七年级数学轴对称与轴对称图形华东师大版知识精讲.doc

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1、初一数学轴对称与轴对称图形华东师大版【本讲教育信息】一、教学内容：轴对称与轴对称图形二、知识要点1. 知识点概要（1）轴对称图形概念；掌握关于某条直线成轴对称的两个图形的性质特征；理解轴对称图形和两个图形成轴对称这两个概念的区别与联系. （2）知道线段、角是轴对称图形，掌握线段的垂直平分线、角平分线的定义和性质，并学会应用它们的性质解决相关问题. （3）熟练画出轴对称图形的对称轴. 能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后的图形. 能设计简单的轴对称图案. 2. 重点难点（1）重点：轴对称图形的概念；线段垂直平分线、角平分线的性质. （2）难点：两个图形成轴对称与轴对称图形两个概念的区别与联系

2、；运用线段垂直平分线性质和角平分线性质解决问题. 三、考点分析轴对称的有关概念1. 轴对称图形如果把一个图形沿某条直线对折，对折的两部分完全重合，则该图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴. 说明：轴对称图形的定义中有两层含义：一个图形；沿某条直线对折，两部分完全重合. 2. 轴对称把一个图形沿着某一条直线翻折过去，若它能够与另一个图形重合，则这两个图形成轴对称. 这条直线叫对称轴，两个图形中的对应点叫对称点. 说明：轴对称的定义中也包含两层含义：两个图形；沿某条直线对折，两个图形能够完全重合. 3. 轴对称与轴对称图形的区别与联系它们的区别：轴对称指两个图形的位置关系，轴对称图形指一

3、个具有特殊形状的图形. 成轴对称的两个图形的对称轴只有一条，两轴对称图形的对称轴最少是一条或更多条. 它们的联系：定义中都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合. 若将轴对称图形沿对称轴分成两部分，则这两个部分关于这条直线成轴对称；反过来，若把两个成轴对称的图形看成一个整体，则它就是一个轴对称图形. 4. 轴对称的性质关于某条直线对称的两个图形的形状、大小完全相同. 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线. 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上. 简单的轴对称图形线段和角是简单的轴对称图形. 它们的对称轴分别是线段本身所在的直线与线段

4、的中垂线、角的平分线所在的直线. 1. 线段的垂直平分线垂直平分线指垂直并且平分一条线段的直线，又称中垂线. 它的性质为：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 用数学符号语言表示该性质为：如图（1），因为点M在线段AB的垂直平分线上，所以MA=MB. （1）（2）2. 角的平分线角的平分线将角分成两个相等的角. 角的平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等. 用数学符号语言表示该性质为：如图（2），因为点P在AOB的角平分线上，且PDOA，PEOB，所以PD=PE. 3. 与轴对称有关的画图题根据轴对称的性质可以画出轴对称图形的对称轴；也可以画出某个图形关于对称轴对称的

5、图形；还可以按要求画出符合要求的轴对称图形. 【典型例题】例1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ）分析：判断一个图形是否是轴对称图形，依据是轴对称图形的定义，一般只要根据定义进行观察，必要时用对折的方法检验. 答案：D例2. 如图所示，四边形ABCD和四边形 A1B1C1D1关于直线MN对称，图中有许多相等的角和相等的线段，试写出其中5对相等的角和5对相等的线段. 分析：根据轴对称的定义可知，成轴对称的两个图形能完全重合，这样可以找到对应的角相等、对应的线段相等. 解：相等的五对角：DABD1A1B1，ABCA1B1C1，BCDB1C1D1，CDAC1D1A1，AOBA1O1B1；相等的五对

