自主招生数学题库.doc

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1、 2000年交大联读班试题1. 直线y=ax+b关于y=-x的对称直线为_。2. 已知a,b,c是VABC的三边，a1，b0)上，点A坐标为-,0，抛物线在P点的切线与y轴及直线PA夹3角相等，求点P的坐标。15. 在an中，a1=4，an=an-31an-1-3求liman。 n316. 已知u=y2-x2，v=2xy，若点(x,y)在单位圆上以(0,1)为起点按顺时针方向转一圈，求点(u,v)的轨迹； 若点(x,y) 在直线y=ax+b上运动，而点(u,v)在过点(1,1)的直线上运动，求a，b的值。17. 若x,y满足x2-2xy+y2+12=0，求下列函数的最小值：x+y；xy；x3+

2、y3。18. 若方程x3-27x+m=0有3个不同实根，求实数m的取值范围。19. 己知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y)，又f(0)=求函数f(x)的解1，析式。20. 口袋中有4个白球，2个黄球，一次摸2个球，摸到的白球均退回口袋，保留黄球，到第n次两个黄球都被摸出，即第n+1次时所摸出的只能是白球，则令这种情况的发生概率是Pn，求P2,P3,Pn。2001年交大联读班数学试卷1. 数N=21258的位数是_。2. log2log3(log4x)=log3log4(log2y)=log4log2(log3z)=0求x+y+z=_。3. p=log83，q=lo

3、g35，则用p,q表示lg5=_。cos2a=_。 cos2b4. 2sina=sinq+cosq，sin2b=sinqcosq，求p5. x0,，求f(x)=cosx+xsinx的最小值为_。 26. 有一盒大小相同的球，它们既可排成正方形，又可排成一个正三角形，且正三角形每边上的球恰比每边上正方形多2个小球，球数为_。7. 数列1,3,2,L中，an+2=an+1-an，求ai=_。i=11008. (1+2x-x2)展开式中x7系数为_。 49. 一人排版，有三角形的一个角，大小为60o，角的两边一边长x，一边长9cm，排版时把长x的那边错排成x+1长，但发现角和对边长度没变，则x=_。

4、10. 掷三粒骰子，三个朝上点恰成等差列(d=1)的概率为_。11. (a+1)(b+1)=2，则arctana+arctanb=（ ）12. Apppp B C D 234613. 某人向正东走xkm，再左转150o朝新方向走了3km，则x=（ ）A B C3 D不确定11114. 1+2321+216L1+22=（ ）111111323232321-21-21-21-2A D B C22-1-115. t0，S=(x,y)(x-t)2+y2t2，则（ ） At，(0,0)S BS的面积0,p)C对t5，S第一象限 Dt，S的圆心在y=x上16. 一个圆盘被2n条等间隔半径与一条割线所分割，

5、则不交叠区域最多有（ ）个A2n+2 B3n-1 C3n D3n+117. ikcos(45+90k)=（ ） ok=040A CB21-20i) D21+20i) 18. 对x,yR+，定义x*y=xy，则(*)满足（ ） x+yA交换律 B结合律 C都不 D都可19. 6090125(modN)，则81（ ）(modN)A3 B4 C5 D620. f(x)=x2+2x+2，在xt,t+1上最小值为g(t)，求g(t)。16-6x+-x+x-2()x21. xR+，求f(x)=的最小值。 313-3x+x+xx22. f1(x)=2x-1fn(x)，fn+1(x)=f1，求f28(x) x

6、+1623. 2y=x2-6xcost-9sin2t+8sint+9（tR,t为参数）求顶点轨迹，求在y=12上截得最大弦长的抛物线及其长。 24. an为递增数列，在y上对应为Pnan，以OPn,OPn+1与曲线Pa1=1，a2=4，nPn+14围成面积为Sn，若Sn为q=的等比数列，求Si和liman。 n5i=1(2001年上海交通大学联读班数学试题一、填空题（本题共40分，每小题4分）1数N=25的位数是_2若log2log3(log4x)log3log4(log2y)log4log2(log3z)0，则x+y+z_3若log23p，log35q，则用p和q表示log105为_4设si

7、na和sinb分别是sinq与cosq的算术平均和几何平均，则cos2a:cos2b_5设x0,128p2，则函数f(x)cosx+xsinx的最小值为_6有一盒大小相同的小球，既可将他们排成正方形，又可将它们排成正三角形，已知正三角形每边比正方形每边多2个小球，则这盒小球的个数为_7若在数列1，3，2，中，前两项以后的每一项等于它的前面一项减去再前面一项，则这个数列的前100项之和是_8在(1+2x-x2)4的二项展开式中x7的系数是_9某编辑在校阅教材时，发现这句：“从60角的顶点开始，在一边截取9厘米的线段，在另一边截取a厘米的线段，求两个端点间的距离”，其中a厘米在排版时比原稿上多1虽

