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1、2009年高考数学压轴试题精选【青岛市2009年高三教学统一质量检测（理）22】（本小题满分14分）已知等比数列的前项和为（）求数列的通项公式；（）设数列满足，为数列 的前项和，试比较 与 的大小，并证明你的结论【解析】：（）由得:时，2分是等比数列，得 4分（）由和得6分10分11分当或时有，所以当时有那么同理可得：当时有，所以当时有13分综上：当时有；当时有14分.【皖东十校09届第一次联考试卷数学（理）22】已知椭圆的离心率为，直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切. （I）求椭圆的方程； （II）设椭圆的左焦点为，右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段垂

2、直平分线交于点，求点的轨迹的方程； （III）设与轴交于点，不同的两点在上，且满足求的取值范围.【解析】：（） 直线相切， 3分椭圆C1的方程是 6分（）MP=MF2，动点M到定直线的距离等于它到定点F1（1，0）的距离，动点M的轨迹是C为l1准线，F2为焦点的抛物线 6分点M的轨迹C2的方程为 9分（）Q（0，0），设 ，化简得 11分当且仅当 时等号成立 13分当的取值范围是14分2.【江苏省姜堰中学高三数学阶段调研试卷】（本小题满分16分）函数其中为常数，且函数和的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行（1）、求函数的解析式（2）、若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围。【解析】：（1）

3、 -2的图像与坐标轴的交点为，的图像与坐标轴的交点为由题意得即， -3又 -4（2）由题意当时，-6令 -7令 -9当时，单调递增。 -10由在上恒成立， 得 -12当时， -13可得单调递增。-14由在上恒成立，得 -15综上，可知 -163.【湖南省长沙一中2008-2009学年高三第八次月考数学（文科）21】（本小题满分13分）如图，在矩形ABCD中，已知A（2，0）、C（2，2），点P在BC边上移动，线段OP的垂直平分线交y轴于点E，点M满足（）求点M的轨迹方程；（）已知点F（0，），过点F的直线l交点M的轨迹于Q、R两点，且求实数的取值范围.【解析】：（I）依题意，设P（t,2）（2

4、t2），M（x，y）.当t=0时，点M与点E重合，则M=（0，1）；当t0时，线段OP的垂直平分线方程为： 显然，点（0，1）适合上式 .故点M的轨迹方程为x2=4(y1)( 2x2) （II）设得x2+4k2=0. 设Q（x1,y1）、R（x2,y2），则,.消去x2，得. 解得4. 【湖北省2009届高三八校联考第二次（理）21.】（本小题满分14分）已知数列中，其前项和满足.令.（）求数列的通项公式；（）若，求证：（）；（）令（），求同时满足下列两个条件的所有的值：对于任意正整数，都有；对于任意的，均存在，使得时，.【解】（）由题意知即12检验知、时，结论也成立，故.3（）由于故.6（）

5、（）当时，由（）知：，即条件满足；又，.取等于不超过的最大整数，则当时，.9（）当时，.由（）知存在，当时，故存在，当时，不满足条件. 12（）当时，.取，若存在，当时，则.矛盾. 故不存在，当时，.不满足条件.综上所述：只有时满足条件，故.145.【河南省普通高中2009年高中毕业班教学质量调研考试（文）22.】（本小题满分12分）已知点A是抛物线y22px（p0）上一点，F为抛物线的焦点，准线l与x轴交于点K，已知AKAF，三角形AFK的面积等于8 （1）求p的值； （2）过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线l1，l2，与抛物线相交得两条弦，两条弦的中点分别为G，H.求GH的最小值【解析】

6、：22解：（）设，因为抛物线的焦点，则.1分，2分，而点A在抛物线上，.4分又故所求抛物线的方程为.6分（2）由，得，显然直线，的斜率都存在且都不为0.设的方程为，则的方程为. 由 得，同理可得.8分则=.（当且仅当时取等号）所以的最小值是8.12分6.【河南省普通高中2009年高中毕业班教学质量调研考试（理）22.】（本小题满分12分）已知数列满足（1）求；（2）已知存在实数，使为公差为的等差数列，求的值；（3）记，数列的前项和为，求证：.【解析】：22解：（1），由数列的递推公式得，.3分（2）=.5分数列为公差是的等差数列.由题意，令，得.7分（3）由（2）知，所以.8分此时=，10分