6、线段：ABA1B1，BCB1C1，CDC1D1， DAD1A1，ACA1C1. （解决本题的依据是成轴对称的图形的对应线段相等，对应角相等. 一般先找对应点，再找对应线段，这里点A、B、C、D、O依次与点A1、B1、C1、D1、O1对应，再找对应角. 想想看，你最多能写出多少对？）例3. 在图中标出点A、B、C关于直线的对称点. （1） （2）分析：抓住两图形沿着直线l对折后互相重合的点，即为对称点. 答：见图（2）. 例4. 图中哪些是轴对称图形？是轴对称图形的，画出对称轴. 分析：判别轴对称图形的方法：采用折叠思想与轴对称图形的概念. 画对称轴通常作对称点连线的垂直平分线，但有时不止一条对

7、称轴，切勿遗漏. 解：轴对称图形有，对称轴如图中的虚线. 例5. 如图，下列图形都是轴对称图形，其中一个与众不同的是（）分析：这四个都是轴对称图形，但A、B、D都不止一条对称轴，唯独C只有一条对称轴. 解：选C. 例6. 如图，已知ABC和直线l，画出ABC关于直线l的对称图形. 分析：画轴对称图形关键是画某些特殊点（如线段的端点，角的顶点，转折点等），因此只要作A、B、C三个特殊点. 解：画出点A、B、C关于直线l的对称点A、B、C；连结AB、BC、AC. ABC即为ABC的关于直线l对称的三角形. 例7. 如图，P、Q是AOB的边OA上的两点，试画出一个点M，使点M到P、Q两点的距离相等，

8、并且使点M到AOB的两边的距离也相等. 分析：所求的点M要同时满足两个条件，通常可以先画出各自满足一个条件的图形，这两个图形的公共点即为所求. 解：分别作AOB的平分线和线段PQ的垂直平分线，两条直线的交点M即为所求的点. 例8. 如图，在直线l上求作一点M，使：（1）MAMB；（2）MAMB最小. 分析：（1）要使MAMB，即M要在AB线段的中垂线上；又要求在直线l上取一点M，故M为直线l与AB线段的中垂线的交点. （2）要使MAMB最小，涉及线段之和最小，之差最大，一般用到三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 两点之间，线段最短等知识. 解: （1）作线段AB的中垂线与l相交于点

9、M. M是线段AB中垂线上的点，MAMBM在l上， 点M满足要求. 如图（1）. （1） （2）（2）作点B关于直线l的对称点B，连结AB交l于点M，连结MB，则MAMB最小. 如图（2）. 在直线l上另取一点N，连结AN、BN、BN，因直线l是点B、B的对称轴，点M、N在对称轴上. BMBM，BNBN AMBMAMBMAB而在ABN中，ANBNAB即ANBNAB，ANBNAMBMMAMB最小. 例9. 如图，在ABC中，ABAC32，MN是AB的垂直平分线，且有BC21，求BCN的周长. 分析：因为MN是AB的垂直平分线，所以有BNAN，于是BCN的周长可转化为线段BC与AC的和. 解：因为

10、MN是AB的垂直平分线，所以BNAN. 则BCN的周长BCCNBNBCCNANBCAC213253. 例10. 如下图所示，在ABC中，C 90，BD是角平分线，交AC于点D，DEAB，垂足为点E，AD3DE. AD和3DC是什么关系?为什么?分析：可以先用刻度尺测量一下，估计AD和3DC的数量关系：AD=3DC，然后只要能说明DE=CD就可以了. 解：AD=3DC. 理由：因为C 90，即DCBC （垂直的定义） 又因为DEAB，BD是角平分线 （已知） 所以DE=DC （角平分线上的点到角的两边的距离相等） 因为AD3DE （已知） 所以AD=3DC （等量代换）例11. 某居民小区搞绿化

