一次函数和几何综合题.doc
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1、1(2013)如图1,在平面直角坐标系中,已知AOB是等边三角形,点A的坐标是(0,4),点B在第一象限,点P是x轴上的一个动点,连接AP,并把AOP绕着点A按逆时针方向旋转,使边AO与AB重合,得到ABD(1)求直线AB的解析式;(2)当点P运动到点(,0)时,求此时DP的长及点D的坐标;(3)是否存在点P,使OPD的面积等于?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由2(2013)如图,直线y=x+4与坐标轴分别交于点A、B,与直线y=x交于点C在线段OA上,动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动,同时动点P从点A出发向点O做匀速运动,当点P、Q其中一点停止
2、运动时,另一点也停止运动分别过点P、Q作x轴的垂线,交直线AB、OC于点E、F,连接EF若运动时间为t秒,在运动过程中四边形PEFQ总为矩形(点P、Q重合除外)(1)求点P运动的速度是多少?(2)当t为多少秒时,矩形PEFQ为正方形?(3)当t为多少秒时,矩形PEFQ的面积S最大?并求出最大值3(2013)如图,直线MN与x轴,y轴分别相交于A,C两点,分别过A,C两点作x轴,y轴的垂线相交于B点,且OA,OC(OAOC)的长分别是一元二次方程x214x+48=0的两个实数根(1)求C点坐标;(2)求直线MN的解析式;(3)在直线MN上存在点P,使以点P,B,C三点为顶点的三角形是等腰三角形,
3、请直接写出P点的坐标4(2013)如图,平面直角坐标系中,直线l分别交x轴、y轴于A、B两点(OAOB)且OA、OB的长分别是一元二次方程x2(+1)x+=0的两个根,点C在x轴负半轴上,且AB:AC=1:2(1)求A、C两点的坐标;(2)若点M从C点出发,以每秒1个单位的速度沿射线CB运动,连接AM,设ABM的面积为S,点M的运动时间为t,写出S关于t的函数关系式,并写出自变量的取值围;(3)点P是y轴上的点,在坐标平面是否存在点Q,使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出Q点的坐标;若不存在,请说明理由5(2013春屯留县期末)如图,四边形OABC是菱形,点C在x轴上,
4、AB交y轴于点H,AC交y轴于点M已知点A(3,4)(1)求AO的长;(2)求直线AC的解析式和点M的坐标;(3)点P从点A出发,以每秒2个单位的速度沿折线ABC运动,到达点C终止设点P的运动时间为t秒,PMB的面积为S求S与t的函数关系式;求S的最大值6(2012)如图,正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上,点B坐标(3,3),将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度(090),得到正方形ADEF,ED交线段OC于点G,ED的延长线交线段BC于点P,连AP、AG(1)求证:AOGADG;(2)求PAG的度数;并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系,说明理由;(3)当1=2时,求直线PE的解析
5、式7(2012桃源县校级自主招生)如图,点A在y轴上,点B在x轴上,且OA=OB=1,经过原点O的直线l交线段AB于点C,过C作OC的垂线,与直线x=1相交于点P,现将直线L绕O点旋转,使交点C从A向B运动,但C点必须在第一象限,并记AC的长为t,分析此图后,对下列问题作出探究:(1)当AOC和BCP全等时,求出t的值;(2)通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系并证明你得到的结论;(3)设点P的坐标为(1,b),试写出b关于t的函数关系式和变量t的取值围求出当PBC为等腰三角形时点P的坐标8(2012秋海陵区期末)如图1,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴交于点A,与y轴交于
6、点B,与直线OC交于点C(1)若直线AB解析式为y=2x+12,直线OC解析式为y=x,求点C的坐标;求OAC的面积(2)如图2,作AOC的平分线ON,若ABON,垂足为E,OAC的面积为6,且OA=4,P、Q分别为线段OA、OE上的动点,连接AQ与PQ,试探索AQ+PQ是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,说明理由9(2012秋校级期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线PA是一次函数y=x+m(m0)的图象,直线PB是一次函数y=3x+n(nm)的图象,点P是两直线的交点,点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点(1)用m、n分别表示点A、B、P的坐标及PAB的度数;
