教育论文高中数学相切题型的解法探讨.doc

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2、 题型 解题方法一、位置关系1.直线与圆相切圆心到直线的距离等于圆半径例1.求经过（1，4）与圆x2+y2-6x+5=0相切的切线方程。解：化圆为标准方程，得（x-3）2+y2=4，所以圆心为（3，0），半径为2，当切线斜率存在时，设直线方程为y-4=k(x-1)，即kx-y+4-k=0由相切关系，得2k+4k2+1=2，所以k=-34。故切线方程为3x+4y-19=0当切线斜率不存在时，有已知条件、相切关系得切线方程为x=1所以所求切线方程为x=1或3x+4y-19=02.圆与圆相切连心距等于两半径之和或差例2.已知圆A的方程为（x-1）2+（y-2）2=1,求与该圆相切又与x轴相切于点M(

3、4，0)的圆方程。解：因为所求圆与X轴相切于点M（4，0），所以可设圆心B（4，a），（a0）且r=a；又因为圆A与圆B相切，所以|AB|=1。由两点距离公式得（4-1）2+（a-2）2=a1解得：a=2或a=6故所求的相切圆方程(x-4)2+(y-2)2=4或(x-4)2+(y-6)2=36二、判别式法建立方程组，议程组有唯一解，注意下例直线与双曲线相交有一个交点是直线与双曲线相切的必要条件。例3.已知双曲线X-y23=1的左准线与X轴的交点为M，求过点M与双曲线相切的直线方程。解：双曲线的左准线方程为x=-212，故M点坐标为（-12，0），由题意过M的直线y=k(x+12)与双曲线有唯一

4、解。即y=k(x+12)，3x2-y2=3，此方程组有唯一解式代入整理得（3-k2）x2-k2x-(14k2+3)=0,因为此方程有唯一解，所以当3-k2=0，有唯一解，得k= 3，但此k与渐线斜率相同，直线y= 3 (x+12)不是切线当3-k20，=k4+4(3-k2)(14k2+3)=0时，有唯一解，得：k=2所以切线方程为：y=-2(x+12)或y=2(x+12)三、点圆法切点（a,b）看成半径为零的圆，方程为(x-a)2+(y-b)2=0,点圆法用于直线和圆相切的题型中，可简化解题过程。例4.已知A（4，-1）和圆x2+y2+2x-6y+5=0上的点B（1，2）。求：切点为B的圆的切

5、线方程；与圆相切于B且过点A的圆方程。解：（1）点圆B的方程为(x-1)2+(y-2)2=0即x2+y2-2x-4y+5=0；已知圆方程为x2+y2+2x-6y+5=0。式-式，即得切线方程Y=2x(2)点圆B的方程为(x-1)2+(y-2)2=0，于是过点圆与已知圆交点的圆系方程为(x-1)2+(y-2)2+(x2+y2+2x-6y+5)=0因过点A（4，-1），于是把坐标代入，得=-12，所以，所求的圆方程为x2+y2-6x-2y+5=0四、为零法题型是有关曲线系相切问题。解题过程中应用了关于某参数等式恒成立的意义。1.求圆系的公切线例5.已经圆的方程为x2+y2-2ax-4ay+92a2

6、=0(a0)，求当a变化时，求所有圆的公切线方程。解：将圆方程化为标准形，得(x-a)2+(y-2a)2=(22a),所以圆心为（a，2a）设公切线方程为y=kx+b,即Kx-y+b=0这里是一个图片因为圆心到直线的距离为半径，所以有|ka-u+b|k2+1=22|a|两边平方，整理得（12k2-4k+72）a2+2(k-2)ba+b2=0上式为关于a的恒等式，根据其意义，得12k2-4k+72=02（k-2）b=0b2=0所以b=0；k=1或k=7故所求切线方程为y=x或y=7x2.求直线系的相切圆例6.求与直线kx-y+2 k2+1+1=0，当kR时，都相切的圆方程。解：设所求圆方程为(x

7、-a)2+(y-b)2=r，则圆心（a，b）到直线的距离为r，得即：上式对kR恒成立，故有a=01-b=0r=2所以，所求圆方程为X2+(y-1)2=4五、公式法以点（x0,y0）为切点，曲线x2+y2=r2，x2a2+x2b2=1(ab0)，x2a2-x2b2=1（a0，b0），y2=2px(六、导数法例8.设点An（xn,0）和曲线Cn：fn(x)=13x2+32n(nN*)，xn(xn0)由以下方法得到：x1=3,点A1（x1,0）的直线与曲线C相切，切点为（x2,f1(x)）;过点A2(x2,0)的直线与曲线C2相切，切点为（x3,f2(x3)）;，过点An(xn,0)的直线与曲线Cn

8、相切，切点为（xn+1,fn(x（作者单位：浙江义乌市大成中学）其他参考文献Baker, Sheridan. The Practical Stylist. 6th ed. New York: Harper & Row, 1985.Flesch, Rudolf. The Art of Plain Talk. New York: Harper & Brothers, 1946.Gowers, Ernest. The Complete Plain Words. London: Penguin Books, 1987.Snell-Hornby, Mary. Translation Studies: A

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