《正比例和反比例》具体内容和教学建议.doc

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1、正比例和反比例具体内容和教学建议编写意图（1）这部分教材是教学正比例的意义。学生开始正式接触到常量、变量（当然不必出现这样的名词），初步体会函数的思想。（2）教材创设了文具店出售彩带的情境来引出数量与总价之间的对应关系。单价、数量与总价的数量关系是学生非常熟悉的，这样的引入既符合学生的认知经验，又揭示了正比例与日常生活的联系。（3）教材通过表格中的数据和三个问题，揭示了正比例关系的要点：第一，有两个量，而且是相关量的量，其中一个量随着另一个量的变化而变化。第二，两个量之间的比值不变。通过具体的实例，使学生认识了什么是变化的量，它们是怎样变化的，哪些是不变的量，理解并掌握变中有不变的数学思想。（

2、4）教材在编排上体现了从具体到抽象、从特殊到一般的思路。先通过总价、数量、单价这一特殊的数量关系，利用具体数据使学生初步认识正比例关系，然后再进行抽象的概括，最后利用数学化的字母符号来表征这一变化规律，使学生体会抽象和模型的数学思想。教学建议（1）充分利用学生的认知经验和生活经验，使学生在熟悉的情境中自主探索。正比例关系描述的是一个量变化导致另一个量跟着变化的一种关系，较为抽象。而学生在此之前涉及到的是一些具体的数量（如归一问题）而不是抽象的变量。二者有一定的联系，但又有很大的区别。因此，教学时，要利用学生较熟悉的情境和数量关系，使学生学会用“函数”的眼光去理解数量关系中量与量的变化规律，发现

3、两个变量背后的不变量，从而更好地理解正比例关系的意义。（2）重视观察与交流，让学生表达自己对量的变化规律的发现和概括。教学时，要引导学生观察并思考：表格里有哪两种量能具体说说它们是怎样变化的吗为什么会有这样的规律单价不变就是总价与数量的什么不变你能把这个数量关系写出来吗生活中还有这样的例子吗使学生借助具体实例理解正比例关系的本质。（3）逐步抽象，构建模型。在学生理解了具体实例中两种量的变化规律以后，可以让他们尝试脱离情境，抽象概括正比例的意义，实现由具体数量关系到一般化抽象模型的转化。编写意图（1）在理解了正比例关系的意义之后，让学生认识正比例关系图象，并会利用图象解决简单的问题，体会函数思想

4、和数形结合的思想。（2）学生之前已经具备了数对与平面上的点一一对应的知识基础，在这儿，进一步扩展，把成正比例关系的两个量中相对应的数都看作是一个数对。在方格纸上把与这些数对相对应的点连起来，形成一条射线；反之，该射线上的每一个点对应的就是正比例关系中两个相关联的量的某一组具体值。（3）正比例关系图象与折线统计图有本质的区别。虽然描点的过程与方法相同，但前者描述的是量与量之间的变化关系，两个量都是连续的，即射线上的点有无数个；而后者描述的是一些离散的数据。（4）在认识了正比例关系图象的基础上再让学生直接利用图象，根据其中一个量的值找到另一个量的值，体会利用数形结合的方法解决问题的直观性与便捷性。

5、（5）通过举出生活中的例子，找到变化的量与不变的量，使学生加深对正比例关系的理解。教学建议（1）加强数形结合，使学生经历生成正比例图象的过程，自主探索图象的特征。教学时，可以出示方格图，让学生说一说：如果将表格中每两个相对应的数看作一个数对，（1，）对应的位置在哪里再共同将例题表格中的其他数对一一表示出来，并思考：把这些点连起来是什么这条线段可以向两端怎样延伸（O，O）表示什么怎样可以说明每个点相对应的两个数的比值是相等的通过这些问题，使学生看到正比例图象是一条从（O，O）出发的无限延伸的射线，这条线上所有点所对应的两个量的比值都相等。（2）引导学生利用数形结合思考问题。在初步理解图象特征的基

6、础上，让学生想一想：（10，35）和（12，42）这两个点是否也在射线上然后画一画，连一连，进行验证。接着可以一般化提升：如果买了am这样的彩带，付了b元钱，a和b有怎样的关系使学生理解射线上的点与代表相关联的量的数对存在着一一对应关系。再引导学生直接利用图象完成第（3）题。第（4）题，可引导学生采用不同的方法：可以假设两个具体米数，找到相应的总价，再比较；也可通过比例的基本性质，发现米数之比等于总价之比。编写意图（1）这部分内容是揭示反比例的意义。整个编排思路和正比例完全一致，所不同的是不要求学生认识反比例图象。（2）教材对反比例的意义的编排也经历了以下几个步骤：第一，借助具体情境，利用体积

