18.切线.安徽高考命题的风景线.doc
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1、 第13讲:切线.安徽高考命题的风景线 105 第13讲:切线.安徽高考命题的风景线 直线与二次曲线相切的基本结论有: 抛物线:直线mx+ny+t=0与抛物线y2=2px相切n2p=2mt;直线mx+ny+t=0与抛物线x2=2py相切m2p=2nt;斜率为k的抛物线y2=2px的切线方程为:y=kx+;斜率为k的抛物线x2=2py的切线方程为:y=kx-pk2;如果点P(x0,y0)在抛物线C:y2=2px上,则抛物线C在P处的切线方程为:y0y=p(x+x0);如果点P(x0,y0)在抛物线C:x2=2py上,则抛物线C在P处的切线方程为:x0x=p(y+y0); 椭圆与双曲线:直线mx+
2、ny+t=0与二次曲线=1相切m2a2n2b2=t2;斜率为k的椭圆=1的切线方程为:y=kx;斜率为k的双曲线=1的切线方程为:y=kx;如果点P(x0,y0)在二次曲线C:=1上,则二次曲线C在P处的切线方程为:=1;例1:圆的切线.始源问题:(2013年全国100所名校高考模拟试题)如图, y已知椭圆C:+=1(ab0)的长轴为AB,过点B的直线l M与x轴垂直,直线(2-k)x-(1+2k)y+(1+2k)=0所经过的定点恰 Q好是椭圆C的一个顶点,且椭圆的离心率e=. P N()求椭圆C的方程; A O H B x()设P是椭圆C上异于A、B的任意一点,PHx轴,H为垂足,延长HP到
3、点Q,使得HP=PQ,连接AQ并延长交直线l于点M,N为MB的中点.试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系.解析:()直线(2-k)x-(1+2k)y+(1+2k)=0(2x-y+1)-k(x+2y-2)=0经过的定点(0,1)b=1;又由e=a=2椭圆C:+y2=1;()设P(x0,y0),则+y02=1;由|QH|=2|PH|Q(x0,2y0)|OQ|=2点Q在以AB为直径的圆O上;由直线AQ:y=(x+2)M(2,)N(2,)=(x0-2,2y0-)=(x0-2,)=x0(x0-2)+=x0=0直线QN与以AB为直径的圆O相切. 该题中HP=PQ=,由此可变式为:原创问题:己知圆M
4、:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.()求曲线C的方程;()设曲线C与x轴交于点A,PHx轴于点H,x轴上的点T满足=2,点Q满足:=,试判断直线QT与圆O:x2+y2=4的位置关系. 106 第13讲:切线.安徽高考命题的风景线 解析:()设圆M、圆N、圆P的半径分别为r1、r2、r,则r1=1,r2=3,由动圆P与圆M外切并且与圆N内切|PM|=r+r1,|PN|=r2-r|PM|+|PN|=(r+r1)+(r2-r)=r1+r2=4,由椭圆定义知,曲线C是以M(-1,0)、N(1,0)为左、右焦点,长半轴长为2的椭
5、圆:+=1(x-2);()由+=1(x-2)A(2,0);设P(x0,y0),则+=1,H(x0,0);由=2T(,0);由=Q(x0,y0)|OQ|=2点Q在圆O上;由=(x0-,y0)=x0(x0-)+(y0)2=x02-4+y02=0直线QN与圆O相切.例2:圆的切线.始源问题:(2009年山东高考试题)设椭圆E:=1(a,b0)过M(2,)、N(,1)两点,O为坐标原点.()求椭圆E的方程;()是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B,且?若存在,写出该圆的方程,并求|AB|的取值范围;若不存在,请说明理由.解析:()将两点M(2,)、N(,1)的坐标代
