2005高考第二轮复习函数、导数、数列专题.doc
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1、函数、导数、数列专项复习例1 设函数定义域为,当时,且对任意,有证明:(1)(2)对任意的,且在上是增函数.(3)设集合. ,若,求的取值范围.解:(1)取,有即又,(2)当时,;当时,(I)知 当时,又,综上所述,对任意的,有设,是上的增函数.(3) ,即 ,即 ,直线与圆相离或相切 故 或例2 若函数在区间内为减函数,在区间为增函数,试求当取的取值范围.解:令,解得或(1)当时,在区间内,那么在内为增函数,不合题意.(2)当时,在区间内不恒成立,那么在内不为减函数,不合题意.(3)当时,在区间内,所以在内为减函数,。在区间内,所以在内为增函数,此时.(4)当时,在区间内不恒成立,那么在上为
2、增函数不成立,不合题意,综上所述知为所求.例3 用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.解:设容器底面边长为,则另一边长为,高为由和得设容器的容积为,则有 整理,得:所以令,有,即解得:,(不合题意,舍去)从而在定义域内只有在时,使,由题意,若过小(接近0)或过大(接近1.6)时,值很小(接近0),因此,当时,取得最大值.这时,高为答:容器的高为容积最大,最大容积为.例4 已知函数,将满足的所有正数从小到大排成数列 (I)证明为等比数列.(II)记是数列前项和,求解:令,得,解得,为整数
3、(I) ,则所以,数列是公比的等比数列,是首项(II)(是首项为,公差为的等差数列,而数列是首项为,公比的等比数列,所以是由等差,等比数列对应项的积组成的数列,求和时可以用错位相减的方法,其中所以化简得:,其中这样数列的通项分解为3个部分,第一部分是常数列,第二部分是等比数列,第三部分又是由等差、等比数列对应项乘积组成的数列,分别对这三个数列求和,就可以得到数列的前项和即有: 所以 例5 已知是由非负整数组成的数列,满足,(I)求;(II)证明(III)求的通项公式及前项和.解:(I)由题设得:,且均为非负整数,所以的可能的值为1,2,5,10若,则,与题设矛盾若,则,与题设矛盾若,则,与题设
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