七年级数学下册三角形及其性质(基础)知识讲解.docx

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1、三角形及其性质（基础）知识讲解【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念 , 掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法2. 理解三角形内角和定理的证明方法；3. 掌握并会把三角形按边和角分类4. 掌握并会应用三角形三边之间的关系5. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法 【要点梳理】要点一、三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形要点诠释：（1）三角形的基本元素： 三角形的边：即组成三角形的线段； 三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； 三角形的顶点：即相邻两边的公共端点 .（2）三角形的定义中的三个要求： “

2、不在同一条直线上” 、“三条线段” 、“首尾顺次相接” .（3）三角形的表示：三角形用符号“”表示，顶点为A 、B、C 的三角形记作“ ABC ”，读作“三角形 ABC ”，注意单独的没有意义； ABC 的三边可以用大写字母 AB 、BC、 AC 来表示，也可以用小写字母 a、b、c来表示，边 BC 用a表示，边 AC、AB 分别用 b、 c 表示要点二、三角形的内角和 三角形内角和定理： 三角形的内角和为 180要点诠释： 应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： 在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； 已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； 求一个三角形中各角之

3、间的关系要点三、三角形的分类【高清课堂：与三角形有关的线段 三角形的分类】1. 按角分类：直角三角形三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形要点诠释： 锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形 钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形2. 按边分类：不等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形要点诠释：不等边三角形：三边都不相等的三角形； 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边 叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角 ; 等边三角形：三边都相等的三角形 . 要点四、三角形的三边关系定理 ：三角形任意两边之和大于第三边 .推论： 三角形任意两

4、边之差小于第三边 .要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短 .（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长 线段的长， 则这三条线段可以组成三角形； 反之，则不能组成三角形 当已知三角形两边长， 可求第三边长的取值范围3）证明线段之间的不等关系要点五、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系， 为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用， 因此， 我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：线段名称三角形的高三角形的中线三角形的角平分线文字 语言从三角形的一个顶点向它的 对边所在的

5、直线作垂线，顶 点和垂足之间的线段三角形中，连接一个顶 点和它对边中点的线 段三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角 的顶点与交点之间的线 段图形语言作图 语言标示图形过点 A 作 AD BC 于点 D 取 BC 边的中点 D，连接 AD 作 BAC 的平分线 AD ， 交 BC 于点 D 符号语言1AD 是 ABC 的高2AD 是 ABC 中 BC 边上 的高3AD BC 于点 D 1AD 是 ABC 的中线 2AD 是 ABC 中 BC 边上的中线1AD 是 ABC 的角平分 线2AD 平分 BAC ，交 BC 于点 D 4 ADC 90， ADB 90（ 或 ADC ADB 90）

6、13BD DC BC24点 D 是 BC 边的中点13 1 2 BAC 2推理 语言因为 AD 是 ABC 的高，所 以 AD BC（ 或 ADB ADC 90）因为 AD 是 ABC 的中 线 ， 所 以 BD DC 1BC2因为 AD 平分 BAC ，所1以 1 2 BAC 2用途 举例1线段垂直2角度相等1线段相等2面积相等角度相等注意 事项1与边的垂线不同2不一定在三角形内与角的平分线不同重要 特征三角形的三条高 （ 或它们的 延长线 ） 交于一点一个三角形有三条中 线，它们交于三角形内 一点一个三角形有三条角平分 线，它们交于三角形内一 点【典型例题】 类型一、三角形的内角和1证明：

7、三角形的内角和为 180【答案与解析】解：已知：如图，已知 ABC，求证： A+B+ C180证法 1：如图 1所示，延长 BC到 E，作CDAB因为 AB CD（已作），所以 1= A（两 直线平行，内错角相等） ， B=2（两直线平行，同位角相等） 又 ACB+ 1+2=180（平角定义） ，所以 ACB+ A+ B=180 （等量代换） 证法 2：如图 2所示，在 BC边上任取一点 D，作 DE AB ，交 AC 于E，DFAC，交 AB 于点 F因为 DF AC （已作）， 所以 1= C（两直线平行，同位角相等） 2=DEC（两直线平行，内错角相等）因为 DE AB （已作）所以 3