7、=.12分7.【河北省石家庄市2009年高中毕业班复习教学质量检测（一）22】（本题满分12分）【理科】已知函数 （I）求的极值； （II）若的取值范围； （III）已知【解析】：（）令得 2分当为增函数；当为减函数，可知有极大值为.4分（）欲使在上恒成立，只需在上恒成立，设由（）知，分（），由上可知在上单调递增， ， 同理 .10分两式相加得 12分8.【河北省石家庄市2009年高中毕业班复习教学质量检测（一）22】（本题满分12分）【文科】已知椭圆，双曲线C与已知椭圆有相同的焦点，其两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切。 （I）求双曲线C的方程； （II）设直线与双曲线C的左支交于两点

8、A、B，另一直线l经过点及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围。【解析】：（本小题满分12分）（I）设双曲线C的焦点为： 由已知，2分设双曲线的渐近线方程为， 依题意，解得双曲线的两条渐近线方程为 故双曲线的实半轴长与虚半轴长相等，设为，则，得，双曲线C的方程为 分.（II）由，直线与双曲线左支交于两点，因此 .分又中点为直线的方程为， 令x=0，得， 故的取值范围是 12分9.【东北育才学校2009届高三第三次模拟考试（文）22.】 (本小题满分14分)设等比数列的前项和，首项，公比.()证明：；()若数列满足，求数列的通项公式；()若，记，数列的前项和为，求证：当时，.【解析】：

9、() 2分 而 3分 所以 4分 (), 6分 是首项为,公差为1的等差数列, ,即. 8分() 时, , 9分相减得, 12分又因为,单调递增, 故当时, . 14分10.【东北育才学校2009届高三第三次模拟考试（理）24.】如右图（1）所示，定义在区间上的函数，如果满足：对，常数A，都有成立，则称函数在区间上有下界，其中称为函数的下界. （提示：图(1)、（2）中的常数、可以是正数，也可以是负数或零）（）试判断函数在上是否有下界？并说明理由；（）又如具有右图（2）特征的函数称为在区间上有上界.请你类比函数有下界的定义，给出函数在区间上有上界的定义，并判断（）中的函数在上是否有上界？并说明

10、理由； （）若函数在区间上既有上界又有下界，则称函数在区间上有界，函数叫做有界函数试探究函数 （是常数）是否是（、是常数）上的有界函数？【解析】：24（I）解法1：，由得， ， ，-2分当时，函数在（0，2）上是减函数；当时，函数在（2，）上是增函数； 是函数的在区间（0，）上的最小值点，对，都有，-4分即在区间（0，）上存在常数A=32,使得对都有成立，函数在（0，）上有下界. -5分 解法2：当且仅当即时“”成立对，都有，即在区间（0，）上存在常数A=32,使得对都有成立，函数在（0，）上有下界.（II）类比函数有下界的定义，函数有上界可以这样定义：定义在D上的函数，如果满足：对，常数B，

11、都有B成立，则称函数在D上有上界，其中B称为函数的上界. -7分设则，由（1）知，对，都有，函数为奇函数，即存在常数B=32，对，都有,函数在（， 0）上有上界. -9分（III），由得， ， ，-10分当时，函数在（0，）上是减函数；当时，函数在（，）上是增函数； 是函数的在区间（0，）上的最小值点， -11分当时，函数在上是增函数；、是常数，、都是常数令,对，常数A,B,都有即函数在上既有上界又有下界-12分当 时函数在上是减函数对都有函数在上有界.-13分当时，函数在上有最小值令,令B=、中的最大者则对，常数A,B,都有函数在上有界.综上可知函数是上的有界函数-14分11.【东北育才、天

