高中数学 抛物线大题精选30道(含答案) .doc
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1、抛物线大题30题1 已知抛物线的顶点在原点,焦点与椭圆的一个焦点相同,(1)求椭圆的焦点坐标与离心率;(2)求抛物线方程.2 过抛物线y2=4x的焦点作直线AB交抛物线于 AB,求AB中点M的轨迹方程3 已知直线过定点,且与抛物线交于、两点,若以为直径的圆经过原点,求抛物线的方程. 4 已知:方程表示椭圆;:抛物线与轴无公共点,若是真命题且是假命题,求实数的取值范围5 在平面直角坐标系中,抛物线C的顶点在原点,经过点A(2,2),其焦点F在轴上。(1)求抛物线C的标准方程;(2)求过点F,且与直线OA垂直的直线的方程;(3)设过点的直线交抛物线C于DE两点,ME=2DM,记D和E两点间的距离为
2、,求关于的表达式。6 直线y=2x与抛物线y=-x2-2x+m相交于不同的两点 AB,求(1)实数m的取值范围;(2)AB的值(用含m的代数式表示).7 已知抛物线:,焦点为,其准线与轴交于点;椭圆:分别以为左、右焦点,其离心率;且抛物线和椭圆的一个交点记为. (1)当时,求椭圆的标准方程;(2)在(1)的条件下,若直线经过椭圆的右焦点,且与抛物线相交于两点,若弦长等于的周长,求直线的方程.8 如图,已知直线l:与抛物线C:交于A,B两点,为坐标原点,()求直线l和抛物线C的方程;()抛物线上一动点P从A到B运动时,求ABP面积最大值.9设圆过点P(0,2), 且在轴上截得的弦RG的长为4.(
3、)求圆心的轨迹E的方程;()过点(0,1),作轨迹的两条互相垂直的弦,设、 的中点分别为,试判断直线是否过定点?并说明理由.10.已知抛物线的准线方程,与直线在第一象限相交于点,过作的切线,过作的垂线交x轴正半轴于点,过作的平行线交抛物线于第一象限内的点,过作抛物线的切线,过作的垂线交x轴正半轴于点,依此类推,在x轴上形成一点列,设点的坐标为()试探求关于的递推关系式;()求证:;()求证:.11已知直线,抛物线,定点M(1,1)(I)当直线经过抛物线焦点F时,求点M关于直线的对称点N的坐标,并判断点N 是否在抛物线C上;(II)当变化且直线与抛物线C有公共点时,设点P(a,1)关于直线的对称
4、点为Q(x0,y0),求x0关于k的函数关系式;若P与M重合时,求的取值范围12位于函数的图象上的一系列点,这一系列点的横坐标构成以为首项,为公差的等差数列.()求点的坐标;()设抛物线中的每一条的对称轴都垂直于轴,对于第条抛物线的顶点为,抛物线过点,且在该点处的切线的斜率为,求证:. 13已知抛物线的焦点为F, AB为抛物线上的两个动点.()如果直线AB过抛物线焦点,判断坐标原点与以线段AB为直径的圆的位置关系,并给出证明;()如果(为坐标原点),证明直线AB必过一定点,并求出该定点.14已知点F(2 ,0) ,直线,动点N到点F距离比到直线的距离大;(1)求动点N的轨迹C的方程; (2)直
5、线与轨迹C交于点A,B,求的面积.15(本小题共13分)已知抛物线C:,过定点,作直线交抛物线于(点在第一象限). ()当点A是抛物线C的焦点,且弦长时,求直线的方程; ()设点关于轴的对称点为,直线交轴于点,且.求证:点B的坐标是并求点到直线的距离的取值范围.16抛物线上横坐标为的点到焦点F的距离为2(I)求p的值;(II)过抛物线C的焦点F.,作相互垂直的两条弦AB和CD, 求的最小值。17在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线上横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5.(1)求抛物线的标准方程;(2)设点C是抛物线上的动点.若以点C为圆心的圆在y轴上截得的弦长为4,求证:圆C过定点.18在
6、平面内,已知定点,动点分别在轴上,且。若点满足条件:。()求点的轨迹的方程;()若直线:与点的轨迹所围成区域的面积等于9,求的值。19已知抛物线,直线交抛物线C于 AB两点,M是线段AB的中点,过M作轴的垂线交抛物线C于点N,(1)证明:抛物线C在N点处的切线与AB平行;(2)是否存在实数,使得若存在,求出的值;若不存在,说明理由20已知点,直线,点E是上的动点,过点E垂直于y轴的直线与线段EF的垂直平分线交于点P.(1)求点P的轨迹M的方程;(2)若曲线M上在x轴上方的一点A的横坐标为a,过点A作两条倾斜角互补的直线,与曲线M的另一个交点分别为BC,求证:直线BC的斜率为定值.21设点P(x
