高中数学必修2空间立体几何大题.doc
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1、必修2空间立体几何大题一解答题(共18小题)1如图,在三棱锥VABC中,平面VAB平面ABC,VAB为等边三角形,ACBC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点(1)求证:VB平面MOC;(2)求证:平面MOC平面VAB(3)求三棱锥VABC的体积2如图,三棱锥PABC中,PA平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,BAC=60(1)求三棱锥PABC的体积;(2)证明:在线段PC上存在点M,使得ACBM,并求的值3如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4过E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一
2、个正方形()在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)()求平面把该长方体分成的两部分体积的比值4如图,直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形,E,F分别是BC,CC1的中点,()证明:平面AEF平面B1BCC1;()若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45,求三棱锥FAEC的体积5如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,已知ACBC,BC=CC1,设AB1的中点为D,B1CBC1=E求证:(1)DE平面AA1C1C;(2)BC1AB16如题图,三棱锥PABC中,平面PAC平面ABC,ABC=,点D、E在线段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F在线段AB上,且E
3、FBC()证明:AB平面PFE()若四棱锥PDFBC的体积为7,求线段BC的长7如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,PO垂直于圆O所在的平面,且PO=OB=1,()若D为线段AC的中点,求证;AC平面PDO;()求三棱锥PABC体积的最大值;8如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE平面ABCD()证明:平面AEC平面BED;()若ABC=120,AEEC,三棱锥EACD的体积为,求该三棱锥的侧面积9如图,已知AA1平面ABC,BB1AA1,AB=AC=3,BC=2,AA1=,BB1=2,点E和F分别为BC和A1C的中点()求证:EF平面A1B1BA;()求证:平
4、面AEA1平面BCB1;()求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小10如图所示,已知AB平面BCD,M、N分别是AC、AD的中点,BCCD(1)求证:MN平面BCD;(2)求证:平面BCD平面ABC11如图,圆柱的轴截面ABCD是正方形,点E在底面的圆周上,BFAE,F是垂足(1)求证:BFAC;(2)若CE=1,CBE=30,求三棱锥FBCE的体积12如图,已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形,ADBC,CEBG,且BCD=BCE=,平面ABCD平面BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG=2求证:()ECCD;()求证:AG平面BDE;()求:几何体EGABCD的体积13如图,已知
5、三棱锥ABPC中,APPC,ACBC,M为AB的中点,D为PB的中点,且PMB为正三角形(1)求证:DM平面APC;(2)若BC=4,AB=20,求三棱锥DBCM的体积14如图,在四棱锥PABCD中,PD平面ABCD,底面ABCD是菱形,BAD=60,AB=2,PD=,O为AC与BD的交点,E为棱PB上一点()证明:平面EAC平面PBD;()若PD平面EAC,求三棱锥PEAD的体积15已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1,底面边长为,点P、Q、R分别在棱AA1、BB1、BC上,Q是BB1中点,且PQAB,C1QQR(1)求证:C1Q平面PQR;(2)若C1Q=,求四面体C1PQR的体积16如图
6、,直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点(1)证明BC1平面A1CD(2)设AA1=AC=CB=2,AB=2,求三菱锥CA1DE的体积17如图甲,O的直径AB=2,圆上两点C,D在直径AB的两侧,且CBA=DAB=沿直径AB折起,使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙),F为BC的中点,E为AO的中点根据图乙解答下列各题:()求证:CBDE;()求三棱锥CBOD的体积;()在劣弧上是否存在一点G,使得FG平面ACD?若存在,试确定点G的位置;若不存在,请说明理由18如图:是直径为的半圆,O为圆心,C是上一点,且DFCD,且DF=2,E为FD的中点,Q为BE的中点,R为FC上