12、津耀华、大连育明、哈三中2009年四校第一次高考模拟联考（理）22】（本小题满分12分）如图，已知双曲线=1的两个焦点为F1，F2，两个顶点为A1，A2，点是 （I）求实数的取值范围； （II）直线PF1，PF2分别与双曲线各交于两点，求以这四个交点为顶点的四边形的面积S的取值范围。【解析】：（1）A1（-1，0），A2（1，0），F1（-2，0），F2（2，0）4分 （II）设直线PF1与双曲线交于直线PF2与双曲线交于令6分而直线PF1与双曲线交于两支上的两点，同理直线PF2与双曲线交于两支上的两点则8分10分令递增又12分12.【安徽省示范高中皖北协作区2009年高三联考（理）22】（本

13、小题14分）设函数（）求的单调区间；（）当时，若方程在上有两个实数解，求实数t的取值范围；（）证明：当mn0时，。【解析】：22、（）时， 在（1，+）上市增函数当时，在上递增，在单调递减（）由（）知，在上单调递增，在上单调递减又 当时，方程有两解（）要证：只需证只需证设， 则由（）知在单调递减，即是减函数，而mn，故原不等式成立。13.【安徽省合肥七中2009届高三第五次月考（理）22】 (本小题满分14分)椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l与椭圆交于A、B两点. （1）如果点A在圆（c为椭圆的半焦距）上，且|F1A|=c，求椭圆的离心率； （2）若函数的图象，无论m为何值时恒

14、过定点（b，a），求的取值范围。【解析】：（1）点A在圆，由椭圆的定义知：|AF1|+|AF2|=2a， （2）函数 点F1（1，0），F2（1，0）， 若， 若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则AB的方程为y=k（x+1）由（*）方程（*）有两个不同的实根.设点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程（*）的两个根 由知 14.【2009年天津市高三年级能力测试（河东卷.理）22. 】（本小题满分14分）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点，平行于的直线在轴上的截距为，交椭圆于两个不同点（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围；（3）求证直

15、线与轴始终围成一个等腰三角形。【解析】：（1）设椭圆方程为则解得所以椭圆方程（2）因为直线平行于OM，且在轴上的截距为又，所以的方程为：由因为直线与椭圆交于两个不同点，所以的取值范围是。（3）设直线的斜率分别为，只要证明即可设，则由可得而故直线MA、MB与轴始终围成一个等腰三角形。15.【2009年上海市普通高等学校春季招生考试20.】设函数，其中为正整数.（1）判断函数的单调性，并就的情形证明你的结论；（2）证明：；（3）对于任意给定的正整数，求函数的最大值和最小值.【解析】（1）在上均为单调递增的函数. 2分 对于函数，设 ，则 ， ， 函数在上单调递增. 4分（2） 原式左边 . 6分

16、又原式右边. . 8分（3）当时，函数在上单调递增， 的最大值为，最小值为. 当时， 函数的最大、最小值均为1. 当时，函数在上为单调递增. 的最大值为，最小值为. 当时，函数在上单调递减， 的最大值为，最小值为. 11分 下面讨论正整数的情形： 当为奇数时，对任意且 ， 以及 ， ，从而 . 在上为单调递增，则 的最大值为，最小值为. 14分 当为偶数时，一方面有 . 另一方面，由于对任意正整数，有 ， . 函数的最大值为，最小值为. 综上所述，当为奇数时，函数的最大值为，最小值为. 当为偶数时，函数的最大值为，最小值为. 18分16.【2009年高考桂林市、崇左市、贺州市、防城港市联合调研