7、,y)(x0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(其中O为坐标原点),点P到定点M(,0)的距离比点P到y轴的距离大()求点P的轨迹方程:()若直线l与点P的轨迹相交于 AB两点,且,点O到直线l的距离为,求直线l的方程22给定抛物线,F是C的焦点,过点F的直线l与C相交于 AB两点,O为坐标原点.()设l的斜率为1,求以AB为直径的圆的方程;()设,求直线l的方程.23已知点A(2,8),B(x1,y1),C(x2,y2)在抛物线上,ABC的重心与此抛物线的焦点F重合(如图)(1)写出该抛物线的方程和焦点F的坐标;(2)求线段BC中点M的坐标;水面xO3m10m1m跳台支柱y24某跳水运动员
8、进行10米跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件).在跳某个规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面米,入水处距池边的距离为4米,运动员在距水面高度为5米以前,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否则就会出现失误求这条抛物线的解析式;在某次试跳中,测得运动员在空中的运动路线是()中的抛物线,且运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为米,问此次跳水会不会失误?并通过计算说明理由25已知抛物线,O为坐标原点,动直线与抛物线C交于 AB两点。(1)求证:为常数(2)求满足的点M的轨迹方程。26如图,
9、过抛物线y22PX(P0)的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点,自M、N向准线L作垂线,垂足分别为M1、N1 ()求证:FM1FN1:()记FMM1、FM1N1、FN N1的面积分别为S1、S2、,S3,试判断S224S1S3是否成立,并证明你的结论。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 27已知抛物线的顶点在坐标原点,它的准线经过双曲线:的一个焦点且垂直于的两个焦点所在的轴,若抛物线与双曲线的一个交点是(1)求抛物线的方程及其焦点的坐标;(2)求双曲线的方程及其离心率28已知抛物线的焦点为F, AB是抛物线上两动点,且过 AB两点分别作抛物线的切线,设其交点为M(1)证明:为定值;(2)
10、设的面积为S,写出的表达式,并求S的最小值29已知点为抛物线的焦点,点是准线上的动点,直线交抛物线于两点,若点的纵坐标为,点为准线与轴的交点()求直线的方程;()求的面积范围;()设,求证为定值30已知抛物线,点M(m,0)在x轴的正半轴上,过M的直线l与C相交于 AB两点,O为坐标原点.()若m=1,l的斜率为1,求以AB为直径的圆的方程;()若存在直线l使得成等比数列,求实数m的取值范围.抛物线大题30题参考答案1 解:椭圆方程为,a2=5,b2=4,c2=a2-b2=1, 椭圆焦点坐标为(-1,0),(1,0), ;离心率e=; (2)若抛物线焦点坐标为(1,0),则设抛物线的方程为y2
11、=2px, ,则p=2, 所求抛物线的方程为 若抛物线焦点坐标为(-1,0),则设抛物线的方程为y2=-2px, ,则p=2,所求抛物线的方程为 抛物线的方程为 2 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y12=4x1,y22=4x2(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2) (y1+y2)=4(x1x2)设AB中点M(x,y),则y1+y2=2y 当x1=x2时,M(1,0)满足上式轨迹方程为y2=2(x-1)3 解:可设直线的方程为代入, 得 设, 则, 由题意知,则, 即 , , 此时,抛物线的方程为 4 解:“方程表示椭圆”是真命题, , “抛物线与轴无公共点”是假命题,抛物线与
12、轴有公共点, , 由题意得, 5 解析 必做题本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识,考查运算求解能力。满分10分。 6 (1)将y=2x代入y=-x2-2x+m得,x2+4x-m=0.直线与抛物线相交于不同的两点 AB,(2)设,则AB=.7 (1)当时,F(1,0),F(-1,0) 设椭圆的标准方程为(0),=1,= ,=2,= 故椭圆的标准方程为=1 (2) ()若直线的斜率不存在,则:=1,且A(1,2),B(1,-2),=4 又的周长等于=2+2=6 直线的斜率必存在 ()设直线的斜率为,则: 由,得 直线与抛物线有两个交点A,B ,且 设则可得, 于是= = = =
