北师大版高中数学导学案《几何概型》.doc

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1、第35课时7.3.1 几何概型学习要求 1、了解几何概型的概念及基本特点；2、熟练掌握几何概型的概率公式；3、正确判别古典概型与几何概型,会进行简单的几何概率计算【课堂互动】自学评价试验 取一根长度为的绳子，拉直后在任意位置剪断剪得两段的长都不小于的概率有多大？试验 射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环从外向内为白色，黑色，蓝色，红色，靶心是金色金色靶心叫黄心奥运会的比赛靶面直径为，靶心直径为运动员在外射箭假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的射中黄心的概率为多少？【分析】第一个试验，从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为的绳子上的任意一点第二个试验中，射中靶面上每一点都是一个

2、基本事件，这一点可以是靶面直径为的大圆内的任意一点在这两个问题中，基本事件有无限多个，虽然类似于古典概型的等可能性，但是显然不能用古典概型的方法求解【解】实验1中，如下图，记剪得两段的长都不小于为事件把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件发生由于中间一段的长度等于绳长的，于是事件发生的概率 实验2中，如下图，记射中黄心为事件，由于中靶心随机地落在面积为的大圆内，而当中靶点落在面积为的黄心内时，事件发生，于是事件发生的概率为【小结】几何概型的概念：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解

3、为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等用这种方法处理随机试验，称为几何概型几何概型的基本特点：（）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；（）每个基本事件出现的可能性相等几何概型的概率：一般地，在几何区域中随机地取一点，记事件该点落在其内部一个区域内为事件，则事件发生的概率说明：（）的测度不为；（）其中测度的意义依确定，当分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的测度分别是长度，面积和体积（）区域为开区域；（）区域内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关【精典范例】例1

4、 判断下列试验中事件A发生的概率是古典概型，还是几何概型（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；（2）如图所示，图中有一个12等分的圆盘，甲乙两人玩游戏，向圆盘投掷可视为质点的骰子，规定当骰子落在阴影区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率【分析】本题考查的几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关【解】（1）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有66=36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；（2）游戏中骰子落在阴影区域时有无限多个结果，而且不难发现“骰子落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，

5、即与区域长度有关，因此属于几何概型例2取一个边长为的正方形及其内切圆（如右图），随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率（测度为面积）【分析】由于是随机丢豆子，故可认为豆子落入正方形内任一点的机会都是均等的，于是豆子落入圆中的概率应等于圆面积与正方形面积的比【解】记豆子落入圆内为事件，则答：豆子落入圆内的概率为思维点拔：1、几何概型的意义也可以这样理解： 向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即：2、我们可以通过实验计算圆周率的近似值实验如下：向如图所示的圆内投掷个质点，计算圆的内接正方形中的质点数为，由几何概型公式可知：，即 追踪

6、训练1、求例1中（2）的概率解：由例1（2）分析可知：2、若,则点在圆面内的概率是多少?解：3、靶子由三个半径分别为R,2R,3R的同心圆组成,如果你向靶子随机地掷一个飞镖,命中半径分别为R区域,2R区域,3R区域的概率分别为,则=_. 第36课时7.3.2几何概型学习要求 1、能运用模拟的方法估计概率，掌握模拟估计面积的思想；2、熟练运用几何概型解决关于时间类型问题.【课堂互动】自学评价例1 在等腰直角三角形中，在斜边上任取一点，求小于的概率（测度为长度）【分析】点随机地落在线段上，故线段为区域当点位于图中线段内时，故线段即为区域【解】在上截取于是答：小于的概率为例2 某人欲从某车站乘车出差

7、，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率【分析】假设他在060分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.【解】设A=等待的时间不多于10分钟,我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于50,60这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)= =，即此人等车时间不

8、多于10分钟的概率为【说明】在本例中，到站等车的时刻X是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X服从0,60上的均匀分布，X为0,60上的均匀随机数【小结】在许多实际问题中，其几何概型特征并不明显，要能将它们转化为几何概型，并正确应用几何概型的概率计算公式解决问题如与时间有关的等候问题、约会问题，与数域有关的点集问题等等。【精典范例】例3 有一个半径为的圆，现在将一枚半径为硬币向圆投去，如果不考虑硬币完全落在圆外的情况，试求硬币完全落入圆内的概率【解】由题意，如图，因为硬币完全落在圆外的情况是不考虑的，所以硬币的中心均匀地分布在半径为的圆内，且只有中心落入与圆同心且半径为

9、的圆内时，硬币才完全落如圆内记硬币完全落入圆内为事件，则答：硬币完全落入圆内的概率为例4 约会问题两人相约8点到9点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就可离去，试求这两人能会面的概率【解】以分别表示两人的到达时刻，则两人能会面的充要条件为，这是一个几何概率问题，可能的结果全体是边长为60的正方形里的点，能会面的点的区域用阴影标出（如上图）所求概率为答：两人会面的概率为追踪训练1、已知地铁列车每10min一班，在车站停1min，求乘客到达站台立即乘上车的概率解：由几何概型知，所求事件A的概率为：2、在区间内的所有实数中,随机取一个实数,则这个实数的概率是_. 3、某人午觉醒来,发现表停了

