人教版高中数学《直线与平面垂直的判定（一）》的教学设计.doc

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1、直线与平面垂直的判定（一）的教学设计新一轮课程改革在我省全面启动，数学课程标准（实验稿）为数学教学树立了新的理念、提出了新的要求，如何正确理解课程理念，正确把握教学观念的转换，成为课堂教学中首先要思考和解决的问题.下面这则案例是宁波市第七期特级教师带徒活动中学员的一节汇报课,在教法、学法上做了大胆的尝试，力求体现新课程理念.一、教学内容解析本节主要内容是直线和平面垂直的概念发现、直线和平面垂直的判定定理的探索过程，是在学习了空间的点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后进行的空间的另一种重要位置关系的学习.垂直是立体几何的核心概念之一直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种

2、特殊情况，它既是直线与平面位置关系的深化，又是研究面面垂直、线面角、面面角的基础，在教材中起到了承上启下的作用，具有相当重要的地位新课标要求立体几何的学习采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质.故对直线与平面垂直的定义的研究遵循“直观感知、抽象概括”的认知过程展开，而对直线与平面垂直的判定的研究则遵循“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用”的认知过程展开，通过该内容的学习，能进一步培养学生空间想象能力，发展学生的合情推理能力和一定的推理论证能力，体会“平面化”思想和“降维”思想.同时体验新课程倡导的自主探索、动手实践、合作交流等理念.教学重点：直观感知、操

3、作确认，概括出直线与平面垂直的定义和判定定理.教学难点:是操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用.二、教学目标解析知识与技能:1.经历对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题；过程与方法:1.类比空间的平行关系中提高提出问题、分析问题的能力.2.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等化归的数学思想.3尝试用数学语言（文字、符号、图形语言

4、）对定义和定理进行准确表述和合理转换. 情感、态度与价值观: 经历线面垂直的定义和定理的探索过程,提高严谨与求实的学习作风,形成锲而不舍的钻研精神和科学态度.三、教学过程设计（一）、类比平行探索空间的垂直关系问题1：第二章已学习了空间的哪些平行关系？体现了哪些重要的数学思想？其中线面平行的定义是什么？问题2：对于空间的另一种重要的位置关系（垂直）已学习了什么？你还打算学习什么？设计意图：回顾空间的平行（线线、线面、面面）关系，进一步体会转化的思想方法，类比平行发现研究空间的另两种垂直(线面垂直、面面垂直)的必要性.提高提出问题、分析问题的能力.师生活动：引导学生从平行的相互关系中体会线面转化为

5、线线，面面转化为线面、线线的思想方法.用文字语概括出线面平行定义的实质是平面外的一条直线与平面内的任一条直线平行或异面.指出线面垂直与面面垂直正是第三节所要研究的内容.（二）、观察感知线面垂直的概念1.创设情境感知概念唐代诗人王维在他的诗中写下千古绝句:“大漠孤烟直,长河落日圆”.前一句大漠孤烟直中的意境:荒凉的大漠中,一缕青烟从烽火台上冲天而起,给荒凉的大漠带来了一丝活力,这其中体现了空间的哪一种垂直关系?观察下面两幅图片,寻找出其中线面垂直的关系.设计意图：从古诗和实际背景出发，渗透数学的文化元素,直观感知直线和平面垂直的位置关系，使学生在头脑中产生直线与地面垂直的初步印象，为下一步的数学

6、抽象做准备.师生活动：观察图片，引导学生举出更多直线与平面垂直的例子，如教室内直立的墙角线和地面位置关系，桌子腿与地面的位置关系，直立书本的书脊与桌面的位置关系等，由此引出课题.2.观察归纳形成概念lP图1问题3：对线面垂直的概念有了一定的了解之后,如何画一个线面垂直的图形？考虑为了使所画的直线和平面有较直观垂直的形象,对所画的直线有什么要求?设计意图：使学生在头脑中对线面垂直的这种朦胧藏匿的感觉跃然于纸上.激发学习兴趣点.师生活动：共同操作严格规范用直尺画一个线面垂直的图形,指出为了使画的线和面垂直,要求所画直线要画成和表示平面的平形四边形的一条边垂直.如图1思考：你心目中的线面垂直到底指的