7、(2)若四边形PQOB的面积是,且CQ:AO=1:2,试求点P的坐标,并求出直线PA与PB的函数表达式;(3)在(2)的条件下,是否存在一点D,使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由10(2012秋綦江县校级期末)如图,一次函数的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B,以线段AB为直角边在第一象限作RtABC,且使ABC=30(1)求ABC的面积;(2)如果在第二象限有一点P(m,),试用含m的代数式表示APB的面积,并求当APB与ABC面积相等时m的值;(3)是否存在使QAB是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q?若存在,请写出点Q所有可能的坐标;
8、若不存在,请说明理由参考答案与试题解析一解答题(共10小题)1(2013)如图1,在平面直角坐标系中,已知AOB是等边三角形,点A的坐标是(0,4),点B在第一象限,点P是x轴上的一个动点,连接AP,并把AOP绕着点A按逆时针方向旋转,使边AO与AB重合,得到ABD(1)求直线AB的解析式;(2)当点P运动到点(,0)时,求此时DP的长及点D的坐标;(3)是否存在点P,使OPD的面积等于?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由考点:一次函数综合题菁优网所有专题:压轴题分析:(1)过点B作BEy轴于点E,作BFx轴于点F依题意得BF=OE=2,利用勾股定理求出OF,然后可得点B
9、的坐标设直线AB的解析式是y=kx+b,把已知坐标代入可求解(2)由ABD由AOP旋转得到,证明ABDAOPAP=AD,DAB=PAO,DAP=BAO=60,ADP是等边三角形利用勾股定理求出DP在RtBDG中,BGD=90,DBG=60利用三角函数求出BG=BDcos60,DG=BDsin60然后求出OH,DH,然后求出点D的坐标(3)本题分三种情况进行讨论,设点P的坐标为(t,0):当P在x轴正半轴上时,即t0时,关键是求出D点的纵坐标,方法同(2),在直角三角形DBG中,可根据BD即OP的长和DBG的正弦函数求出DG的表达式,即可求出DH的长,根据已知的OPD的面积可列出一个关于t的方程
10、,即可求出t的值当P在x轴负半轴,但D在x轴上方时即t0时,方法同类似,也是在直角三角形DBG用BD的长表示出DG,进而求出GF的长,然后同当P在x轴负半轴,D在x轴下方时,即t时,方法同综合上面三种情况即可求出符合条件的t的值解答:解:(1)如图1,过点B作BEy轴于点E,作BFx轴于点F由已知得:BF=OE=2,OF=,点B的坐标是(,2)设直线AB的解析式是y=kx+b(k0),则有解得直线AB的解析式是y=x+4;(2)如图2,ABD由AOP旋转得到,ABDAOP,AP=AD,DAB=PAO,DAP=BAO=60,ADP是等边三角形,DP=AP=如图2,过点D作DHx轴于点H,延长EB
11、交DH于点G,则BGDH方法(一)在RtBDG中,BGD=90,DBG=60BG=BDcos60=DG=BDsin60=OH=EG=,DH=点D的坐标为(,)方法(二)易得AEB=BGD=90,ABE=BDG,ABEBDG,;而AE=2,BD=OP=,BE=2,AB=4,则有,解得BG=,DG=;OH=,DH=;点D的坐标为(,)(3)假设存在点P,在它的运动过程中,使OPD的面积等于设点P为(t,0),下面分三种情况讨论:当t0时,如图,BD=OP=t,DG=t,DH=2+tOPD的面积等于,解得,(舍去)点P1的坐标为(,0)当D在y轴上时,根据勾股定理求出BD=OP,当t0时,如图,BD
12、=OP=t,DG=t,GH=BF=2(t)=2+tOPD的面积等于,解得,点P2的坐标为(,0),点P3的坐标为(,0)当t时,如图3,BD=OP=t,DG=t,DH=t2OPD的面积等于,(t)(2+t)=,解得(舍去),点P4的坐标为(,0),综上所述,点P的坐标分别为P1(,0)、P2(,0)、P3(,0)、P4(,0)点评:本题综合考查的是一次函数的应用,包括待定系数法求解析式、旋转的性质、相似三角形的判定和性质、三角形面积公式的应用等,难度较大2(2013)如图,直线y=x+4与坐标轴分别交于点A、B,与直线y=x交于点C在线段OA上,动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做
