江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学高三联合考试数学试题.doc

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1、江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2014届高三联合考试数学试题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共4页，包含填空题(第1题第14题，共14题)、解答题(第15题第20题，共6题)两部分。本次考试时间为120分钟。考试结束后，只要将答题卡交回。2答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B铅笔把答题卡上考试证号对应数字框涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再正确涂写。3答题时，必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。4如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描

2、写清楚。数 学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应位 置上1 抛物线的焦点到准线的距离为 2 设全集，集合若，则集合 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5视力0.250.500.751.001.75（第4题）3 已知复数（为虚数单位，），若是纯虚数，则的值为 4 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班45名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如右图若某 高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为 5 将函数f(x)的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则的值为 S9i1While S0

3、SSiii1End WhilePrint i （第6题）6 右图是一个算法的伪代码，则输出的i的值为 7 在平面直角坐标系xOy中，已知向量(1，0)，(2，1)若向量与共线，则实数的值为 8 有5条线段，其长度分别为1，3，5，7，9现从中任取3条，恰能构成三角形的概率为 9 设数列lnan是公差为1的等差数列，其前n项和为Sn，且S1155， 则a2的值为 10在ABC中，已知，则边的长为 11 设一次函数为函数的导数若存在实数(1，2)，使得，则不等式F(2x1) F(x)的解集为 12在平面直角坐标系xOy中，已知圆：上存在一点到直 线：的距离等于，则实数的值为 13设正实数，满足，则

4、实数的最小值为 14在等腰三角形ABC中，已知ACBC，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上， 且ADDBEF1若，则的取值范围是 二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤15(本小题满分14分) 如图，四棱锥PABCD中，为菱形ABCD对角线的交点，M为棱PD的中点，MAMCAPDBCOMO（第15题）（1）求证：PB平面AMC；（2）求证：平面PBD平面AMC16(本小题满分14分) 已知函数， （1）求函数的值域； （2）若，求的值17(本小题满分14分)某公司销售一种液态工业产品，每升产品的成本为30元，且每卖出一升产

5、品需向税务部门交税a元(常数a，且2a5)设每升产品的售价为x元 (35x41)，根据市场调查，日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例已知当每升产品的售价为40元时，日销售量为10升 （1）求该公司的日利润y与每升产品的售价x的函数关系式； （2）当每升产品的售价为多少元时，该公司的日利润y最大？并求出最大值(参考数 据：取55，148)18(本小题满分16分) 在平面直角坐标系xOy中，设A(-1，0)，B(1，0), C(m，n)，且ABC的周长为 （1）求证：点C在一个椭圆上运动，并求该椭圆的标准方程； （2）设直线l： 判断直线l与（1）中的椭圆的位置关系，并说明理由； 过点A作

6、直线l的垂线，垂足为H证明：点H在定圆上，并求出定圆的方程19(本小题满分16分) 设，函数，其中常数a （1）求函数的极值； （2）设一直线与函数的图象切于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 求的值； 求证：20(本小题满分16分)（1）设为不小于3的正整数，公差为1的等差数列，和首项为1的 等比数列，满足，求正整数的最大值； （2）对任意给定的不小于3的正整数，证明：存在正整数，使得等差数列： ，和等比数列：， 满足 数 学(附加题)注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 本试卷共2页，均为解答题（第2123题）。本卷满分为40分，考试时间为30分钟。考试结

7、束后，请将答题卡交回。2 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B铅笔正确填涂考试号。3 作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。如有作图需要，用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。21【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作 答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤ABCDE(第21A题)A选修41：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，已知ABC的内角A的平分线交BC于点D，交其外接圆于点E求证：ABACADA

8、E B选修42：矩阵与变换（本小题满分10分）已知点P(a，b)，先对它作矩阵M对应的变换，再作N对应的变换，得到的点的坐标为 (8，)，求实数a，b的值C选修44：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，设直线过点，且直线与曲线：有且只有一个公共点，求实数的值D选修44：不等式证明选讲（本小题满分10分） 已知a，b0，且ab1，求证：【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分） 从侧面都是正三角形的正四棱锥的8条棱中随机选两条，记为这两条棱所成角的大小 （1）求概率； （2）求的分布

9、列，并求其数学期望E()23（本小题满分10分）设整数3，集合P1，2，3，n，A，B是P的两个非空子集记an为所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A，B)的个数 （1）求a3； （2）求an江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2014届高三联合考试数学参考答案及评分建议说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则2对于解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，该逻辑链的后续部分就不再给分，但 与该步所属的逻辑段并列的逻辑段则仍按相应逻辑段的评分细则给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数