7、是什么？如何定义一条直线与一个平面垂直呢？我们已经学过直线和平面平行的定义，知道直线和平面平行即直线和平面内任意一条直线平行或异面,即直线和平面内任意一条直线都不相交， 那么直线和平面垂直的问题是否同样可以转化为考察一条直线和一个平面内直线的位置关系，并加以解决呢?图2问题4、（1）如图1，在阳光下观察直立于地面旗杆AB及它在地面的影子BC(正所谓“立杆见影”),杆所在的直线与影子所在直线的位置关系如何？（2）旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线BC位置关系又是如何？设计意图：引导学生用“空间问题平面化”的思想方法来思考问题，通过观察概括出直线与平面垂直的本质属性.师生活动：教师用多媒

8、体课件演示旗杆在地面上的影子随着时间的变化而移动的过程，引导学生得出旗杆所在直线与地面内的直线都垂直的结论.3. 抽象概括-提炼概念问题5、通过上述观察分析，你认为应该如何定义一条直线与一个平面垂直？定义：如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l与平面互相垂直，记作： l.直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.4、辩析讨论-深化概念辨析：下列命题是否正确，为什么？（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直.（2）如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任一直线.设计意图：通过问题

9、辨析，加深概念的理解，掌握概念的本质属性.由（1）使学生明确定义中的“任意一条直线”是“所有直线”的意思，定义的实质就是直线与平面内所有直线都垂直.由（2）使学生明确，线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质，线线垂直与线面垂直可以相互转化.BA图3CEF师生活动：命题（1）引导学生用铁丝表示直线，用三角板两直角边表示两垂直直线，桌面表示平面举出反例.教师利用三角板和教鞭进行演示，将一块大直角三角板的一条直角边AC放在讲台上演示，这时另一条直角边BC就和讲台上的一条直线（即三角板与桌面的交线AC）垂直，但它不一定和讲台桌面垂直.在此基础上在讲台上放一根和AC平行的教鞭EF并平行移动，那么BC始

10、终和EF垂直，但它不一定和讲台桌面垂直，最后教师用多媒体课件展示反例的直观图，如图3.由命题（2）给出下列常用命题：（三）、探索发现线与面垂直的判定思考:我们该如何检验学校广场上的旗杆是否与地面垂直？ 能否把定义中的无限条转化为有限条？类比线面平行的判定定理你的猜想是什么？1.分析实例-猜想定理问题6、观察跨栏、简易木架等实物，你能猜想出判断一条直线与一个平面垂直的方法吗？设计意图：通过问题思考与实例分析，寻找具有可操作性的判定方法，体验有限与无限之间的辩证关系.师生活动：引导学生观察思考，给出猜想：一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.2.动手操作-确认定理问题7、请

11、同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个实验：任意翻折三角形纸片，将翻折后的纸片竖起放置在水平桌面上，观察并思考：（1）折痕与桌面垂直吗？如何翻折才能使折痕与桌面所在的平面垂直？（2）由图4-1：折痕ADBC，翻折之后AD与CD，AD与BD的垂直关系发生变化吗？图4-2图4-1或图4-2：EDBC，翻折之后ED与CD，ED与BD的垂直关系发生变化吗？由此你能得到什么结论？设计意图：通过实验，引导学生独立发现直线与平面垂直的条件，培养学生的动手操作能力和几何直观能力.让学生在观察、对比和反思中,较快地对数学定理有一个感性的认识.师生活动：在折纸试验中，学生会出现“垂直”与“不