13、匀速运动,同时动点P从点A出发向点O做匀速运动,当点P、Q其中一点停止运动时,另一点也停止运动分别过点P、Q作x轴的垂线,交直线AB、OC于点E、F,连接EF若运动时间为t秒,在运动过程中四边形PEFQ总为矩形(点P、Q重合除外)(1)求点P运动的速度是多少?(2)当t为多少秒时,矩形PEFQ为正方形?(3)当t为多少秒时,矩形PEFQ的面积S最大?并求出最大值考点:一次函数综合题菁优网所有专题:压轴题分析:(1)根据直线y=x+4与坐标轴分别交于点A、B,得出A,B点的坐标,再利用EPBO,得出=,据此可以求得点P的运动速度;(2)当PQ=PE时,以及当PQ=PE时,矩形PEFQ为正方形,分
14、别求出即可;(3)根据(2)中所求得出s与t的函数关系式,进而利用二次函数性质求出即可解答:解:(1)直线y=x+4与坐标轴分别交于点A、B,x=0时,y=4,y=0时,x=8,=,当t秒时,QO=FQ=t,则EP=t,EPBO,=,AP=2t,动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动,点P运动的速度是每秒2个单位长度;(2)如图1,当PQ=PE时,矩形PEFQ为正方形,则OQ=FQ=t,PA=2t,QP=8t2t=83t,83t=t,解得:t=2;如图2,当PQ=PE时,矩形PEFQ为正方形,OQ=t,PA=2t,OP=82t,QP=t(82t)=3t8,t=3t8,解得:t
15、=4;(3)如图1,当Q在P点的左边时,OQ=t,PA=2t,QP=8t2t=83t,S矩形PEFQ=QPQF=(83t)t=8t3t2,当t=时,S矩形PEFQ的最大值为:=,如图2,当Q在P点的右边时,OQ=t,PA=2t,2t8t,t,QP=t(82t)=3t8,S矩形PEFQ=QPQF=(3t8)t=3t28t,当点P、Q其中一点停止运动时,另一点也停止运动,t4,当t=时,S矩形PEFQ的最大,t=4时,S矩形PEFQ的最大值为:34284=16,综上所述,当t=4时,S矩形PEFQ的最大值为:16点评:此题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用,得出P,Q不同的位置进行分类讨论得出
16、是解题关键3(2013)如图,直线MN与x轴,y轴分别相交于A,C两点,分别过A,C两点作x轴,y轴的垂线相交于B点,且OA,OC(OAOC)的长分别是一元二次方程x214x+48=0的两个实数根(1)求C点坐标;(2)求直线MN的解析式;(3)在直线MN上存在点P,使以点P,B,C三点为顶点的三角形是等腰三角形,请直接写出P点的坐标考点:一次函数综合题菁优网所有专题:压轴题分析:(1)通过解方程x214x+48=0可以求得OC=6,OA=8则C(0,6);(2)设直线MN的解析式是y=kx+b(k0)把点A、C的坐标分别代入解析式,列出关于系数k、b的方程组,通过解方程组即可求得它们的值;(
17、3)需要分类讨论:PB为腰,PB为底两种情况下的点P的坐标根据等腰三角形的性质、两点间的距离公式以及一次函数图象上点的坐标特征进行解答解答:解:(1)解方程x214x+48=0得x1=6,x2=8OA,OC(OAOC)的长分别是一元二次方程x214x+48=0的两个实数根,OC=6,OA=8C(0,6);(2)设直线MN的解析式是y=kx+b(k0)由(1)知,OA=8,则A(8,0)点A、C都在直线MN上,解得,直线MN的解析式为y=x+6;(3)A(8,0),C(0,6),根据题意知B(8,6)点P在直线MNy=x+6上,设P(a,a+6)当以点P,B,C三点为顶点的三角形是等腰三角形时,
18、需要分类讨论:当PC=PB时,点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点,则P1(4,3);当PC=BC时,a2+(a+66)2=64,解得,a=,则P2(,),P3(,);当PB=BC时,(a8)2+(a6+6)2=64,解得,a=,则a+6=,P4(,)综上所述,符合条件的点P有:P1(4,3),P2(,)P3(,),P4(,)点评:本题考查了一次函数综合题其中涉及到的知识点有:待定系数法求一次函数解析式,一次函数图象上点的坐标特征,等腰三角形的性质解答(3)题时,要分类讨论,防止漏解另外,解答(3)题时,还利用了“数形结合”的数学思想4(2013)如图,平面直角坐标系中,直线l分别交x轴、y
19、轴于A、B两点(OAOB)且OA、OB的长分别是一元二次方程x2(+1)x+=0的两个根,点C在x轴负半轴上,且AB:AC=1:2(1)求A、C两点的坐标;(2)若点M从C点出发,以每秒1个单位的速度沿射线CB运动,连接AM,设ABM的面积为S,点M的运动时间为t,写出S关于t的函数关系式,并写出自变量的取值围;(3)点P是y轴上的点,在坐标平面是否存在点Q,使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出Q点的坐标;若不存在,请说明理由考点:一次函数综合题菁优网所有专题:压轴题分析:(1)通过解一元二次方程x2(+1)x+=0,求得方程的两个根,从而得到A、B两点的坐标,再根据两
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