23个经典的不等式专题.doc

上传人：仙人指路1688

文档编号：4233106

上传时间：2023-04-10

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1、23个经典的不等式专题1、证明：；2、若：，求证：；3、若：，求证：；4、若：，且，求：的取值范围；5、若：是的三边，求证：；6、当时，求证：；7、若，求的值域；8、求函数的最大值和最小值；9、若，求证：；10、若，且，试求：的取值范围；11、若，且，求的最小值；12、若，且，求的最大值和最小值；13、若，且满足，求：的值；14、求证：；（这回比较紧）15、当时，求证：；16、求证：；17、求证：；18、已知：,求证： ;19、已知：，求证：；20、已知：，求证：；21、已知：，求证：；22、设：，求证：；23、

2、已知：，求证： .【解答】1. 证明：；1、证明：.从第二项开始放缩后，进行裂项求和.2. 若：，求证：；2、证明：，即：则：，即：即：.立方和公式以及均值不等式配合.3. 若：，求证：；3、由：得：，则：，即：故： .从一开始就放缩，然后求和.4.若：，且，求：的取值范围；4、解：，令：，则上式为：. 解之得：.均值不等式和二次不等式. 5. 若：是的三边，求证：；5、证明：构造函数，则在时，为增函数.所以，对于三角形来说，两边之和大于第三边，即：，那么，即： .构造函数法，利用单调性，再放缩，得到结果.6. 当时，求证：；6. 证明：当时，都扩大倍得：，取倒数得：，裂项

3、：，求和：，即：先放缩，裂项求和，再放缩.7、若，求的值域；7、解：设：，则：，代入向量不等式：得：，故：.这回用绝对值不等式.8、求函数的最大值和最小值；8、解：将函数稍作变形为：，设点，点，则，而点N在单位圆上，就是一条直线的斜率，是过点M和圆上点N直线斜率的倍，关键是直线过圆上的N点.直线与单位圆的交点的纵坐标范围就是： .故的最大值是1，最小值是-1.原本要计算一番，这用分析法，免计算了.9、若，求证：9、证明：由柯西不等式：即：即：柯西不等式.10、若，且，试求：的取值范围；10、解：柯西不等式：；即：，故：；所以：.柯西不等式.11、若，且，求的最小值；11、解：设：，

4、则：；代入得：；即：，故：最小值为4.向量不等式.12、若，且，求的最大值和最小值；12、解：柯西不等式：即：；故：；于是：.柯西不等式.13、若，且满足，求：的值；13、解：本题满足：即柯西不等式中等号成立的条件.故有：，即：，.则：；即：，即：故： .柯西不等式中等号成立.14、求证：；（这回比较紧）14、证明：注意变形为不等式的方法，虽然仍是放缩法.15、当时，求证：；15、证明：由二项式定理得：由二项式定理得：本题由二项式中，保留前两项进行放缩得到：；本题由二项式中，分子由从n开始的k个递减数连乘，分母由k个n连乘，得到的分数必定小于1. 于是得到：.16、求证：；16、

5、证明：，故：；令：，；则：，即：；故：由得：，即：，故：代入式得：则：原式= 本题的关键在于把根式或其他式子换成两个相邻的根式差，然后利用求和来消去中间部分，只剩两头.17、求证：；17、证明：由得：；即：由：得：即：，即：，即：，即：故：，多项求和：由，本题得证. 本题还是采用级数求和的放缩法.18、已知：,求证： ;18、证明：(1)构造函数：，则：.当时，函数的导数为：，即当时，函数为增函数. 即：；故：，即：.(2) 构造函数：，则：.当时，其导数为：.即当时，函数为增函数. 即：；故：，即：.由(1)和(2)，本题证毕.本题采用构造函数法，利用函数单调性来证题.19

6、、已知：，求证：；19、证明：先构造函数：，在函数图象上分别取三点A,B,C，即：,OAABDC待添加的隐藏文字内容3EFGH我们来看一下这几个图形的面积关系：；即：；即：；即：；(1) 求和：；即：；(2) 求和：；即：;由(1)和(2)证毕.本题采用构造函数法，利用函数的面积积分来证题.20、已知：当时，求证：；20、证明：当时，即：由二项式定理得：证毕.本题利用二项式定理进行放缩得证.21、已知：，求证：；21、证明：设：，则：证毕.将1以后的项数，按2的次方个数划分成n组，每组都大于，这样放缩得证.22、设：，求证：；22、证明：由得：，求和得：即：即：.本题首先构建含有的不等式，构建成功，本题得证.23、已知：，求证： .23、证明：设：；采用倒序相加得：；各括号内通分得：；即：；由：；共有：项. 将上述不等式代入式得：；即：另：；即：由和，本题得证. 本题中有项，将其放缩为同分母的分式是解题关键. 附加题：若：，求证：.证明：