北师大版高中数学导学案《等比数列的前n项和》 .doc
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1、第3课时等比数列的前n项和知能目标解读1.掌握等比数列的前n项和公式的推导方法-错位相减法,并能用其思想方法求某类特殊数列的前n项和.2.掌握等比数列前n项和公式以及性质,并能应用公式解决有关等比数列前n项的问题.在应用时,特别要注意q=1和q1这两种情况.3.能够利用等比数列的前n项和公式解决有关的实际应用问题.重点难点点拨重点:掌握等比数列的求和公式,会用等比数列前n项和公式解决有关问题.难点:研究等比数列的结构特点,推导等比数列的前n项和的公式及公式的灵活运用.学习方法指导1.等比数列的前n项和公式(1)设等比数列an,其首项为a1,公比为q,则其前n项和公式为 na1(q=1)Sn=
2、.(q1)也就是说,公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值,分段的界限是在q=1处.因此,使用等比数列的前n项和公式,必须要弄清公比q是可能等于1还是不等于1,如果q可能等于1,则需分q=1和q1进行讨论.(2)等比数列an中,当已知a1,q(q1),n时,用公式Sn=,当已知a1,q(q1),an时,用公式Sn=.2.等比数列前n项和公式的推导除课本上用错位相减法推导求和公式外,还可以用下面的方法推导.(1)合比定理法由等比数列的定义知:=q.当q1时,=q,即=q.故Sn=.当q=1时,Sn=na1.(2)拆项法Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1=a1+q(a
3、1+a1q+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an)当q1时,Sn=.当q=1时,Sn=na1.(3)利用关系式Sn-Sn-1=an(n2)当n2时,Sn=a1+a2+a3+an=a1+q(a1+a2+an-1)=a1+qSn-1Sn=a1+q(Sn-an)即(1-q)Sn=a1(1-qn)当q1时,有Sn=,当q=1时,Sn=na1.注意:(1)错位相减法,合比定理法,拆项法及an与Sn的关系的应用,在今后解题中要时常用到,要领会这些技巧.(2)错位相减法适用于an为等差数列,bn为等比数列,求anbn的前n项和.3.等比数列前n项和公式的应用(1)衡量等比数列的量共有五个:
4、a1,q,n,an,Sn.由方程组知识可知,解决等比数列问题时,这五个量中只要已知其中的任何三个,就可以求出其他两个量.(2)公比q是否为1是考虑等比数列问题的重要因素,在求和时,注意分q=1和q1的讨论.4.等比数列前n项和公式与函数的关系(1)当公比q1时,令A=,则等比数列的前n项和公式可写成Sn=-Aqn+A的形式.由此可见,非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的,而指数式的系数与常数项互为相反数.当公比q=1时,因为a10,所以Sn=na1是n的正比例函数(常数项为0的一次函数).(2)当q1时,数列S1,S2,S3,Sn,的图像是函数y=-Aqx
5、+A图像上的一群孤立的点.当q=1时,数列S1,S2,S3,Sn,的图像是正比例函数y=a1x图像上的一群孤立的点.知能自主梳理1.等比数列前n项和公式(1)等比数列an的前n项和为Sn,当公比q1时,Sn=;当q=1时,Sn=.(2)推导等比数列前n项和公式的方法是.2.公式特点(1)若数列an的前n项和Sn=p(1-qn)(p为常数),且q0,q1,则数列an为.(2)在等比数列的前n项和公式中共有a1,an,n,q,Sn五个量,在这五个量中知求.答案1.(1)na1(2)错位相减法2.(1)等比数列(2)三二思路方法技巧命题方向等比数列前n项和公式的应用例1设数列an是等比数列,其前n项
6、和为Sn,且S3=3a3,求此数列的公比q.分析应用等比数列前n项和公式时,注意对公比q的讨论.解析当q=1时,S3=3a1=3a3,符合题目条件;当q1时,=3a1q2,因为a10,所以1q3=3q2(1-q),2q3-3q2+1=0,(q-1) 2(2q+1)=0,解得q=-.综上所述,公比q的值是1或.说明(1)在等比数列中,对于a1,an,q,n,Sn五个量,已知其中三个量,可以求得其余两个量.(2)等比数列前n项和问题,必须注意q是否等于1,如果不确定,应分q=1或q1两种情况讨论.(3)等比数列前n项和公式中,当q1时,若已知a1,q,n利用Sn=来求;若已知a1,an,q,利用S
7、n=来求.变式应用1在等比数列an中,已知S3=,S6=,求an.解析S6=,S3=,S62S3,q1. = 得1+q3=9,q=2.将q=2代入,得a1=,an=a1qn-1=2n-2.命题方向等比数列前n项的性质例2在等比数列an中,已知Sn=48,S2n=60,求S3n.分析利用等比数列前n项的性质求解.解析an为等比数列,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列,(S2n-Sn) 2=Sn(S3n-S2n)S3n=+S2n=+60=63.说明等比数列连续等段的和若不为零时,则连续等段的和仍成等比数列.变式应用2等比数列an中,S2=7,S6=91,求S4.解析解法一:an为等比数
8、列,S2,S4-S2,S6-S4也为等比数列,(S4-7)2=7(91-S4),解得S4=28或-21.S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=S2+S2q2=S2(1+q2)0,S4=28.解法二:S2=7,S6=91,q1.=7 =91 得q4+q2-12=0,q2=3,q=.当q=时,a1=,S4=28.当q=-时,a1=-,S4=28.探索延拓创新命题方向等比数列前n项和在实际问题中的应用例3某公司实行股份制,一投资人年初入股a万元,年利率为25%,由于某种需要,从第二年起此投资人每年年初要从公司取出x万元.(1)分别写出第一年年底,第二年年底,第三年年底此投资人
9、在该公司中的资产本利和;(2)写出第n年年底,此投资人的本利之和bn与n的关系式(不必证明);(3)为实现第20年年底此投资人的本利和对于原始投资a万元恰好翻两番的目标,若a=395,则x的值应为多少?(在计算中可使用lg20.3)解析(1)第一年年底本利和为a+a25%=1.25a,第二年年底本利和为(1.25a-x)+(1.25a-x)25%=1.252a-1.25x,第三年年底本利和为(1.252a-1.25x-x)+(1.252a-1.25x-x)25%=1.253a-(1.252+1.25)x.(2)第n年年底本利和为bn=1.25na-(1.25n-1+1.25n-2+1.25)x
10、.(3)依题意,有3951.2520-(1.2519+1.2518+1.25)x=4395,x=.设1.2520=t,lgt=20lg()=20(1-3lg2)=2.t=100,代入解得x=96.变式应用3某大学张教授年初向银行贷款2万元用于购房,银行货款的年利息为10,按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息).若这笔款要分10年等额还清,每年年初还一次,并且以贷款后次年年初开始归还,问每年应还多少元?解析第1次还款x元之后到第2次还款之日欠银行20000(110)x=200001.1x,第2次还款x元后到第3次还款之日欠银行20000(1+10%)-x(1+10%)-x=200001.1
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