6、入椭圆E的方程=1得:.所以,椭圆E的方程为=1;()假设满足题意的圆存在,且设半径为R,斜率存在时,切线方程为y=kx+m,A(x1,y1)、B(x2,y2).由(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0x1+x2=-,x1x2=y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.由=0x1x2+y1y2=0(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0(1+k2)+km(-)+m2=0m2=(k2+1)R等于原点O到直线y=kx+m的距离d=圆的方程为:x2+y2=.当切线AB的斜率不存在时,切线为x=y=A(,),B(,-)=0.综上可得:存在圆x2+y
7、2=满足题目条件;由|AB|2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=(1+k2)(-)2-4=32(1-),令=t,则t=(1+)b0),由题知:a=2,=4c=1b2=3,所以,椭圆C的方程为=1; 第13讲:切线.安徽高考命题的风景线 107 ()设P(4,t),B(x1,y1),D(x2,y2),直线BD:x=my+1,由(3m2+4)y2+6my-9=0y1+y2=-,y1y2=-;由直线PB:y=(x-4)+tM(2,)=(2,),同理可得:N(2,)圆的圆心E的纵坐标,即MN中点的纵坐标=+=E(2,),圆E的半径r=|MN|=|-|=;点E到直线BD的距离:d=直线BD是以
8、MN为直径的圆的切线.例3:抛物线的切线.始源问题:(2011年安徽高考试题)若0,点A的坐标为(1,1),点B在抛物线y=x2上运动,点Q满足=,经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M,点P满足=,求点P的轨迹方程.解析:设点P(x,y)M(x,x2),由=Q(x,(1+)x2-y),由=B(1+)x-,(1+)2x2-(1+)y-),由点B在抛物线y=x2上得:(1+)2x2-(1+)y-=(1+)x-22(1+)x-(1+)y-(1+)=02x-y-1=0.原创问题:已知直线l:x=2与抛物线C:x2=2py(p0)相交于点A(2,1).()求抛物线C的方程;()若直线l与x轴交于点H,
9、平行于x轴的动直线与直线l、y轴分别交于点M、N,设=,点P满足:=, 求点P的轨迹方程.解析:()由抛物线C:x2=2py(p0)经过点A(2,1)2p=4p=2抛物线C:x2=4y;()由H(2,0)=(0,1);由=M(2,)N(0,)=(-2,0);由=(-1,0)P(+1,)点P的轨迹方程:x-y=1.例4:抛物线的切线.始源问题:(2012年全国高中数学联赛陕西预赛试题)如图, y锐角ABC内接于圆O,过圆心O且垂直于半径OA的直线分别交 A边AB、AC于点E、F,设圆O在B、C两点处的切线相交于点P.求证:直线AP平分线段EF. E O F x解析:命题组给出的是纯平面几何的综合
10、证法,为便于移植、 C推广到二次曲线,现给出一种解析证法: B 分别以EF、OA所在直线为轴建立平面直角坐标系,如图: P不妨设A(0,1),B(cos,sin),C(cos,sin),则直线AB:y=x+1,AC:y=x+1E(,0),F(,0);又圆O:x2+y2=1在处B、C的切线分别为xcos+ysin=1、xcos+ysin=1P(,-)直线AP:y=-x+1直线AP与x轴的交点M(,0);所以,直线AP平分线段EF点M是线段EF的中点2=+2=+2 108 第13讲:切线.安徽高考命题的风景线 =成立. 考虑到将圆变换为二次曲线,三角形的一个顶点移植为二次曲线的一个顶点,其他条件不
11、变可得:原创问题:已知抛物线C:x2=2py(p0)经过点A(2,1).()求抛物线C的方程和焦点F;()若动点Q在抛物线C上,且F在AOQ的内部,过焦点F且与y轴垂直的直线交OQ于点N,设AN的中点为M,求证:直线OM与抛物线C在Q处的切线的交点P在定直线上.解析:()由抛物线C:x2=2py(p0)经过点A(2,1)2p=4p=2抛物线C:x2=4y,焦点F(0,1);()设Q(2t,t2),则直线OQ:y=xN(,1)M(1+,1)直线OM:y=x;又抛物线C在Q处的切线:y=tx-t2;令x=tx-t2x=t+1y=tP(t+1,t)点P在定直线x=y+1上.例5:切线证明.始源问题:
12、(2012年安徽高考试题)如图,F1(-c,0),F2(c,0)分别是 y Q椭圆C:=1(ab0)的左,右焦点,过点F1作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P,过点F2作直线PF2的垂线交直线x=于点Q. P()若点Q的坐标为(4,4),求椭圆C的方程; F1 O F2 x()证明:直线PQ与椭圆C只有一个交点.解析:()由题知P(-c,)=-;由PF2QF2=直线QF2:y=(x-c),令x=y=(-c)=2aQ(,2a)=4,2a=4a=2,c=1椭圆C:+=1;()直线PQ:y=x+a,代入=1得:x2+2cx+c2=0x=-c直线PQ与椭圆C只有一个交点.原创问题:已知椭圆C:=1(ab
13、0)的右焦点为F,点M在椭圆C的右准线l上,连接OM与椭圆C交于点P,直线PQFM于Q.()若点M的坐标为(4,6)时,点P的坐标为(1,),求椭圆C的方程;()证明:直线PQ与椭圆C只有一个交点.解析:()由题知=4,+=1a2=4c,b2=4c-c2,+=1c=1a=2,b2=3椭圆C:+=1;()设P(x0,y0),则直线OP:y=xM(,)kMF=kPQ=-直线PQ:y-y0=-(x-x0)y=-+y0=-x+=-x+,代入=1得:(a2y02+b2x02)x2-2a2b2x0x+a4b2-a4y02=0x2-2x0x+ 第13讲:切线.安徽高考命题的风景线 109 x02=0直线PQ
14、与椭圆C只有一个交点.原创问题:已知椭圆C:=1(ab0)的左、右顶点分别为A、B,点P在椭圆C上,PHx轴于H,PH的中点为T,过点B且垂直于x轴的直线与直线AT交于点Q.()当H为OB的中点时,点Q(2,1),求椭圆C的方程;()证明:直线PQ与椭圆C只有一个交点.解析:()由点Q(2,1)B(2,0)a=2,H(1,0);设T(1,t),则直线AT:y=(x+2)yQ=t=1t=P(1,)+=1b2=3椭圆C:+=1;()设P(x0,y0),则T(x0,),直线AT:y=(x+a),令x=a得:y=Q(a,)kPQ=-直线PQ:y-y0=-(x-x0)y=-x+,代入=1得:(a2y02
15、+b2x02)x2-2a2b2x0x+a4b2-a4y02=0x2-2x0x+x02=0直线PQ与椭圆C只有一个交点.始源问题:(2013年安徽高考试题)已知椭圆C:=1(ab0)的焦距为4,且过点P(,).()求椭圆C的方程;()设Q(x0,y0)(x0y00)为椭圆C上一点.过点Q作x轴的垂线,垂足为E.取点A(0,2),连接AE.过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点,作直线QG.问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由.解析:()由题知a2-b2=4,=1a2=8.b2=4椭圆C:=1;()由Q(x0,y0)E(x0,0),设D(xD,0),则
16、=(x0,-2),=(xD,-2);由ADAE=0xDx0+8=0D(-,0)G(,0)kQG=(由Q(x0,y0)在椭圆C:=1上x02-8=-2y02)=-直线QG:y=-(x-),代入=1得:x2-2x0x+x02=0x=x0直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点Q.原创问题:已知椭圆C:=1(ab0)的左、右顶点分别为A、B,垂直x轴的直线l与椭圆C交于M、N两点.()已知A(-2,0),当直线l过椭圆C的焦点时,|MN|=3,求椭圆C的方程;()若直线AM与BN交于点P,PQx轴于Q,问这样作出的直线QM是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由.解析:()由题知a=2,=3b2=3椭圆
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