三垂线定理及其逆定理.doc

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1、 三垂线定理及其逆定理【学习内容分析】“三垂线定理”就是安排在“直线与平面的垂直的判定与性质”后进行学习的。它就是线面垂直性质的延伸。利用三垂线定理及其逆定理,可将空间两直线垂直与平面两直线垂直进行互相转化,具体应用表现例如辅助我们做二面角平面角等。所以在立体几何中有核心定理的作用。【课程目标】一. 知识与技能目标理解与掌握三垂线定理及其逆定理的内容、证明与应用。二. 过程与方法目标1通过对定理的学习,培养学生观察、猜想与论证数学问题的能力。三.情感、态度与价值观目标3、培养学生逻辑推理证明的能力与相互转化的思想。【教学重点与难点】一. 教学重点定理的理解与运用二.教学难点如何在具体图形中找出

2、适合三垂线定理(或逆定理)的直线与平面。【教学方法】以教师为主导,以学生为主体,以能力发展为目标,从学生的认识规律出发进行启发式教学,运用小组学习合作探究。【教学过程】一 复习引入:1. 复习提问1、回顾直线与平面垂直的相关性质以及射影、斜线等概念;设计意图(因为平面的垂线、平面的斜线及射影就是三垂线定理的基础,直线与平面垂直的判定与性质又就是证明三垂线定理的基本方法,因此我用提问的形式让学生温故知新,作好新课的铺垫。)2、有意设疑,引入新课。平面的垂线垂直于平面内的每一条直线;平面的斜线不能垂直于平面的每一条直线,但也不就是与每一条直线都不垂直。那么平面的斜线与平面内的直线在什么情况下就是垂

3、直的呢？学生思考后,我再引导学生利用三角板与直尺在桌面上搭建模型(如图),使直尺与三角板的斜边垂直,引导学生猜想发现规律。经过实验,发现直尺与三角板在平面内的直角边垂直时便与斜边垂直。启发学生把猜想、实验后得到的结论总结出来,表达成数学命题:平面内的一条直线如果与平面的斜线的射影垂直,那么就与平面的这条斜线垂直(板书)设计意图(为了唤起学生学习的兴趣,把学生的注意力集中起来,调动学生的思维积极性,我通过提出问题,创设情景,引导学生观察、猜想,发现新的知识,培养学生的探索能力)二、新课讲授:由以上的分析,我们可以抽象出如下的一个图。PPO,PA与斜交于点A,AOa,问PA与a所成的角;显然POP

4、O OA a平面POA PAOA POOA=O PA平面POA 即:PA与a所成的角为900 三垂线定理来源于“线面垂直”,抓住平面的垂线PO,才就是抓住了定理的实质与关键,并启发学生猜想逆命题的真假,学生把握住了线面垂直这个本质很容易得出三垂线定理的逆定理。三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果它与这个平面的一条斜线垂直,那么它与这条斜线在平面内的射线垂直。(板书)设计意图(1证明命题。通过对猜想得到的命题的论证,加深学生对命题内容的认识,使学生的思维提高到演绎推理的水平上来。我通过启发学生进行思考讨论后再进行归纳小结,帮助学生理清证明的基本思路,培养学生相互转化的数学思想。2、利用命

5、题变换,培养学生思维的灵活性,进一步深化对定理的学习与理解。3利用列表对比教学法,强化对三垂线定理及其逆定理内容的理解与记忆。)剖析命题(1)、三垂线定理及其逆定理的内容反映了“四线一面”的相互关系,平面内的直线与平面的斜线以及斜线在平面上的射影垂直等价,本质就就是线面垂直的定义。(2)、通过教具演示、图形分析、我再对灵活应用定理的程序进行总结:一找垂面:即先确定平面及平面的垂线:二找斜线:接着确定平面的斜线:三定射影:由上面的垂足与斜足确定斜线的射影;四证直线:即在平面内证明某一条直线与平面的斜线或斜线的射影垂直。(板书)设计意图(为了加深对定理的理解,为灵活应用定理奠定基础,帮助学生化解难

6、点,揭示定理的应用方法。)三 讲解例题例1、已知:点就是的垂心,垂足为,求证:.证明:点就是的垂心,又,垂足为,所以,由三垂线定理知,.例2、如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等,那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 已知:BAC在内,Pa,PEAB于E,PFAC于F且PE=PF,POa求证:O在BAC的平分线上(即BAO=CAO)证明:连接OE,OF POaEO,FO分别为PE,PF在a上的射影PE=PF OE=OF PEAB,PFAC OEAB,OFAC(三垂线定理的逆定理 )O到BAC两边距离相等O在BAC的平分线上变式:已知:在平面内,点,垂足分别为,求证:.证明:,(三垂

7、线定理逆定理),又,.推广:经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线,如果斜线的这个角两边夹角相等,那么斜线在平面上的射影就是这个角的平分线所在直线例3、在三棱锥P-ABC中,三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,H就是ABC的垂心求证:(1)PH底面ABC (2)ABC就是锐角三角形、 证明: (1)略(2)设AH与直线BC的交点为E,连接PE由(1)知PH底面ABC AE为PE在平面ABC的射影,由三垂线定理:PEBC PBPC即BPC就是直角三角形,BC为斜边 E在BC边上 由于AEBC,故BC都就是锐角 同理可证:A也就是锐角 ABC为锐角三角形设计意图(为了培养学生灵活应用定理的能力,帮助

8、学生掌握重点,化解难点,我精选了三条有层次的、由易到难的例题,通过引导学生观察,分析后,我用设问的方法,深入浅出地引导学生寻找证题的基本思路,确定适应定理的“四线一面”,然后,由学生板书解答后,我再较正学生的证明过程,进一步培养学生的书面语言表达能力与逻辑推理能力。)四 小结:知识:三垂线定理以及逆定理 问题:平面中斜线与射影的垂直问题方法:空间垂直与平面垂直互相转化思想:转化思想五 作业:1、边长为a的正六边形ABCDEF在平面a内,PAa,PA=a,则P到CD的距离为 ,P到BC的距离为 、2、AC就是平面a的斜线,且AO=a,AO与a成60角,OCa,AAa于A,OC=45,则A到直线OC的距离就是 ,AOC的余弦值就是 、答案:1、; 2、3、如图,已知ABCD就是矩形,AB=a,AD=b,PA平面ABCD,PA=2c,Q就是PA的中点.HEQPDCBAAACO求(1)Q到BD的距离;(2)P到平面BQD的距离.六 板书设计:七 教学后记本节课采用教师为主导学生为主体的启发式教学方式,学生反映较好,定理记得牢,理解深刻,应用灵活,不仅让学生学习了新的知识,而且培养了能力。从学生的课后作业瞧,书写规范,推理正确,取得较好的教学效果,圆满完成本节课的教学任务。