7、、底面积和高的数量关系使学生通过具体数据的计算初步理解成反比例的量之间的变化规律。第二，脱离具体情境，概括抽象的反比例关系的一般意义。第三，利用字母表达式刻画反比例关系。（3）教材创设了将相同体积的水倒入底面积不同的杯子中的情境来引出底面积与水的高度之间的变化规律，使学生直观地发现当体积相同时，底面积越大，高度越小；底面积越小，高度越大。接下来，从量化的角度精细刻画两个量之间的变化规律：表中提供了哪两种量的数据这两种量的变化是否存在依存关系是怎样的一种关系通过计算，使学生发现相对应的量的乘积保持不变，而这个不变的量实际上就是指既定的体积。有了具体实例的支撑，再去理解抽象的反比例关系及其字母表达

8、式，就水到渠成了。教学建议（1）充分利用学生的已有经验。教材选用学生较熟悉的情境和数量关系来引出成反比例的量，有利于他们发现两个变量背后的不变量。主题图中呈现的高度和底面积的变化关系更是为学生理解反比例的意义提供了直观支持。教学时，要充分利用课件或教具，使学生通过观察，感受当水的体积不变时，高度是如何随着底面积的变化而变化的。（2）引导学生根据正比例的意义进行迁移类推，并对正、反比例的意义进行比较。学生在前面学习了正比例的意义，对于相关联的量、量的变化规律、变化中的不变等要素已经有了深刻体会。教学时，要以此为基础，培养学生的迁移类推能力。例如，可引导学生观察表格中的数据并思考：表格里有哪两种量

9、它们是怎样变化的一种量扩大或缩小，另一种量怎么变化两个量的比值相等吗如果比值不相等，那是什么相等你能举出具体的例子吗出现这种规律的内在原因是什么体积不变就是底面积与高的什么不变你能把这个数量关系写出来吗你会尝试着描述一下什么叫反比例关系并用字母表达式表示出来吗通过讨论，使学生深刻理解反比例的意义，牢固掌握正、反比例的区别。编写意图（1）在学生理解了反比例的意义之后，教材引导学生回忆已学过的数量关系，通过举例、交流，一方面加深对反比例意义的理解，另一方面体会生活中存在着大量的反比例关系，如总价一定的情况下，单价与数量的关系，用水量一定的情况下，每天用水量与所用天数的关系等。（2）“做一做”是让学

10、生根据反比例的意义来判断两个量是否成反比例。首先要明确哪两种量是相关联的量，它们是否是按照一个量增加（减少），另一个量减少（或增加）的规律变化的，再通过计算明确两个量相对应的数的乘积不变，在此基础上再作出判断。（3）根据课标的要求，反比例图象不作为正式的教学内容，教材通过“你知道吗”使学生认识反比例图象。通过观察图象，使学生体会反比例图象与正比例图象的区别，尤其是提醒学生注意到反比例图象是一条平滑的曲线而不是折线。和正比例图象一样，学生也可以直接利用图象上的点与数对的一一对应关系解决简单的问题，初步体会函数的思想与方法。教学建议（1）在举例和练习的过程中进一步加强对反比例意义的理解。让学生举出

11、反比例的实例时，要让学生说清楚在什么情况下，哪两个量成反比例关系。同样的三个量，由于假设的常量与变量不同，会得到不同的比例关系。例如，对于总价、单价、数量这三个量，如果单价不变，总价与数量成正比例；如果数量不变，总价与单价成正比例；如果总价不变，数量与单价成反比例。再如，“做一做”中，要让学生理解，运货的天数与每天运的吨数成反比例是以货物总质量既定这一前提为基础的。（2）加强正、反比例的对比。至此，学生已经对正、反比例的意义形成了比较清晰、完整的概念，因此，有必要引导学生对两种比例关系进行比较。通过辨析正、反比例关系的联系和区别，对什么是常量、什么是变量、什么是变量与变量的依存关系、如何用一个数学表达式来表示这种依存关系等问题有了更深入的思考。还可以通过“你知道吗”向学生介绍反比例图象，并对正、反比例图象进行比较，使学生试着用自己的语言描述出两种图象的不同特点，从直观的角度理解正、反比例关系的本质特征。