江苏省常州一中高三(上)期中数学试卷(文科)(解析版).doc
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1、2015-2016学年江苏省常州一中高三(上)期中数学试卷(文科)一填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1已知集合A=x|x0,B=x|x1,则AB=2若(k,aR)为幂函数,且f(x)的图象过点(2,1),则k+a的值为3已知直线l1:x+ay+6=0和l2:(a2)x+3y+2a=0,则l1l2的充要条件是a=4若曲线在x=x0处的切线斜率为0,则实数x0的值为5已知函数,则f(1+log23)=6将函数y=sinx(0)的图象向左平移个单位,平移后的图象如图所示,则平移后的图象所对应的函数的解析式是7已知等比数列an的各均为正数,且,则数列an
2、的通项公式为8下列说法中正确的个数为命题:“若a0,则a20”的否命题是“若a0,则a20”;若复合命题“pq”为假命题,则p,q均为假命题;“三个数a,b,c成等比数列”是“”的充分不必要条件;命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题9在锐角三角形ABC中,若tanA,tanB,tanC依次成等差数列,则tanAtanC的值为10正方形ABCD的中心为(3,0),AB所在直线的方程为x2y+2=0,则正方形ABCD的外接圆的方程为11已知正实数a,b满足9a2+b2=1,则的最大值为12如图,A,B,C是直线上三点,P是直线外一点,AB=BC=1,APB=90,BPC=30,
3、则=13已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)b有两个零点,则a的取值范围是14已知数列an满足,设为均不等于2的且互不相等的常数),若数列bn为等比数列,则的值为二解答题:本大题共6小题,共90分请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15在直角坐标系xoy中,不共线的四点A,B,C,D满足,且,求:(1)的坐标;(2)四边形ABCD的面积16设向量=(2cosx,2sinx),=,f(x)=(1)求函数f(x)的单调增区间和图象的对称中心坐标;(2)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f(C)=0,c=1,求a+b的取值范围17
4、如图所示,有一块半径长为1米的半圆形钢板,现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD,设梯形部件ABCD的面积为y平方米()按下列要求写出函数关系式:设CD=2x(米),将y表示成x的函数关系式;设BOC=(rad),将y表示成的函数关系式()求梯形部件ABCD面积y的最大值18已知圆M的方程为x2+(y2)2=1,直线l的方程为x2y=0,点P在直线l上,过P点作圆M的切线PA,PB,切点为A,B(1)若APB=60,试求点P的坐标;(2)若P点的坐标为(2,1),过P作直线与圆M交于C,D两点,当CD=时,求直线CD的方程;(3)经过A,P,M三点的圆是否经过异于点M的定点,若经过,请求出此
5、定点的坐标;若不经过,请说明理由19已知a0,f(x)=ax22x+1+ln(x+1),l是曲线y=f(x)在点P(0,f(0)处的切线()求l的方程;()若切线l与曲线y=f(x)有且只有一个公共点,求a的值;()证明对任意的a=n(nN*),函数y=f(x)总有单调递减区间,并求出f(x)单调递减区间的长度的取值范围(区间x1,x2的长度=x2x1)20已知数列an是公差不为零的等差数列,数列bn是等比数列(1)若cn=(an+1an)bn(nN*),求证:cn为等比数列;(2)设cn=anbn(nN*),其中an是公差为2的整数项数列,bn=,若c52c44c38c216c1,且当n17
6、时,cn是递减数列,求数列an的通项公式;(3)若数列cn使得是等比数列,数列dn的前n项和为,且数列dn满足:对任意n2,nN*,或者dn=0恒成立或者存在正常数M,使|dn|M恒成立,求证:数列cn为等差数列2015-2016学年江苏省常州一中高三(上)期中数学试卷(文科)参考答案与试题解析一填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1已知集合A=x|x0,B=x|x1,则AB=R【考点】并集及其运算【专题】集合【分析】根据A与B,求出两集合的并集即可【解答】解:A=x|x0,B=x|x1,AB=R故答案为:R【点评】此题考查了并集及其运算,熟练掌握并