11、，要在一块矩形（即长方形）空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的图案由圆和正方形组成（圆与正方形的个数不限），并且使整个矩形场地成轴对称图形，请在下面矩形中画出你的设计方案. 分析：要设计一个轴对称图形，先作出长方形本身的（所有）对称轴，在其中一条对称轴一侧设计一个图形，根据轴对称性质再画出另一半. 解：如下图. （仅供参考）五、本讲数学思想方法的学习1. 在画图形的对称轴时，要充分利用轴对称的特征，已知两图形作对称轴要找一对对称点连结作中垂线；已知图形和对称轴作对称图形要作每个关键点关于对称轴的对称点，再连结对称点得其对称图形；补全图形，有对称轴时和前面的方法一样，没有对称轴时，先找对称轴

12、再作图形；找同时满足两个条件的点，可以先画出各自满足一个条件的图形，这两个图形的公共点即为所求点；设计图案时先画出组成图案的基本图形，再依据对称轴作出它们的对称图形. 2. 生活中许多图形美丽的图案都可以通过折叠的方式得到它的对称性，如线段和角等图形的轴对称性. 这种通过变换的方法可以用来探索其相关性质. 在探索的过程中可以将观察操作和归纳推理相结合，逐步培养逻辑推理能力，另外也有利于培养归纳能力和数学语言表达能力. 【模拟试题】（答题时间：60分钟）1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. 直角三角形； B. 长方形； C. 任意三角形； D. 有一角为60的直角三角形2. 下列轴对称图

13、形中，对称轴最多的是（ ） A. 圆 B. 正方形 C. 等腰直角三角形； D. 有一角为60的等腰三角形3. 如图，给出的虚线是图形的对称轴的是（ ）A. B. C. D. *4. 一图章上刻有 ，那么印在纸上的数字是（ ） A. 819 B. 918 C. 816 D. 618*5. 如图，在ABC中，C=90，AD平分 BAC，BC=30，BD:CD=3:2，则点D到AB 的距离是（ ）A. 18 B. 12 C. 15 D. 不能确定6. 如图，在ABC中，AD垂直平分BC，AB=10cm，则AC=_cm. 7. 在大写英文字母A、B、C、D、E、F、G、H、I、 J 中属于轴对称图形

14、的是_. 8. 如图，已知O=35，CD为OA的垂直平分线，则ACB的度数为_. 9. 下列各图中，画出你认为是轴对称的图形的对称轴. 10. 已知ABC中，ABAC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于E， 若 AC=8cm，ABE的周长为15cm，则AB的长为（ ） A. 6cm B. 7cm C. 8cm D. 9cm*11. 已知，如图，点P关于OA、OB的对称点分别是P1，P2，线段P1P2分别交OA、OB于D、C，P1P2=6cm，则PCD的周长为（ ）A. 3cm B. 6cm C. 12cm D. 无法确定12. 如图，已知ABC，以AC的中垂线为对称轴，作一个三角形

15、与它对称. 13. 如图，A、B、C三点表示三个镇的地理位置，随着乡镇工业的发展需要， 现三镇联合建造一所变电站，要求变电站到三镇的距离相等 ，请画出变电站的位置（用P点表示），并简单说明理由. *14. 如图，要在两条街道AB、CD上设立两个邮筒，M处是邮局， 邮递员从邮局出发，从两个邮筒里取出信件后再回到邮局，则邮筒应设在何方， 方能使邮递员所走的路程最短?15. 如图，在ABC中，AB的中垂线交AC于点E，若AE=2，则B、E两点间的距离是（ ）A. 4 B. 2 C. 3 D. 116. 世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机， 以下来自现实生活中的图形都有圆，（如图A），它们看上去多么美丽和谐，这正是因为圆具有轴对称的性质，请你在下面的两个圆（如图B）中分别画出与图A不重复的轴对称图形， 但要尽可能准确美观. 【试题答案】1. B 2. A 3. B 4. B 5. B 6. 107. A、C、D、E、H、I8. 709. 略10. B11. B12. 略13. 略14. 提示：作M关于AB的对称点M，作M关于CD的对称点M，连结MM交AB于P1，交CD于P2，则P1，P2就是邮筒设立处. 15. B16. 略