8、=B， DEC= A（两直线平行，同位角相等） 所以 A= 2（等量代换） 又 1+2+3=180（平角定义） ，所以 A+ B+ C=180（等量代换） 2. 在 ABC 中，已知 A+B80，C2B，试求 A，B和C 的度数 【思路点拨】 题中给出两个条件： A+ B80， C2B，再根据三角形的内角和等 于 180，即 A+ B+ C 180就可以求出 A，B 和C 的度数【答案与解析】解：由 A+ B 80及 A+B+C180，知 C 100又 C2 B ， B 50 A80- B80-50 30【总结升华】 解答本题的关键是利用隐含条件 A+ B+C180本题可以设 Bx， 则 A8

9、0-x， C2x 建立方程求解【高清课堂：与三角形有关的角例 1、】举一反三：【变式】 已知，如图 ，在ABC中，C=ABC=2A，BD是 AC边上的高， 求 DBC的度数.【答案】解：已知 ABC 中， C=ABC=2A 设A=x则C=ABC=2x x+2x+2x=180 解得： x=36C=2x=72在 BDC中， BD 是 AC 边上的高，BDC=90 DBC=18090 - 72=18类型二、三角形的分类3. 一个三角形的三个内角分别是 75、 30、 75，这个三角形是（）A 锐角三角形 B 等腰三角形 C 等腰锐角三角形【答案】 C举一反三【变式】一个三角形中， 一个内角的度数等于

10、另外两个内角的和的 2 倍，这个三角形是 （ ） 三角形A 锐角 B 直角 C 钝角 D 无法判断【答案】 C【解析】 利用三角形内角和是 180以及已知条件， 可以得到其中较大内角的度数为 120， 所以三角形为钝角三角形 .类型三、三角形的三边关系4. （ 四川南充 ）三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是 （ ）思路点拨】 三角形三边关系的性质， 即三角形的任意两边之和大于第三边， 任意两边之差 小于第三边注意这里有“两边”指的是任意的两边，对于“两边之差”它可能是正数，也 可能是负数，一般取“差”的绝对值答案】 D【解析】 要构成一个三角形 必须满足任意两边之和大于第三边 在运用时习

11、惯于检查较短 的两边之和是否大于第三边 A 、B、C 三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边故 不能组成三角形 D 选项中， 2cm+3cm 4cm故能够组成三角形【总结升华】 判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是： 判断出较长的一边； 看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能够成三角形，不大于则不能够成三角形【高清课堂：与三角形有关的线段例 1】举一反三：【变式】判断下列三条线段能否构成三角形 .（1） 3，4，5； （2） 3，5，9 ； （3） 5，5，8.【答案】（1）能； （2）不能；（3）能 .5. 若三角形的两边长分别是 2和7, 则第三边长 c的取值范围是 答案】

12、 5 c 9解析】 三角形的两边长分别是 2和 7, 则第三边长 c 的取值范围是 2-7 c2+7, 即5c9【总结升华】 三角形的两边 a、b，那么第三边 c 的取值范围是 a-bca+b. 举一反三：【变式】 （ 浙江金华 ）已知三角形的两边长为 个即可 ）【答案】4，8，则第三边的长度可以是（写出一类型四、6.5，注：答案不唯一，填写大于4，三角形中重要线段小于 12 的数都对（ 江苏连云港 ） 小华在电话中问小明：何求这个三角形的面积 ?”小明提示： “可通过作最长边上的高来求解已知一个三角形三边长分别为 4， 9，12，如”小华根据小明的提【解析】 三角形的高就是从三角形的顶点向它

13、的对边所在直线作垂线， 顶点和垂足之间的线 段解答本题首先应找到最长边， 再找到最长边所对的顶点 然后过这个顶点作最长边的垂 线即得到三角形的高【总结升华】 锐角三角形、直角三角形、 钝角三角形都有三条高， 并且三条高所在的直线交 于一点这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部举一反三：答案】解：所画三角形的高如图所示BCD 的周长比 ACD 的周长大 3cm，【思路点拨】 根据题意，结合图形，有下列数量关系：AD BD， BCD 的周长比ACD 的周长大 3【答案与解析】解：依题意： BCD 的周长比 ACD 的周长大 3cm， 故有： BC+CD+BD -( AC+CD+AD ) 3 又 CD 为 ABC 的 AB 边上的中线， ADBD ，即 BC-AC3又 BC8， AC 5答： AC 的长为 5cm【总结升华】 运用三角形的中线的定义得到线段AD BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察， 找出它们之间的联系， 这种数形结合的数学思想是解几何题常用的 方法举一反三：【变式】如图所示，在 ABC 中， D、E分别为 BC、AD 的中点，且 SABC 4 ，则S阴影 为答案】 1