8、然如此，答案却不必改动，即题目与答案仍相符合，则排错的a_10任意掷三只骰子，所有的面朝上的概率相同，三个朝上的点数恰能排列成公差为1的等差数列的概率为_二、选择题（本题共32分，每小题4分）11a>0，b>0，若(a+1)(b+1)2，则arctana+arctanb ( )Ap 2Bp 3Cp 4Dp 612一个人向正东方向走x公里，他向左转150后朝新方向走了3x是A13(1+2-132 B C3 -14-12 D不能确定-132( ) )(1+2-116)(1+2)(1+2)(1+2)= B(1-2-132-1-18( ) 1-132-1A(1-2) 2) C1-2 1-1

9、32D(1-2) 214设t表示 t的最大整数，其中t0且S(x,y)|(x-T)2+y2T2,Tt-t，则 ( )A对于任何t，点(0,0)不属于S BS的面积介于0和p之间C对于所有的t5，S被包含在第一象限 D对于任何t，S的圆心在直线yx上15若一个圆盘被2n(n>0)条相等间隔的半径和一条割线所分隔，则这个圆盘能够被分成的不交迭区域的最大个数是 ( )A2n+2 B3n-1 C3n D3n+116若i2-1，则cos45+icos135+incos(45+90n)+i40cos3645 ( )AB 2C-20i) 2D(21+20i) 217若对于正实数x和y定义x*y=xy，

10、则 x+y ( )A”*”是可以交换的，但不可以结合 B”*”是可以结合的，但不可以交换C”*”既不可以交换，也不可以结合 D”*”是可以交换和结合的18两个或两个以上的整数除以N(N为整数，N>1)，若所得的余数相同且都是非负数，则数学上定义这两个或两个以上的整数为同余若69，90和125对于某个N是同余的，则对于同样的N，81同余于 ( )A3 B4 C5 D7三、计算题（本题共78分）19(本题10分)已知函数f(x)x2+2x+2，xt,t+1的最小值是g(t)试写出g(t)的解析表达式11(x+)6-(x6+6)-220(本题12分)设对于x>0，f(x)=，求f(x)的

11、最小值 33(x+)+x+3xx 21(本题16分)已知函数f1(x)=的解析表达式是什么？ 22(本题20分)已知抛物线族2yx2-6xcost-9sin2t+8sint+9，其中参数tR(1) 求抛物线顶点的轨迹方程；(2) 求在直线y12上截得最大弦长的抛物线及最大弦长 23(本题20分)设xn为递增数列，x11，x24，在曲线y=P1(1,1),P2(4,2),P3(x3,且以O为原点，由OPn、Pn(xn，OPn+1与曲线PnPn+1所围成部分的面积为Sn，若Sn(nN)是公比为2x-1，对于n1,2,3,定义fn+1(x)f1fn(x)若f35(x)f5(x)，则f28(x)x+1

12、上与之对应的点列为4的等比数列，5图形XnXn+1Pn+1Pn的面积为323(xn2+1-xn2)， 3试求S1+S2+Sn+和limxn n 2002年交大联读班数学试卷1. w3=1，w是虚数，则w2n+wn+1=_。2. 函数y=ax+b(a,bZ)的图象与三条抛物线y=x2+3、y=x2+6x+7、y=x2+4x+5分别有2，1，0个交点，则(a,b)=_。1113. 若3a=4b=6c，则+-=_。 a2bc4. 若2x-2-x=2，则8x=_。sec2x-tanx5. 函数y=的值域为_。 sec2x+tanx1116. 1-21-2L1-2=_。 23n7. 正实数x,y,z满足

13、x2+y2+z2=1，则111+的最小值是_。 x2y2z28. 一个圆内接四边形ABCD，已知AB4，BC8，CD9，DA7，则cosA=_。9. 实数a,b满足=1，则a2+b2=_。110. x2+1-的展开式中x9的系数为_。 2x11.=x，1a，则方程有_个实数解。 12. VABC三边长a,b,c满足abc，b=n，(a,b,cN*)，则不同的三角形有_个。13. 掷3个骰子，掷出点数之和为9的倍数的概率为_。14. 若不等式0x2+ax+54只有唯一实数解，则a=_。15. 有两个两位数，它们的差是56，两数分别平方后，末两位数相同，则这两个两位数为_。16. 在一个环形地带上