7、一点,且FR=3RC()求证:面BCE面CDF;()求证:QR平面BCD;()求三棱锥FBCE的体积必修2空间立体几何大题参考答案与试题解析一解答题(共18小题)1(2015北京)如图,在三棱锥VABC中,平面VAB平面ABC,VAB为等边三角形,ACBC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点(1)求证:VB平面MOC;(2)求证:平面MOC平面VAB(3)求三棱锥VABC的体积考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定专题:综合题;空间位置关系与距离分析:(1)利用三角形的中位线得出OMVB,利用线面平行的判定定理证明VB平面MOC;(2)证明:OC平面V
8、AB,即可证明平面MOC平面VAB(3)利用等体积法求三棱锥VABC的体积解答:(1)证明:O,M分别为AB,VA的中点,OMVB,VB平面MOC,OM平面MOC,VB平面MOC;(2)AC=BC,O为AB的中点,OCAB,平面VAB平面ABC,OC平面ABC,OC平面VAB,OC平面MOC,平面MOC平面VAB(3)在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=,AB=2,OC=1,SVAB=,OC平面VAB,VCVAB=SVAB=,VVABC=VCVAB=点评:本题考查线面平行的判定,考查平面与平面垂直的判定,考查体积的计算,正确运用线面平行、平面与平面垂直的判定定理是关键2(2015安徽)如图,
9、三棱锥PABC中,PA平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,BAC=60(1)求三棱锥PABC的体积;(2)证明:在线段PC上存在点M,使得ACBM,并求的值考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;点、线、面间的距离计算菁优网版权所有专题:综合题;空间位置关系与距离分析:(1)利用VPABC=SABCPA,求三棱锥PABC的体积;(2)过B作BNAC,垂足为N,过N作MNPA,交PA于点M,连接BM,证明AC平面MBN,可得ACBM,利用MNPA,求的值解答:(1)解:由题设,AB=1,AC=2,BAC=60,可得SABC=因为PA平面ABC,PA=1,所以VPABC=SABCPA=;(2)解:过B
10、作BNAC,垂足为N,过N作MNPA,交PC于点M,连接BM,由PA平面ABC,知PAAC,所以MNAC,因为BNMN=N,所以AC平面MBN因为BM平面MBN,所以ACBM在直角BAN中,AN=ABcosBAC=,从而NC=ACAN=由MNPA得=点评:本题考查三棱锥PABC的体积的计算,考查线面垂直的判定与性质的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题3(2015黑龙江)如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4过E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形()在图中画出这个正方形(不必说出画
11、法和理由)()求平面把该长方体分成的两部分体积的比值考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;平面的基本性质及推论菁优网版权所有专题:综合题;空间位置关系与距离分析:()利用平面与平面平行的性质,可在图中画出这个正方形;()求出MH=6,AH=10,HB=6,即可求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值解答:解:()交线围成的正方形EFGH如图所示;()作EMAB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8因为EFGH为正方形,所以EH=EF=BC=10,于是MH=6,AH=10,HB=6因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为点评:本题考查平面与平面平行的性质,考查
12、学生的计算能力,比较基础4(2015湖南)如图,直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形,E,F分别是BC,CC1的中点,()证明:平面AEF平面B1BCC1;()若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45,求三棱锥FAEC的体积考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定菁优网版权所有专题:空间位置关系与距离分析:()证明AEBB1,AEBC,BCBB1=B,推出AE平面B1BCC1,利用平面余平米垂直的判定定理证明平面AEF平面B1BCC1;()取AB的中点G,说明直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45,就是CA1G,求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积解答:
13、()证明:几何体是直棱柱,BB1底面ABC,AE底面ABC,AEBB1,直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形,E分别是BC的中点,AEBC,BCBB1=B,AE平面B1BCC1,AE平面AEF,平面AEF平面B1BCC1;()解:取AB的中点G,连结A1G,CG,由()可知CG平面A1ABB1,直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45,就是CA1G,则A1G=CG=,AA1=,CF=三棱锥FAEC的体积:=点评:本题考查几何体的体积的求法,平面与平面垂直的判定定理的应用,考查空间想象能力以及计算能力5(2015江苏)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,已知ACBC,BC=C
