ， ， 由，可得。得证。 2证利用定理2证明共线。例4 ABC外心为O，垂心为H，重心为G。求证：O，G，H为共线，且OG：GH=1：2。【证明】 首先=其次设BO交外

7、接圆于另一点E，则连结CE后得CE又AHBC，所以AH求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是ab.【证明】|a+b|=|a-b|(a+b)2=(a-b)2a2+2ab+b2=a2-2ab+b2ab=0ab.例6 已知ABC内接于O，AB=AC，D为AB中点，E为ACD重心。求证：OECD。【证明】 设，则，又，所以a(b-c). （因为|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2）又因为AB=AC，OB=OC，所以OA为BC的中垂线。所以a(b-c)=0. 所以OECD。4向量的坐标运算。例7 已知四边形ABCD是正方形，BE又因为，所以x2+y2=2.由，解得所以设，则。由和共线得所以，即F，

8、所以=4+，所以AF=AE。三、基础训练题1以下命题中正确的是_. a=b的充要条件是|a|=|b|，且a3已知a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, ab=0，则|x|+|y|=_.4设s, t为非零实数，a, b为单位向量，若|sa+tb|=|ta-sb|，则a和b的夹角为_.5已知a, b不共线，=a+kb, =la+b，则“kl-1=0”是“M，N，P共线”的_条件.6在ABC中，M是AC中点，N是AB的三等分点，且，BM与CN交于D，若，则=_.7已知不共线，点C分所成的比为2，则_.8已知=b, ab=|a-b|=2，当AOB面积最大时，a与b的夹角为_.9把函数y=2

9、x2-4x+5的图象按向量a平移后得到y=2x2的图象，c=(1, -1), 若，cb=4，则b的坐标为_.10将向量a=(2, 1)绕原点按逆时针方向旋转得到向量b，则b的坐标为_.11在RtBAC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，试问与的夹角取何值时的值最大并求出这个最大值。12在四边形ABCD中，如果ab=bc=cd=da，试判断四边形ABCD的形状。 四、高考水平训练题1点O是平面上一定点，A，B，C是此平面上不共线的三个点，动点P满足 则点P的轨迹一定通过ABC的_心。2在ABC中，且ab1(kR)，则k的取值范围是_.4平面内四点A，B，C，D满足，则的取值有_个

10、.5已知A1A2A3A4A5是半径为r的O内接正五边形，P为O上任意一点，则取值的集合是_.6O为ABC所在平面内一点，A，B，C为ABC 的角，若sinA+sinB+sinC，则点O为ABC 的_心.7对于非零向量a, b, “|a|=|b|”是“(a+b)(a-b)”的_条件.8在ABC 中，又(cb)：(ba)：(ac)=1：2：3，则ABC 三边长之比|a|：|b|：|c|=_.9已知P为ABC内一点，且，CP交AB于D，求证：10已知ABC的垂心为H，HBC，HCA，HAB的外心分别为O1，O2，O3，令，求证：（1）2p=b+c-a；（2）H为O1O2O3的外心。11设坐标平面上全

11、部向量的集合为V，a=(a1, a2)为V中的一个单位向量，已知从V到的变换T，由T(x)=-x+2(xa)a(xV)确定，（1）对于V的任意两个向量x, y, 求证：T(x)T(y)=xy；（2）对于V的任意向量x，计算TT(x)-x；（3）设u=(1, 0)；，若，求a.六、联赛二试水平训练题1已知A，B为两条定直线AX，BY上的定点，P和R为射线AX上两点，Q和S为射线BY上的两点，为定比，M，N，T分别为线段AB，PQ，RS上的点，为另一定比，试问M，N，T三点的位置关系如何证明你的结论。2已知AC，CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，点M，N分别内分AC，CE，使得AM：AC=C

12、N：CE=r，如果B，M，N三点共线，求r.3在矩形ABCD的外接圆的弧AB上取一个不同于顶点A，B的点M，点P，Q，R，S是M分别在直线AD，AB，BC，CD上的射影，求证：直线PQ与RS互相垂直。4在ABC内，设D及E是BC的三等分点，D在B和F之间，F是AC的中点，G是AB的中点，又设H是线段EG和DF的交点，求比值EH：HG。5是否存在四个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直6已知点O在凸多边形A1A2An内，考虑所有的AiOAj，这里的i, j为1至n中不同的自然数，求证：其中至少有n-1个不是锐角。7如图，在ABC中，O为外心，三条高AD，BE，CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N，求证：（1）OBDF，OCDE，（2）OHMN。8平面上两个正三角形A1B1C1和A2B2C2，字母排列顺序一致，过平面上一点O作，求证ABC为正三角形。9在平面上给出和为的向量a, b, c, d，任何两个不共线，求证：|a|+|b|+|c|+|d|a+d|+|b+d|+|c+d|.