14、顺次有五所学校A、B、C、D、E，它们各有15、7、11、3、14台机器，现要使机器平均分配，规定机器的运输必须在相邻学校间进行，为使总的运输台数最少，则A应给B_台，B应给C_台，A给 E_台，总共运输_台。1111n2,nN*)。 17. 用数学归纳法证明以下结论：1+2+2+LL+22-(23nn9x2sinx1111，利用的结论求lim1sin1+2sin+LL+nsin 若有1-nn6x2n18. 若x=f(x)，称x为f(x)的不动点，f(x)=2x+a x+b若f(x)有关于原点对称的两个不动点，求a,b满足的关系；画出这两个不动点的草图。19. 有50cm的铁丝，要与一面墙成面

15、积为144cm2长方形区域，为使用料最省，求矩形的长与宽。220. 数列an满足an+1=2an-1，aN=1且aN-11，其中N2,3,4,L 求证：a11； 求证：a1=coskp(kZ)。 2N-2a+b21. 函数f(x)=lgx，有0ab且f(a)=f(b)=2f 2求a,b满足的关系；证明：存在这样的b，使3b4。22. A,B两人轮流掷一个骰子，第一次由A先掷，若A掷到一点，下次仍由A掷：若A掷不到一点，下次换B掷，对B同样适用规则。如此依次投掷，记第n次由A掷的概率为An。求An+1与An的关系；求limAn。 n 上海交通大学2002年保送生考试数学试题一、填空题（本题共64

16、分，每小题4分）1设方程x3=1的一个虚数根为w,则w2n+wn+1(n是正整数)=_2设a,b是整数，直线y=ax+b和3条抛物线：y=x2+3,y=x2+6x+7与y=x2+4x+5的交点个数分别是2，1，0，则(a,b)=_3投掷3个骰子，其中点数之积为9的倍数的概率为_4若x,y,z>0且x2+y2+z2=1，则111+2的最小值为_ 22xyz111+-=_ a2bc5若2x-2-x=2，则8x=_ 6若a,b,c为正实数，且3a=4b=6c，则7(1-111)(1-)L(1-)的值为_ 2232n2sec2x-tgx8函数y=的值域为_ sec2x+tgx9若圆内接四边形AB

17、CD的边长AB=4，BC=8，CD=9，DA=7，则cosA=_10若a,b满足关系：=1，则a2+b2=_11(x+1-219)的展开式中x9的系数是_ 2x12当1a=|x|的相异实根个数共有_个213若不等式0x+ax+54有唯一解，则a=_14设a,b,c表示三角形三边的长，均为整数，且abc，若b=n（正整数），则可组成这样的三角形_个15有两个二位数，它们的差是56，它们的平方数的末两位数字相同，则这两个数为_16某市环形马路上顺次有第一小学至第五小学等5所小学，各小学分别有电脑15，7，11，3，14台，现在为使各小学的电脑数相等，各向相邻小学移交若干台，且要使移交的电脑的总台数

18、最小，因此，从第一小学向第二小学移交了_台，从第二小学向第三小学移交了_台，从第五小学向第一小学移交了_台，移动总数是_台二、计算与证明题（本题共86分）17（本题12分）（1）设n为大于2的整数，试用数学归纳法证明下列不等式： 1111x2sinx1， (1)1+2+2+L+22-；(2)已知当0x1时,1-23nn6x试用此式与(1)的不等式求lim 1111(sin1+2sin+3sin+L+nsin) nn23n18（本题14分）若存在实数x，使f(x)=x，则称x为f(x)的不动点，已知函数f(x)=于原点对称的不动点(1) 求a,b须满足的充要条件；(2) 试用y=f(x)和y=x

19、的图形表示上述两个不动点的位置（画草图） 19（本题14分）欲建面积为144m2的长方形围栏，它的一边靠墙（如图），现有铁丝网50m，问筑成这样的围栏最少要用铁丝网多少米？并求此时围栏的长度 2x+a有两个关x+b220（本题14分）设数列an满足关系an+1=2an-1(n=1,2,L)，若N满足aN=1(N=2,3,L)，试证明：(1) |a1|1； (2) a1=coskp （k为整数） 2N-221（本题16分）设f(x)=|lgx|,a,b为实数，且0an!()，当自然数n6时成立 n2nn3n上海交通大学2004年保送生考试数学试题(90分钟)2004.1.3一、填空题：1已知x,