17、考试(文)22.】（本小题满分12分） 已知点，点在轴上，点在轴的正半轴上，点在直线上，且满足.（）当点在轴上移动时，求点的轨迹的方程；（）设、为轨迹上两点，且1, 0,，求实数，使，且.【解析】：解：（）设点，由得. 2分 由,得，即. 4分 又点在轴的正半轴上，.故点的轨迹的方程是. 6分（）由题意可知为抛物线：的焦点，且、为过焦点的直线与抛物线的两个交点,所以直线的斜率不为. 7分 当直线斜率不存在时，得，不合题意； 8分 当直线斜率存在且不为时，设，代入得 ， 则，解得. 10分 代入原方程得，由于，所以，由, 得，. 12分17.【东北三省四市长春、哈尔滨、沈阳、大连第一次联合考试数

18、学(理)22.】 (本小题满分12分) 已知为坐标原点，点、分别在轴、轴上运动，且，动点满足，设点的轨迹为曲线，定点，直线交曲线于另外一点 (1)求曲线的方程； (2)求面积的最大值【解析】：本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查轨迹的求法以及综合解题能力。解：(1)设，则 ,， 又，曲线的方程为 (2)由(1)可知， (4，0)为椭圆的右焦点，设直线方程为，由消去得， ，当，即时取得最大值，此时直线方程为.18.【2009年安庆市高三模拟考试（二模）（文）22.】 （本小题满分13分）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于O

19、M的直线L在y轴上的截距为m(m0)，L交椭圆于A、B两个不同点。（1）求椭圆的方程；（2）求m的取值范围；（3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形。【解析】：（1）设椭圆方程为,则.椭圆方程为 4分（2）直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m, 又KOM=,，联立方程有 ， 直线l与椭圆交于AB两个不同点， 8分（3）设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可设，则 由而故直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形. 13分19.【2009届重庆市南开中学高三总复习检测题（六）】已知数列()与)有如下关系：(1)求数列(的通项公式。 (2)设是数列的前n项

20、和，当n2时，求证：【解析】：（1） （4分）（2）当n2时，,（当且仅当时取等号）且故以上式子累和得+n（）得证.20.【2009届山东省实验中学高三年级第四次综合测试(理)22.】（本小题满分13分）已知函数上恒成立. （1）求的值； （2）若 （3）是否存在实数m，使函数上有最小值5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由.【解析】：（1）恒成立即恒成立显然时，上式不能恒成立是二次函数由于对一切于是由二次函数的性质可得即 （2）即 当，当 （3）该函数图象开口向上，且对称轴为假设存在实数m使函数区间 上有最小值5.当上是递增的.解得舍去当上是递减的，而在区间上是递增的，即解得 当

21、时，上递减的即解得应舍去.综上可得，当时，函数21.【2009年3月四县(市)高三调研考试.（文）21】（本小题满分13分）设三次函数，在处取得极值，其图像在处的切线的斜率为。（1）求证：；（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围。【解析】：（1），由题设，得 , ， ,由代入得，得，或 将代入中，得 由、得； 7分 （2）由（1）知， ，方程的判别式有两个不等实根，又，当或时，当时，函数单调增区间是，由知。函数在区间上单调递增，即的取值范围是。 13分22.【2009年3月四县(市)高三调研考试.（理）21】本小题满分13分）已知函数（1）为定义域上的单调函数，求实数的取值范围（2）当时，

22、求函数的最大值（3）当时，且，证明：【解析】：（1）， 因为对，有不存在实数使，对恒成立 2分由恒成立，而，所以经检验，当时，对恒成立。当时，为定义域上的单调增函数 4分（2）当时，由，得 当时，当时，在时取得最大值，此时函数的最大值为 7分（3）由（2）得，对恒成立，当且仅当时取等号 当时，同理可得，法二：当时（由待证命题的结构进行猜想，辅助函数，求差得之），在上递增令在上总有，即在上递增当时，即令由（2）它在上递减 即 ，综上成立，其中。23.【中山市2009届高三第二学期2月四校联考（理）】(本小题满分14分，第小题5分，第小题4分，第小题5分).数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意