10、一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1 抛物线的焦点到准线的距离为 【答案】2 设全集，集合若，则集合 【答案】3 已知复数（为虚数单位，），若是纯虚数，则的值为 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5视力0.250.500.751.001.75（第4题） 【答案】34 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班45名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如右图若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为 【答案】18S9i1While S0 SSiii1End WhilePrint i （第6题）5 将函数f(x)的图

11、象向右平移个单位后得到函数 的图象，则的值为 【答案】46 右图是一个算法的伪代码，则输出的i的值为 【答案】57 在平面直角坐标系xOy中，已知向量(1，0)，(2，1)若向量与共线，则实数的值为 【答案】 8 有5条线段，其长度分别为1，3，5，7，9现从中任取3条，恰能构成三角形的概率为 【答案】9 设数列lnan是公差为1的等差数列，其前n项和为Sn，且S1155，则a2的值为 【答案】e10在ABC中，已知，则边的长为 【答案】11设一次函数为函数的导数若存在实数(1，2)，使得，则不等式F(2x1) F(x)的解集为 【答案】12在平面直角坐标系xOy中，已知圆：上存在一点到直线：

12、的距离等于，则实数的值为 【答案】113设正实数，满足，则实数的最小值为 【答案】14在等腰三角形ABC中，已知ACBC，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上， 且ADDBEF1若，则的取值范围是 【答案】二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤15(本小题满分14分) 如图，四棱锥PABCD中，为菱形ABCD对角线的交点，M为棱PD的中点，MAMCAPDBCOMO（第15题）（1）求证：PB平面AMC；（2）求证：平面PBD平面AMC证明：（1）连结， 因为为菱形ABCD对角线的交点， 所以为BD的中点， 又M为棱PD的中点

13、， 所以， 2分 又平面AMC，平面AMC， 所以PB平面AMC； 6分（2）在菱形ABCD中，ACBD，且为AC的中点， 又MAMC，故ACOM， 8分 而OMBD，OM，BD平面PBD， 所以AC平面PBD， 11分 又AC平面AMC， 所以平面PBD平面AMC 14分16(本小题满分14分) 已知函数， （1）求函数的值域； （2）若，求的值解：（1）依题意， 3分 ， 5分 因为，所以，从而，所以函数的值域为； 7分 （2）依题意， 令，则， 从而，且， 9分 所以， 又， 故， 11分 从而 14分17(本小题满分14分)某公司销售一种液态工业产品，每升产品的成本为30元，且每卖出一

14、升产品需向税务部门交税a元(常数a，且2a5)设每升产品的售价为x元 (35x41)，根据市场调查，日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例已知当每升产品的售价为40元时，日销售量为10升 （1）求该公司的日利润y与每升产品的售价x的函数关系式； （2）当每升产品的售价为多少元时，该公司的日利润y最大？并求出最大值(参考数 据：取55，148)解：（1）设日销售量(k为比例系数)，因为当x40时，p10，所以k， 2分从而，x； 6分 （2）设，则， 由，得ta1， 9分 因为5t11，2a5，所以a+13，4，5，6， 若a+13，4，5，则，函数在5，11上单调递减， 所以当t5即x3

15、5时，； 11分 若a+16，列表：(5，6)6( 6，11)0极大值 所以当t6即x36时， 答：若a2，3，4，则当每升售价为35元时，日利润最大为元； 若a5，则当每升售价为36元时，日利润最大为550元 14分18(本小题满分16分) 在平面直角坐标系xOy中，设A(-1，0)，B(1，0), C(m，n)，且ABC的周长为 （1）求证：点C在一个椭圆上运动，并求该椭圆的标准方程； （2）设直线l： 判断直线l与（1）中的椭圆的位置关系，并说明理由； 过点A作直线l的垂线，垂足为H证明：点H在定圆上，并求出定圆的方程 （1）证明：依题意，CACBAB， 根据椭圆的定义知，点C的轨迹是以

16、A(-1，0)，B(1，0)为焦点，为 长轴的椭圆(不含长轴的两个端点)，即证， 2分 不妨设该椭圆的方程为， 依题意知，从而， 故该椭圆的标准方程为； 4分 （2） 解：直线l与（1）中的椭圆相切，下证之： 因为C(m，n)在椭圆上，所以， 由得， 6分 判别式 ， 所以直线l与（1）中的椭圆相切； 8分 猜想：若点H在定圆P上， 则当点C(0，1)时，H(1，1)；当点C(0，1)时，H(1，1)； 故圆心P必在x轴上； 当点C时，H(0，)；当点C时，H(0，)； 故圆心P必在y轴上， 综上，圆心P必为坐标原点O，且半径为， 从而定圆P的方程为：， 10分 证明：过A(-1，0) 与直线