14、C1,设AB1的中点为D,B1CBC1=E求证:(1)DE平面AA1C1C;(2)BC1AB1考点:直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质菁优网版权所有专题:证明题;空间位置关系与距离分析:(1)根据中位线定理得DEAC,即证DE平面AA1C1C;(2)先由直三棱柱得出CC1平面ABC,即证ACCC1;再证明AC平面BCC1B1,即证BC1AC;最后证明BC1平面B1AC,即可证出BC1AB1解答:证明:(1)根据题意,得;E为B1C的中点,D为AB1的中点,所以DEAC;又因为DE平面AA1C1C,AC平面AA1C1C,所以DE平面AA1C1C;(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱
15、,所以CC1平面ABC,因为AC平面ABC,所以ACCC1;又因为ACBC,CC1平面BCC1B1,BC平面BCC1B1,BCCC1=C,所以AC平面BCC1B1;又因为BC1平面BCC1B1,所以BC1AC;因为BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形,所以BC1平面B1AC;又因为AB1平面B1AC,所以BC1AB1点评:本题考查了直线与直线,直线与平面以及平面与平面的位置关系,也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题,是基础题目6(2015重庆)如题图,三棱锥PABC中,平面PAC平面ABC,ABC=,点D、E在线段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F在线段AB上,
16、且EFBC()证明:AB平面PFE()若四棱锥PDFBC的体积为7,求线段BC的长考点:直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有专题:开放型;空间位置关系与距离分析:()由等腰三角形的性质可证PEAC,可证PEAB又EFBC,可证ABEF,从而AB与平面PEF内两条相交直线PE,EF都垂直,可证AB平面PEF()设BC=x,可求AB,SABC,由EFBC可得AFEABC,求得SAFE=SABC,由AD=AE,可求SAFD,从而求得四边形DFBC的面积,由()知PE为四棱锥PDFBC的高,求得PE,由体积VPDFBC=SDFBCPE=7,即可解得线段BC的长解答:解:()如图,
17、由DE=EC,PD=PC知,E为等腰PDC中DC边的中点,故PEAC,又平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=AC,PE平面PAC,PEAC,所以PE平面ABC,从而PEAB因为ABC=,EFBC,故ABEF,从而AB与平面PEF内两条相交直线PE,EF都垂直,所以AB平面PEF()设BC=x,则在直角ABC中,AB=,从而SABC=ABBC=x,由EFBC知,得AFEABC,故=()2=,即SAFE=SABC,由AD=AE,SAFD=SABC=SABC=x,从而四边形DFBC的面积为:SDFBC=SABCSAFD=xx=x由()知,PE平面ABC,所以PE为四棱锥PDFBC的高在直角P
18、EC中,PE=2,故体积VPDFBC=SDFBCPE=x=7,故得x436x2+243=0,解得x2=9或x2=27,由于x0,可得x=3或x=3所以:BC=3或BC=3点评:本题主要考查了直线与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积的求法,考查了空间想象能力和推理论证能力,考查了转化思想,属于中档题7(2015福建)如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,PO垂直于圆O所在的平面,且PO=OB=1,()若D为线段AC的中点,求证;AC平面PDO;()求三棱锥PABC体积的最大值;()若BC=,点E在线段PB上,求CE+OE的最小值考点:直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积
19、菁优网版权所有专题:空间位置关系与距离分析:()由题意可证ACDO,又POAC,即可证明AC平面PDO()当COAB时,C到AB的距离最大且最大值为1,又AB=2,即可求ABC面积的最大值,又三棱锥PABC的高PO=1,即可求得三棱锥PABC体积的最大值()可求PB=PC,即有PB=PC=BC,由OP=OB,CP=CB,可证E为PB中点,从而可求OC=OE+EC=,从而得解解答:解:()在AOC中,因为OA=OC,D为AC的中点,所以ACDO,又PO垂直于圆O所在的平面,所以POAC,因为DOPO=O,所以AC平面PDO()因为点C在圆O上,所以当COAB时,C到AB的距离最大,且最大值为1,
20、又AB=2,所以ABC面积的最大值为,又因为三棱锥PABC的高PO=1,故三棱锥PABC体积的最大值为:()在POB中,PO=OB=1,POB=90,所以PB=,同理PC=,所以PB=PC=BC,在三棱锥PABC中,将侧面BCP绕PB旋转至平面BCP,使之与平面ABP共面,如图所示,当O,E,C共线时,CE+OE取得最小值,又因为OP=OB,CP=CB,所以OC垂直平分PB,即E为PB中点从而OC=OE+EC=亦即CE+OE的最小值为:点评:本题主要考查了直线与直线、直线与平面的位置关系、锥体的体积的求法等基础知识,考查了空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查了数形结合思想、化归与转化
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