23、，总有成等差数列.()求数列的通项公式；()设数列的前项和为 ，且，求证:对任意实数（是常数，2.71828）和任意正整数，总有 2；() 正数数列中，.求数列中的最大项.【解析】：（）解：由已知：对于，总有 成立 （n 2） 1分-得均为正数， （n 2） 数列是公差为1的等差数列 3分又n=1时， 解得=1.() 5分（）证明：对任意实数和任意正整数n，总有.6分 9分()解：由已知 ， 易得 猜想 n2 时，是递减数列. 11分令当在内为单调递减函数.由.n2 时, 是递减数列.即是递减数列.又 , 数列中的最大项为. 14分24.【广东省茂名市2009年第一次高考模拟考试（理）21.】

24、（本小题满分14分）已知数列,（）求数列的通项公式（）当时,求证:（）若函数满足： 求证：【解析】： (1) ,两边加得: , 是以2为公比, 为首项的等比数列.由两边减得: 是以为公比, 为首项的等比数列.-得: 所以,所求通项为5分(2) 当为偶数时,当为奇数时,又为偶数由(1)知, 10分（3）证明：又 12分-14分25.【江门市2009年高考模拟考试（文）21.】（本小题满分14分）设，函数，当时，求的值域；试讨论函数的单调性【解析】：-1分，时，-2分；当时，根据指数函数与幂函数的单调性，是单调递增函数-3分，-4分。所以时，的值域为-5分。依题意- -6分。，当时，递减，当时，递

25、增 -8分。，当时，解得，当时，递减，当时，递增。当时，递增- -10分。，当时，递减。当时，解得，当时，递增，当时，递减-12分。 ，对任意，在每个定义域区间上递减- -13分。综上所述，时，在或上单调递增，在上单调递减；时，在上单调递增，在上单调递减；时，在上单调递增，在或上单调递减；时，在每个定义域区间上递减- -14分。26.【江门市2009年高考模拟考试（理）21.】（本小题满分12分）已知函数，是常数，若是曲线的一条切线，求的值；，试证明，使【解析】：-1分，解得，或-2分当时，所以不成立-3分当时，由，即，得-5分作函数-6分，函数在上的图象是一条连续不断的曲线-7分，-8分若，

26、使，即-10分若，当时有最小值，且当时-11分，所以存在（或）从而，使，即-12分27.【2009年深圳市高三年级第一次调研考试（理）21】（本题满分14分）已知函数，为函数的导函数（）若数列满足：，（），求数列的通项；（）若数列满足：，（）.当时，数列是否为等差数列？若是，请求出数列的通项；若不是，请说明理由；.当时， 求证：【解析】：（）， 1分，即 3分， 数列是首项为，公比为的等比数列，即 5分（）（），当时，假设，则由数学归纳法，得出数列为常数数列，是等差数列，其通项为 8分（）， 当时，假设，则 由数学归纳法，得出数列 10分又，即 12分， 14分28.【天津市汉沽一中20082

27、009届第六次月考 (理)22.】（本小题满分14分）已知函数(xR)在区间-1,1上是增函数（）求实数a的值所组成的集合A（）设关于x的方程的两实数根为x1、x2.试问:是否存在实数m,使得不等式对任意aA及t-1,1恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由? 【解析】：（） 因为函数f(x)在区间-1,1上是增函数,所以f(x)0在区间x-1,1恒成立即有x2-ax-20在区间-1,1上恒成立。 构造函数g(x)=x2-ax-2满足题意的充要条件是：所以所求的集合A-1，1 (7分)（）由题意得：得到：x2-ax-2=0(8分)因为=a2+80 所以方程恒有两个不等的根为x1

28、、x2由根与系数的关系有：(9分)因为aA即a-1，1，所以要使不等式对任意aA及t-1,1恒成立，当且仅当对任意的t-1,1恒成立(11分)构造函数（x）=m2+tm-2=mt+(m2-2) 0对任意的t-1,1恒成立的充要条件是m2或m-2.故存在实数m满足题意且为m| m2或m-2为所求 （14分）29.【安徽省蚌埠市第二次教学质量检查考试(理)22.】（本小题满分14分）数列和数列由下列条件确定：；当时，与满足如下条件：当时，；当时，。解答下列问题：（）证明数列是等比数列；（）求数列的前n项和为；（）是满足的最大整数时，用表示n的满足的条件。【解析】：（）当时，当时，所以不论哪种情况，