13、 的周长等于=2+2=6 由=6,解得= 故所求直线的方程为 8 解:()由得, 设则因为= 所以解得 所以直线的方程为抛物线C的方程为 ()方法1:设依题意,抛物线过P的切线与平行时,APB面积最大,所以 所以此时到直线的距离 由得, ABP的面积最大值为 ()方法2:由得, 设 ,因为为定值,当到直线的距离最大时,ABP的面积最大, 因为,所以当时,max=,此时 ABP的面积最大值为 9解:()设圆心的坐标为,如图过圆心作轴于H, 则H为RG的中点,在中, 即 () 设, 直线AB的方程为,联立有: , 点M的坐标为. 同理可得:点的坐标为. 直线的斜率为, 其方程为,整理得, 不论为何
14、值,点均满足方程, 直线恒过定点. 10.解:(I)由题意知: 由题意知联立得:,. 切线的斜率为,直线的斜率, 直线的方程为 令,得: ()由已知易得,直线的斜率, 直线的方程为:令得 当时 ,即: 当时, 故 (用数学归纳法证明亦可) (III)由(II)知:. . 11(I)由焦点F(1,0)在上,得 设点N(m,n)则 有:, 解得, N点不在抛物线C上 (2)把直线方程代入抛物线方程得: 解得 当P与M重合时,a=1 12解: ()由于的横坐标构成以为首项,为公差的等差数列, 故 又位于函数的图象上, 所以 所求点的坐标为( ()证明:由题意可设抛物线的方程为,即. 由抛物线过点,于
15、是有. 由此可得 故. 所以, 于是 . 故 13解:()焦点F为(1,0),过点F的直线AB的方程可设为,代入抛物线 得:,则有, ,于是为钝角,故在圆内 ()设直线AB的方程为消去x,得,则 ,=.令,直线AB过定点(2,0). 14解:(1)20.解:(1)设N点坐标为,所以(2) 15(本小题共13分) 解:()由抛物线C:得抛物线的焦点坐标为,设直线的方程为:, 由得. 所以,.因为, 所以. 所以.即. 所以直线的方程为:或 ()设,则. 由得. 因为,所以, ()设,则. 由题意知:,. 即. 显然 ()由题意知:为等腰直角三角形,即,即. . . ., . 即的取值范围是 16
16、(I)解由已知解得(II)显然直线AB的斜率存在且设直线联立,得设则则当且仅即时取得最小值817解:(1)根据题意,抛物线y22px的准线方程为x,且p0 因为抛物线上横坐标为4的点到焦点的距离为5,所以该点到准线x的距离也为5所以p2故所求抛物线的标准方程为y24x (2)因为点C在抛物线上,故可设点C为(,t)所以点C到y轴的距离为 因为圆C在y轴上截得的弦长为4,所以圆C的半径r所以圆C的方程为(x)2(yt)2()2即x2y2x2tyt240 (方法一)因为圆C是动圆所以当t0时,圆C的方程为x2y240, 当t2时,圆C的方程为x2y22x4y0 联立,得 解得或 把(2,0)代入圆
17、C方程,左边220222t0t240右边,方程成立,所以圆C恒过定点(2,0)把(,)代入圆C的方程得,左边t2t不恒为0,即随着t的变化而变化故点(,)可能不在圆C上所以圆C恒过定点(2,0) (方法二)将方程x2y2x2tyt240整理为(1)t22yt(x2y24)0 式对任意实数t都成立的充要条件是 即所以圆C恒过定点(2,0) 18解:()设则由得,所以,于是, 由得,即。 ()解方程组,得或故直线与轨迹交点坐标为, 于是,取,则从而, 即 19解:(1)由, 设 则 由知,抛物线C在点N处是切线的斜率 因此,抛物线C在点N处的切线与直线AB平行 (2)假设存在实数,使得,则 由M是
18、线段AB的中点 由轴,知 解得(舍去) 存在实数,使得 20解:(1)连结PF. 点P在线段EF的垂直平分线上,|PF|=|PE|.点P的轨迹是以F为焦点,以直线l为准线的抛物线.p=2a.点P的轨迹为M: (2)直线AB的斜率为k(k0),点B则直线AB的方程为 消去x,得 =y1,2a是方程的两个根,依题意,直线AC的斜率为-k.同理可得所以直线BC的斜率为定值. 21解:(I)用直接法或定义法求得点P轨迹方程为y2=2x ()当直线l的斜率不存在时,由题设可知直线l的方程是x=,此时,A(,),B(,-),不符合当直线l的斜率存在时,设方程为y=kx+b(k0,b0), 设A(x1,y1
19、),B(x2,y2),则y1y2=y1y2=-4, b+2k=0 又点O到直线l距离为得 由解得k=1,b=-2或k=-1,b=2,所以直线l的方程为y=x-2或y=-x+2 22方法一:()解:由题意,得,直线l的方程为.由, 得,设A, B两点坐标为, AB中点M的坐标为,则, 故点 所以,故圆心为, 直径,所以以AB为直径的圆的方程为; ()解:因为, 三点A, F, B共线且点A, B在点F两侧, 所以,设A, B两点坐标为, 则,所以 因为点A, B在抛物线C上,所以, 由,解得所以, 故直线l的方程为或 方法二:()解:由题意,得,直线l的方程为.由, 得,设A, B两点坐标为,
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