10、,他打开收音机,想听电台的整点报时,求他等待的时间不多于15分钟的概率.解：由几何概型的求概率的公式得,即“等待整点报时的时间不超过15分钟”的概率为.第37课时7.3.3几何概型学习要求 1、增强几何概型在解决实际问题中的应用意识 2、将实际问题转化为几何概型，并正确应用几何概型的概率计算公式解决问题【课堂互动】自学评价1.几何概型的概率：一般地，在几何区域中随机地取一点，记事件该点落在其内部一个区域内为事件，则事件发生的概率2.与几何概型有关的实际问题：长度问题、面积问题、体积问题、等候问题、约会问题、点集问题等等。【精典范例】例1 在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取

11、出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？【分析】病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫克种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率【解】取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A，则答：所求概率为例2 如图，在线段上任取一点，试求：（）为钝角三角形的概率；（）为锐角三角形的概率【解】如图，由平面几何知识：当时，；当时，（）当且仅当点在线段或上时，为钝角三角形记为钝角三角形为事件，则即为钝角三角形的概率为（）当且仅当点在线段上时，为锐角三角，记为锐角三角为事件，则即为锐角三角形的概率为例3 一只蚂蚁在一边长

12、为6的正方形区域内随机地爬行,求其恰在离四个顶点距离都大于3的地方的概率.【解】例4 利用随机模拟方法计算曲线，和所围成的图形的面积【分析】在直角坐标系中画出正方形（，所围成的部分），用随机模拟的方法可以得到它的面积的近似值【解】（）利用计算器或计算机产生两组到区间上的随机数，；（）进行平移变换：；（其中分别为随机点的横坐标和纵坐标）（）数出落在阴影内的点数，用几何概型公式计算阴影部分的面积例如，做次试验，即，模拟得到，所以，即【说明】模拟计算的步骤：（）构造图形（作图）；（）模拟投点，计算落在阴影部分的点的频率；（）利用算出相应的量追踪训练1、如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为，若向圆内

13、投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为（ A） 2、在区间中任意取一个数，则它与2之和大于的概率是_1/5_3、两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2m的概率解：记“灯与两端距离都大于2m”为事件A，则待添加的隐藏文字内容2第34课时3.2.3复习课1学习要求 1.复习随机事件及其概率2.复习古典概型及其概率公式,并进行综合应用.【课堂互动】自学评价1. 下列事件中不可能事件是（ C ）A.三角形的内角和为180 B.三角形中大边对的角大，小边对的角小 C.锐角三角形中两个内角的和小于90D.三角形中任意两边的和大于第三边 2. 在12件同

14、类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件的必然事件是（ D ）A.3件都是正品 B.至少有1件是次品C.3件都是次品 D.至少有一件是正品 3. 有4条线段，长度分别为1，3，5，7，从这四条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率是_.【精典范例】例1 事件”某人掷骰子5次,两次点数为2”是随机事件吗?条件和结果是什么?一次试验是指什么?一共做了几次试验?解:是随机事件.条件:某人掷骰子5次,结果:两次点数为2,掷骰子一次就是一次试验,一共做了5次试验.例2 从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表，求：（）甲被选中的概率;（）丁没被选中的概率.解：从甲、乙、丙、丁四个人

15、中选两名代表包含6个基本事件: 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁.（1）记甲被选中为事件，则; （2）记丁没被选中为事件，则.例3 袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各个，从中任取只，有放回地抽取次. 求： 只全是红球的概率； 只颜色全相同的概率； 只颜色不全相同的概率. 解：每次抽到红球的概率为每次抽到红球或黄球颜色不全相同是全相同的对立，例4 现有一批产品共有件，其中件为正品，件为次品：（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续次取出的都是正品的概率；（2）如果从中一次取件，求件都是正品的概率. 解：1）有放回地抽取次，按抽取顺序记录结果，则都有种可能，所以试验结果有种；设事件为

16、“连续次都取正品”，则包含的基本事件共有种，因此，（2）可以看作不放回抽样次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录，则有种可能，有种可能，有种可能，所以试验的所有结果为种 设事件为“件都是正品”，则事件包含的基本事件总数为, 所以 追踪训练1. 已经发生的事件一定是必然事件; 随机事件的发生能够人为控制其发生或不发生; 不可能事件反映的是确定性现象; 随机现象的结果是可以预知的. 以上说法正确的是 (C )A. B C D.2 . 先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是10，8，6的概率依次是，则（C ）A. B.C. D.3. 正六边形的顶点共有6个,以其中2个点为端点连成的线段中,正好是正六边形的边的概率为_.4. 有三个人,每个人都以相同的概率被分配到四个房间中的每一间.试求(1)三个人都分配到同一房间的概率;(2)至少有两个人分配到同一房间的概率.解：(1)三个人分配到同一房间有4种分法,故由等可能事件的概率可知,所求的概率为.(2)设事件B为”至少有两人分配到同一房间”,则考虑事件B的剩余情况为”三个人分配到三个不同的房间”.三个人分配到三个不同房间共有种方法,.