17、l：的垂直的直线方程为： ， 联立直线l与直线的方程解得， 12分 从而OH2，其中， ， 所以点H在定圆上 16分19(本小题满分16分) 设，函数，其中常数a （1）求函数的极值； （2）设一直线与函数的图象切于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 求的值； 求证： 解：（1）依题意， 则 由得， 当时，所以无极值； 3分 当时，列表：x(-，0)000极小值0极大值 所以函数的极小值为，极大值为； 6分 （2）当时， 直线AB的方程为， 或， 于是 即 故(常数)； 11分 证明：设，则 解得或 (舍去，否则)， 故 ， 即证 16分 20(本小题满分16分)（1）设为不小于3的正

18、整数，公差为1的等差数列，和首项为1的 等比数列，满足，求正整数的最大值； （2）对任意给定的不小于3的正整数，证明：存在正整数，使得等差数列： ，和等比数列：， 满足 解：（1）设，依题意得， ， 2分 从而， 即， ，由得，；因为，所以由 得，不存在了，从而正整数的最大值为5； 6分 （2）依题意，且，2， 一方面，当时，因此， 结合及是公比为的等比数列可得， ， 从而对任意的1，2，都有； 11分 另一方面，因为 (1，2，其中为给定的不小于 3的正整数) () 显然，()式左边是关于的次式，右边是关于的次式， 只要正整数充分大，() 式即可成立,从而1，2，时，都有 综上，必存在正整数

19、，满足 16分江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2014届高三联合考试数学参考答案及评分建议说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则2对于解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，该逻辑链的后续部分就不再给分，但 与该步所属的逻辑段并列的逻辑段则仍按相应逻辑段的评分细则给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数21【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作 答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤A选修41：几何证明选讲ABCD

20、E(第21A题)（本小题满分10分）如图，已知ABC的内角A的平分线交BC于点D，交其外接圆于点E求证：ABACADAE证明：连结EC，易得BE， 2分 由题意，BADCAE， 所以ABDAEC， 6分 从而， 所以ABACADAE 10分 B选修42：矩阵与变换（本小题满分10分）已知点P(a，b)，先对它作矩阵M对应的变换，再作N对应的变换，得到的点的坐标为 (8，)，求实数a，b的值解：依题意，NM， 4分 由逆矩阵公式得， (NM)， 8分 所以，即有， 10分 C选修44：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，设直线过点，且直线与曲线：有且只有一个公共点，求实数的值解：依

21、题意，的直角坐标为， 从而直线的普通方程为， 4分 曲线：的普通方程为， 8分 因为直线与曲线有且只有一个公共点， 所以，解得(负值已舍) 10分D选修44：不等式证明选讲（本小题满分10分）已知a，b0，且ab1，求证： 证明：因为(2a12b1)(1212)8， 8分 所以 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）设为随机变量，从侧面均是等边三角形的正四棱锥的8条棱中任选两条，为这两条棱所成的角 （1）求概率； （2）求的分布列，并求其数学期望E()解：（1）从正四棱锥的8条棱中任选

22、两条，共有种不同方法， 其中“”包含了两类情形： 从底面正方形的4条棱中任选两条相邻的棱，共有4种不同方法; 从4条侧棱中选两条，共有2种不同方法， 所以； 4分 （2）依题意，的所有可能取值为0， “”包含了从底面正方形的4条棱中任选两条对棱，共2种不同方法； 所以； 6分 从而， 8分 所以的分布列为： 数学期望E() 10分23（本小题满分10分）设整数3，集合P1，2，3，n，A，B是P的两个非空子集记an为所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A，B)的个数 （1）求a3； （2）求an解：（1）当3时，P1，2，3 ， 其非空子集为：1，2，3，1，2，1，3，2，3，1，2，3， 则所有满足题意的集合对(A，B)为：(1，2)，(1，3)，(2，3)， (1，2，3），（1，2，3)共5对， 所以a3； 3分 （2）设A中的最大数为k，其中,整数3， 则A中必含元素k，另元素1，2，k可在A中，故A的个数为： ， 5分 B中必不含元素1，2，k，另元素k1，k2，k可在B中，但不能 都不在B中，故B的个数为：， 7分 从而集合对(A，B)的个数为， 所以an 10分