12、垂直”两种情况，引导学生进行交流，根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原因.学生再次折纸，进而探究直线与平面垂直的条件，经过讨论交流，使学生发现只要保证折痕AD(或ED)是BC边上的高，即ADBC(或EDBC)，翻折后折痕就与桌面垂直，再利用多媒体演示，改变所折纸片张角的大小，发现折痕与桌面内任一条过垂足的直线都垂直，即折痕与桌面内任一条直线都垂直，确认线面垂直的判定定理.整个过程，由于几何直观性强,通俗易懂.问题8、根据上面的试验，结合两条相交直线确定一个平面的事实，你能给出直线与平面垂直的判定方法吗？当直线不过相交直线的交点时如何处理？设计意图：引导学生根据直观感知及已有知识经验，进行

13、合情推理，获得线面垂直判定定理.师生活动：教师引导学生回忆出“两条相交直线确定一个平面”，以及在直观过程中获得的感知，将“与平面内所有直线垂直”逐步归结到“与平面内两条相交直线垂直”，进而归纳出直线与平面垂直的判定定理.同时指出要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有无公共点是无关紧要的.定理充分体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想.lmnp图5定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.用符号语言表示为： 问题9:分析定义和定理的联系与区别?设计意图：提高归纳

14、概括,反思建构能力.师生活动：师生共同概括出联系:都体现了转化的思想方法,把线面的垂直转化为线线垂直.区别:定义需与平面的任意一条(无数条)直线垂直,而定理只需两条就行.类比刘禹锡在中名句:山不在高，有仙则名，水不在深，有龙则灵.引导学生归纳出定理：“线不在多，相交就行”.再说明因为定理的严格证明需用到后续的空间向量知识.故本节课暂不证明.3.质疑反思-深化定理辨析：如果一条直线与一个梯形的两条边垂直，那么这条直线垂直于梯形所在的平面吗？设计意图：通过辨析，强化定理中“两条相交直线”的条件.师生活动：学生思考作答，教师再次强调“相交”条件.图5（四）、初步应用线面垂直的判定例1:如图5在正方体

15、(1)列举与平面垂直的直线.(2)列举与直线垂直的平面.ABCDA1B1C1D1(3)找出一条与对角面垂直的直线.考虑直线与的关系.探究:如图6把正方体中底面正方形改为任意四边形(这种侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱), 此时底面四边形图6满足什么条件时，？设计意图：通过例1的铺垫,能从探究题中合理寻找到平面证线面垂直从而得出线线垂直，体会转化思想在证题中的作用.师生活动：学生思考讨论，请一位同学用投影仪展示并分析其思路，教师参与讨论.例2：如图7，已知ab，a，求证：b.并用文字语言对进行描述. 设计意图：进一步感受如何运用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直，体会转化思想在证题中的作用，发展

16、学生的几何直观能力与一定的推理论证能力.同进提高数学语言之间的相互转化能力.师生活动：教师引导学生分析思路，可利用线面垂直的定义证，也可用判定定理证，提示辅助线的添法，将思路集中在如何在平面内找到两条与直线b垂直的相交直线上.另外，再引导在学生将已知条件具体化的过程中，逐步明确根据异面直线所成角的概念解决问题.学生练习本上完成，同时教师给出详细的证明过程,给学生以示范.同时指出：本例结果可以作为直线和平面垂直的又一个判定定理，这个命题体现了平行关系与垂直关系的联系，它是判断线线垂直的常用方法.思考:我们该如何检验学校广场上的旗杆是否与地面垂直？ 设计意图：回归猜想定理的思考题,突出定理的应用性

17、.师生活动：根据学生的回答,可用直角三角板紧贴地面与旗杆加以检验.（五）、练习巩固与升华练习、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、CC1的中点，判断下列结论是否正确： AC面CDD1C1 EF面BDD1B1 ACBD1（六）、总结反思-提高认识（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？（2）上述判断直线与平面垂直的方法体现的什么数学思想？设计意图：培养学生反思的习惯，鼓励学生对问题多质疑、多概括.师生活动：学生发言，互相补充，教师点评完善，归纳出判断直线与平面垂直的方法，指出本节课中用到的类比推理、转化化归的思想方法.(七)布置作业-自主探究1、如图，