20、y,z是非负整数，且x+y+z=10，x+2y+3z=30，则x+5y+3z的范围是_2长为l的钢丝折成三段与另一墙面合成封闭矩形，则它的面积的最大值是_3函数y=x+cosx（0xp2）的值域是_4已知a,b,c为三角形三边的长，b=n，且abc，则满足条件的三角形的个数为_5x+ax+b和x+bx+c的最大公约数为x+1，最小公倍数为x3+(c-1)x2+(b+3)x+d，则22a=_,b=_,c=_,d=_6已知1a2,则方程a2-x2=2-x的相异实根的个数是_7(72004+36)818的个位数是_8已知数列an满足a1=1,a2=2，且an+2=3an+1-2an，则a2004=_

21、9nn的正方格,任取得长方形是正方形的概率是_10已知6xyzabc=7abcxyz,则xyzabc=_1112二、解答题1已知矩形的长、宽分别为a、b，现在把矩形对折，使矩形的对顶点重合，求所得折线长2某二项展开式中，相邻a项的二项式系数之比为 1：2：3：a，求二项式的次数、a、以及二项式系数 3f(x)=ax4+x3+(5-8a)x2+6x-9a，证明：（1）总有f(x)=0；（2）总有f(x)0 4f1(x)= 5对于两条垂直直线和一个椭圆，已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切，求椭圆中心的轨迹 6已知bn为公差为6的等差数列，bn+1=an+1-an(nN)(1) 用a1、b1、n表

22、示数列an的通项公式；(2) 若a1=-b1=a，a27,33，求an的最小值及取最小值时的n的值 1-x，对于一切自然数n，都有fn+1(x)=f1fn(x)，且f36(x)=f6(x)，求f28(x) x+1 上海交通大学2005年保送、推优生数学试题一、填空题（每小题5分，共50分）1方程x-px-882144=0的两根满足 x,xx+x2，则p=_（pR）121222p41p,x(0,)，则x=_ 12821n+112004)，则n=_ 3已知nZ，有(1+)=(1+n20042sinx+cosx=4将3个12cm12cm的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部分（如左图），将这6部分接于一

23、个边长为，若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，该多面体的体积为_ 5=x、yR，则(x,y)=_622-42+62-82+L+(-1)n+1(2n)2=_7若z3=1，且zC，则z3+2z2+2z+20=_8一只蚂蚁沿123立方体表面爬，从一对角线一端到另一端最短距离为_94封不同的信放入4只写好地址的信封中，装错的概率为_，恰好只有一封装错的概率为_10已知等差数列an中，a3+a7+a11+a19=44，a5+a9+a16=_二、解答题（第1题8分，第2、3、4题各10分，第5题12分）1x+ax+bx+c=0的三根分别为a,b,c，并且a,b,c是不全为零的有理数，求a,b,c的值

24、32 2是否存在三边为连续自然数的三角形，使得(1) 最大角是最小角的两倍；(2) 最大角是最小角的三倍；若存在，求出该三角形；若不存在，请说明理由 ax2+8x+b3y=的最大值为9，最小值为1，求实数a,b x2+1 4已知月利率为g，采用等额还款方式，则若本金为1万元，试推导每月等额还款金额m关于g的函数关系式（假设贷款时间为2年） 5对于数列an：1,3,3,3,5,5,5,5,5,，即正奇数k有k个，是否存在整数r,s,t，使得对于任意正整数n都有an=r +t恒成立（x表示不超过x的最大整数） 2006年上海交通大学推优、保送生考试数学试题一、填空题（每题5分，共50分）1矩形AB

25、CD中，AD=a，AB=b，过A、C作相距为h的平行线AE、CF，则AF=_2一个正实数与它的整数部分，小数部分成等比数列，那么这个正实数是_32005！的末尾有连续_个零4(x2-x+2)10展开式中，x项的系数为_5在地面距离塔基分别为100m、200m、300m的A、B、C处测得塔顶的仰角分别为3AF D a,b,g,且a+b+g=90，则塔高为_6三人玩剪子、石头、布的游戏，在一次游戏中，三人不分输赢的概率为_；在一次游戏中，甲获胜的概率为_7函数y=-log3(x2-ax-a)在(-,1上单调递增，则实数a的取值范围是_8w是x5=1的非实数根，w(w+1)(w2+1)=_92张10

26、0元，3张50元，4张10元人民币，共可组成_种不同的面值10已知ak=k+2，则数列an前100项和为_ k!+(k+1)!+(k+2)!二、解答题（第11题8分，第12、13、14题每题10分，第15题12分）11a,b,cR，abc0，bc，a(b-c)x2+b(c-a)x+c(a-b)=0有两个相等根， 求证：111,成等差数列 abcx2212椭圆2+y=1(a1)，一顶点A(0,1)，是否存在这样的以A为直角顶点的内接于椭圆的等腰直a角三角形，若存在，求出共有几个，若不存在，请说明理由13已知|z|=1，k是实数，z是复数，求|z2+kz+1|的最大值14若函数形式为f(x,y)=