29、都有，又显然，故数列是等比数列（）由（）知，故所以，所以，（）当时，由知不成立，故从而对于，有，于是 ，故若，若，则所以，这与n是满足的最大整数矛盾。因此n是满足的最小整数，而因而，n是满足最小整数。30.【上 海 市2009年高三十四校联考模拟试卷(理) 21.】（本题20分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题6分，第4小题4分） 我们知道，判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面问题。 （1）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线的距离分别为d1、d2，试求d1d2的值，并判断直线L与椭

30、圆M的位置关系。 （2）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线 （m、n不同时为0）的距离分别为d1、d2，且直线L与椭圆M相切，试求d1d2的值。 （3）试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件，并证明。 （4）将（3）中得出的结论类比到其它曲线，请同学们给出自己研究的有关结论（不必证明）。【解析】：21（本题20分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题6分，第4小题4分） （1）； 2分 联立方程； 3分 与椭圆M相交。 4分 （2）联立方程组 消去 （3）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线的距离分别为d1、d2，且F1、F2在直线L的同侧。那么直线L

31、与椭圆相交的充要条件为：；直线L与椭圆M相切的充要条件为：；直线L与椭圆M相离的充要条件为：14分 证明：由（2）得，直线L与椭圆M相交 命题得证。 （写出其他的充要条件仅得2分，未指出“F1、F2在直线L的同侧”得3分） （4）可以类比到双曲线：设F1、F2是双曲线的两个焦点，点F1、F2到直线距离分别为d1、d2，且F1、F2在直线L的同侧。那么直线L与双曲线相交的充要条件为：；直线L与双曲线M相切的充要条件为：；直线L与双曲线M相离的充要条件为：20分 （写出其他的充要条件仅得2分，未指出“F1、F2在直线L的同侧”得3分）。三轮突破2008高考数学复习模拟压轴题集锦1（学海大联考三）已

32、知函数f(x)xax1(a0，xR) 当a1时，求f(x)的单调区间和值域，并证明方程f(x)0有唯一根；当00)。(1)求此双曲线的离心率；(2)若此双曲线过N(，2)，求此双曲线的方程(3)若过N(，2)的双曲线的虚轴端点分别B1，B2(B2在x轴正半轴上)，点A、B在双曲线上，且，求时，直线AB的方程。6（唐山市）已知数列an的前n项和Sn满足Sn+1=kSn+2，又a1=2，a2=1。(1)求k的值；（2)求Sn；（3)是否存在正整数m，n，使 成立?若存在求出这样的正整数；若不存在说明理由7（苏、锡、常、镇二）已知数集序列1, 3, 5, 7, 9,11, 13, 15, 17, 1

33、9,其中第个集合有个元素，每一个集合都由连续正奇数组成，并且每一个集合中的最大数与后一个集合中的最小数是连续奇数()求数集序列第个集合中最大数的表达式；（）设数集序列第个集合中各数之和为（i）求的表达式；（ii）令= ，求证：2 8（中学学科网一）对于函数，若存在 ，使成立，则称点为函数的不动点。（1）已知函数有不动点（1，1）和（-3，-3）求与的值；（2）若对于任意实数，函数总有两个相异的不动点，求的取值范围；（3）若定义在实数集R上的奇函数存在（有限的） 个不动点，求证：必为奇数。9（中学学科网二）设点集L=,其中向量=(2,1),=(x,1),点在L中,为L与y轴的交点,数列的前n项和.(1) 求数列、的通项公式。(2) 若，计算。（3）设函数，是否存在，使f（k+10）=3f（k），若存在，求出k的值；若不存在，说明理由10（中学学科网三）已知两个函数，.（）解不等式；（）若对任意3，3，都有成立，求实数的取值范围11（北京丰台）四边形ABCD是梯形，sup7()sup7