18、点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD. 求证：PO平面ABCD2、课本P74 练习1、23、课本P86 A组10结束语:如果有机会以后和同学们一起再学习“大漠孤烟直”的下一句“长河落日圆”（直线与圆、曲线与圆的关系），在诗情画意中结束本课.同时把学生的思维引到课外.四、教学反思:1.人教社A版普通高中课程标准实验教科书有以下的主编寄语：数学是有用的，学数学能提高能力，数学是自然的，数学是清楚的.可以说对学生的数学学习观与与教师的教学观都提出了新的要求.所以在新课程的教学过程中应注重学生的探索过程,充分向学生展示知识的发生、发展过程，而不是

19、将知识强加给学生.知识的引入要精心创设问题情景,便教材生动、自然而亲切，让学生感到学习数学是快乐的、自然的和有意义的，我们的数学教育应该是“润物细无声”. 本节课的教学遵循新课标要求立体几何的学习采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质,通过大量生动翔实的生活中图片,动态制作的各种flash课件,活泼有趣的数学折纸实验,使学生的感性认识逐步上升为理性认识.2.新课程的一个重要理念是改变学生的学习方式和改变课堂教学方法,新课程提倡教学目标综合化、知识的直观化，能使学生在获得数学知识的同时，在思维能力、观察能力、情感态度与价值观等方面都得到进步和发展，为体现新的教

20、育理念，在以下几个方面作了一些尝试：充分体现“生本”的原则.用激励、赞赏的语言，从类比空间的平行发现空间的垂直，从“立杆见影”的动画演示到提炼定义，从跨栏架、间易木架猜想定理，到折纸实验操作确认定理，都向学生传达一个信息：我们的课堂是生动的，有趣的，充满了民主、平等、与关爱.整堂课都是以学生为中心,教师扮演的是组织者、引导者和参与者角色，让学生真正成为了课堂的主人.凸现数学与生活的密切联系. 从“立杆见影”的动画演示提炼定义,从检验校操场的旗杆是否与地面垂直, 折纸实验操作确认定理让学生意识到数学是来源于生活,并服务于生活的,通过学习让学生感受到线面垂直在生活中是大量存在的,我们要用数学的眼光

21、去看待生活中现象,做一个有心人.体现数学的文化的意境.通过不少古诗词的引入不但丰富了数学课堂的文化意涵,增加了学生的学习兴趣,更值得强调的是,它能够帮助学生克服认知上的困难.结合高中生的实际情况,笔者以为,在高中数学课堂上融入一点中国古代文学(特别是古诗词),应该能够提高学生的认知水平.建构主义的思想在教学过程中得以充分运用.建构主义认为,知识的获得不是通过教师传授得到的,而是学习者在一定的情境下,借助他人的帮助,利用必要的学习资料,通过意义构建的方式而获得的,因此,建构主义理论强调“情境”是学习环境中的四大要素之一.本节课始终在创设有效的“问题情境”，从课题的导入，猜想探索定理，检验旗杆是否与地面垂直，都使学生对知识进行主动建构，教师始终是课堂活动的设计者、组织者、和参与者，充分发挥学生的主动性和积极性，从而使学生有效实现了对知识的构建.参考文献1.刘晓东 新课程理念下教学案例一则 数学通讯 2007,11作者简介:李建标(1973-) 男 浙江余姚人 中学高级教师 余姚市教坛新秀余姚市数学学科骨干教师 宁波市第七期特级教师带徒学员 多年来多篇文章发表于各级报刊杂志 2006.5发表于2006.7发表于2005.3发表于2005.6发表于等十余篇文章.