高中数学不等式知识点.doc

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1、不 等 式 知识要点1. 平方平均算术平均几何平均调和平均（a、b为正数）：（当a = b时取等）特别地，（当a = b时，）例1数轴穿根法：不等式的解为（ ）A1x1或x2Bx3或1x2 Cx=4或3x1或x2Dx=4或x3或1x2求定义域的时候不要写成并集；分子分母同时约去一项前必须先保证约去的一项不为零例2解关于的不等式： 分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。解：当 根的分布你还记得吗。？例3 己知三个不等式： (1)若同时满足、的值

2、也满足，求m的取值范围；(2)若满足的值至少满足和中的一个，求m的取值范围。分析：本例主要综合复习整式、分式不等式和含绝对值不等的解法，以及数形结合思想，解本题的关键弄清同时满足、的值的满足的充要条件是：对应的方程的两根分别在和内。不等式和与之对应的方程及函数图象有着密不可分的内在联系，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系。解：记的解集为A，的解集为B，的解集为C。解得A=（-1，3）；解得B=（1） 因同时满足、的值也满足，ABC 设，由的图象可知：方程的小根小于0，大根大于或等于3时，即可满足（2） 因满足的值至少满足和中的一个，因此小根大于或等于-1，大根小于或等于4，因而

3、说明：同时满足的x值满足的充要条件是：对应的方程2x+mx-1=0的两根分别在(-，0)和3，+)内，因此有f(0)0且f(3)0，否则不能对AB中的所有x值满足条件不等式和与之对应的方程及图象是有着密不可分的内在联系的，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系例6若二次函数y=f(x)的图象经过原点，且1f(-1)2，3f(1)4，求f(-2)的范围分析：要求f(-2)的取值范围，只需找到含人f(-2)的不等式(组)由于y=f(x)是二次函数，所以应先将f(x)的表达形式写出来即可求得f(-2)的表达式，然后依题设条件列出含有f(-2)的不等式(组)，即可求解解：因为y=f(x)的

4、图象经过原点，所以可设y=f(x)=ax2+bx于是解法一(利用基本不等式的性质)不等式组()变形得()所以f(-2)的取值范围是6，10解法二(数形结合)建立直角坐标系aob，作出不等式组()所表示的区域，如图6中的阴影部分因为f(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率为2的直线系如图6，当直线4a-2b-f(-2)=0过点A(2，1)，B(3，1)时，分别取得f(-2)的最小值6，最大值10即f(-2)的取值范围是：6f(-2)10解法三(利用方程的思想)又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而1f(-1)2，3f(1)4， 所以 33f(-1)6 +得43

5、f(-1)+f(1)10，即6f(-2)10说明：(1)在解不等式时，要求作同解变形要避免出现以下一种错解：2b，84a12，-3-2b-1，所以 5f(-2)11常见题型：例1已知（为常数），求的最小值例2已知 ，且，求的最小值例3当时，求证：例4 在某两个正数之间插入一个正数，使成等比数列；若另外插入两个正数，使成等差数列，求证：大家来挑错！分析：结合上一系列题目中的（5）-（7）题可知，本题的解答忽略了对基本不等式使用时必须是正数这一点注意事项。本题的解答在使用基本不等式时没有找到定值条件，只是盲目的套用基本不等式的形式，导致所得结果并不是最小的值。提醒同学注意：在使用基本不等式求最值为

6、题时，式中的积或和必须是定值。本题的解答没有注意本身的限制，使得基本不等式的等号无法取得。提醒同学注意：最值是否存在要考虑基本不等式中的等号是否能取得，在什么情况下取得 (x+y)()9. （想一想错在何处？）例4（2007山东卷）函数的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为_.【思路点拨】先用恒过定点这一条件建立一个关系式, 再用均值不等式求最值.【解析】函数的图象恒过定点，即，【点评】本题是用函数、方程作为隐性条件建立等量关系式，利用均值不等式求最值的问题.题目小巧而灵活多变，是立意很好的题目.含绝对值的不等式解法（一）主要知识：1绝对值的几何意义：是指数轴上点到原点的距离；是指数

7、轴上两点间的距离 2当时，或，； 当时，（二）主要方法：1解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解；2去掉绝对值的主要方法有：（1）公式法：，或（2）定义法：零点分段法；（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方（三）例题分析：例1解下列不等式：（1）；（2）；（3）解：（1）原不等式可化为或，原不等式解集为（2）原不等式可化为，即，原不等式解集为（3）当时，原不等式可化为，此时；当时，原不等式可化为，此时；当时，原不等式可化为，此时综上可得：原不等式的解集为例2（1）对任意实数，恒成立，则的取值范围是；（2）对任意实数，恒成立，则的取值范围是解：（1）可由绝对值的几何意义或的图象或者绝对值不等式的性质得，；（2）与（1）同理可得，