27、a(x)b(y)+c(x)d(y),其中a(x),c(x)为关于x的多项式，b(y),d(y)为关于y的多项式，则称f(x,y)为P类函数，判断下列函数是否是P类函数，并说明理由(1) 1+xy；322(2) 1+xy+x2y2 15设k9,解方程x+2kx+kx+9k+27=0 上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题 一、填空题（每小题5分，共50分） 1设函数f(x)满足2f(3x)+f(2-3x)=6x+1，则f(x)= 2设a,b,c均为实数，且3=6=4，则 x23设a0且a1，则方程a+1=-x+2x+2a的解的个数为 ab11-= ab 4设扇形的周长为6，则其面积的最大值

28、为 511!+22!+33!+L+nn!= 6设不等式x(x-1)y(1-y)与x2+y2k的解集分别为M和N若MN，则k的最小值为 7设函数f(x)= 8设a0，且函数f(x)=(a+cosx)(a+sinx)的最大值为x，则S=1+2f(x)+3f2(x)+L+nfn-1(x)= x25，则a= 2 96名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 10已知函数f1(x)=2x-1L，定义fn+1(x)=f1(fn(x)，若f35(x)=f5(x)，则，对于n=1,2,x+1f

29、28(x)= 二、计算与证明题（每小题10分，共50分） 11工件内圆弧半径测量问题为测量一工件的内圆弧半径R，工人用三个半径均为r的圆柱形量棒O1,O2,O3放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒O2顶侧面的垂直深度h，试写出R用h表示的函数关系式，并计算当r=10mm,h=4mm时，R的值 12设函数f(x)=sinx+cosx，试讨论f(x)的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性），求其极值，并作出其在0,2p内的图像 13已知线段AB长度为3，两端均在抛物线x=y2上，试求AB的中点M到y轴的最短距离和此时M点的坐标 14设f(x)=(1+a)x4+x3-

30、(3a+2)x2-4a，试证明对任意实数a：（1）方程f(x)=0总有相同实根；（2）存在x0，恒有f(x0)015已知等差数列an的首项为a，公差为b，等比数列bn的首项为b，公比为a，n=1,2,L，其中a,b均为正整数，且a1b1a2b201+(-1)(2n-1) n4x08.9. 434510. 2x-35-3x11. R=2hr2+r，R=60mm 12.11；偶函数；2kp,2kp+p4V13. d5min=4；M5,4214. 略；反证法15. 2；3；322n-3+2n-2 (kZ)；1pk+12kp+4,2pV(kZ)；周期为p22008年交大冬令营数学试题2008.1.1一

31、填空题32x-11若f(x)=x，g(x)=f-1(x)，则g()=_ 52+12函数y=x+1的最大值为_ 2x+83等差数列中，5a8=3a13，则前n项和Sn取最大值时，n的值为_224复数|z|=1,若存在负数a使得z-2az+a-a=0，则a=_5若cosx-sinx=1，则cos3x-sin3x=_ 26数列an的通项公式为an=，则这个数列的前99项之和S99=_ 37(1+x)+(1+x)2+(1+x)98+(1+x)99中x的系数为_8数列an中，a0=0，a1=-1357，a2=6，a3=-，a4=20，a5=-，a6=42，a7=-，2468a8=72，此数列的通项公式为

32、an=_9甲、乙两厂生产同一种商品甲厂生产的此商品占市场上的80%，乙厂生产的占20%；甲厂商品的合格率为95%，乙厂商品的合格率为90%若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为_10若曲线C1:x2-y2=0 与 C2:(x-a)2+y2=1的图像有3个交点，则a=_二解答题130个人排成矩形，身高各不相同把每列最矮的人选出，这些人中最高的设为a；把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为b（）a是否有可能比b高？（）a和b是否可能相等？ 2已知函数f(x)=ax2+bx+c(a0)，且f(x)=x没有实数根那么f(f(x)=x是否有实数根？并证明你的结论 3世界杯预选赛中，中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在A组，进行主客场比赛规定每场比赛胜者得三分，平局各得一分，败者不得分比赛结束后前两名可以晋级（）由于4支队伍均为强队，每支队伍至少得3分于是甲专家预测：中国队至少得10分才能确保出线；乙专家预测：中国队至少得11分才能确保出线问：甲、乙专家哪个说的对？为什么？（）若不考虑(1)中条件，中国队至少得多少分才能确保出线？