7、集的定义是解本题的关键2若(k,aR)为幂函数,且f(x)的图象过点(2,1),则k+a的值为1【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【专题】函数思想;待定系数法;函数的性质及应用【分析】根据幂函数的定义,先求出k的值,通过待定系数法求出的值即可【解答】解:若(k,aR)为幂函数,则k=1,f(x)=,把(2,1)代入函数的解析式得:=1, =0,解得=0,则k+a的值1,故答案为:1【点评】本题考查了幂函数的定义,考查待定系数法求函数的解析式问题,是一道基础题3已知直线l1:x+ay+6=0和l2:(a2)x+3y+2a=0,则l1l2的充要条件是a=1【考点】直线的一般式方程与直线的平
8、行关系【专题】计算题【分析】由已知中,两条直线的方程,l1:x+ay+6=0和l2:(a2)x+3y+2a=0,我们易求出他们的斜率,再根据两直线平行的充要条件,即斜率相等,截距不相等,我们即可得到答案【解答】解:直线l1:x+ay+6=0和l2:(a2)x+3y+2a=0,k1=,k2=若l1l2,则k1=k2即=解得:a=3或a=1又a=3时,两条直线重合故答案为1【点评】本题考查的知识点是直线的一般式方程与直线的平行关系,其中两个直线平行的充要条件,易忽略截距不相等的限制,而错解为1或34若曲线在x=x0处的切线斜率为0,则实数x0的值为e【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计
9、算题;方程思想;分析法;导数的概念及应用【分析】求得函数的导数,由导数的几何意义,可得切线的斜率,解方程即可得到所求值【解答】解:的导数为y=,由在x=x0处的切线斜率为0,可得=0,解得x0=e故答案为:e【点评】本题考查导数的运用:求切线的斜率,考查导数的几何意义,正确求得导数是解题的关键5已知函数,则f(1+log23)=【考点】对数的运算性质;函数的值【专题】计算题【分析】根据分段函数的性质,把x=1+log23分别反复代入f(x1)直到x0,再代入相应的函数解析式,从而求解;【解答】解:1+log230,f(1+log23)=f(1+log23)1)=f(log23)log230f(
10、log23)=f(log231),log2310f(log231)=f(log232),log2320,f(log232)=23=,故答案为【点评】此题主要考查对数的性质和函数的值,计算比较麻烦,此题是一道基础题,需要反复代入求解;6将函数y=sinx(0)的图象向左平移个单位,平移后的图象如图所示,则平移后的图象所对应的函数的解析式是y=sin(2x+)【考点】由y=Asin(x+)的部分图象确定其解析式【专题】计算题【分析】依题意可得,x+=,从而可求得,继而可得所求函数的解析式【解答】解:函数y=sinx(0)的图象向左平移个单位,为y=sin(x+),由图象得:+=,解得:=2,平移后
11、的图象所对应的函数的解析式为:y=sin2(x+)=sin(2x+),故答案为:y=sin(2x+)【点评】本题考查由y=Asin(x+)的部分图象确定其解析式,由x+=求得是关键,考查识图与分析解决问题的能力,属于中档题7已知等比数列an的各均为正数,且,则数列an的通项公式为an =【考点】等比数列的性质;等比数列的通项公式【专题】计算题【分析】设公比为q,由题意可得 a1(1+2q)=3 且=4,解方程组求出首项和公比的值,即可得到数列an的通项公式【解答】解:等比数列an的各均为正数,且,设公比为q,则可得 a1(1+2q)=3 且=4,解得 a1=,q=,故数列an的通项公式为 an
12、 =,故答案为 an =【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质,等比数列的通项公式的应用,属于中档题8下列说法中正确的个数为2命题:“若a0,则a20”的否命题是“若a0,则a20”;若复合命题“pq”为假命题,则p,q均为假命题;“三个数a,b,c成等比数列”是“”的充分不必要条件;命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题【考点】命题的真假判断与应用【专题】探究型;转化思想;函数的性质及应用;推理和证明【分析】写出原命题的否命题,可判断;根据复合命题真假判断的真值表,可判断;根据等比数列的定义及充要条件的定义,可判断;根据互为逆否的两个命题,真假性相同,可判断【解答】解:命
13、题:“若a0,则a20”的否命题是“若a0,则a20”,故正确;若复合命题“pq”为假命题,则p,q存在假命题,但不一定均为假命题,故错误;“三个数a,b,c成公比为负的等比数列”时,“”不成立,“=0”时,“三个数a,b,c成等比数列”不成立,故“三个数a,b,c成等比数列”是“”的即不充分不必要条件,故错误;命题“若x=y,则sinx=siny”为真命题,故其逆否命题为真命题,故正确综上所述,正确的命题个数为2个,故答案为:2【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用,四种命题,复合命题,充要条件,难度中档9在锐角三角形ABC中,若tanA,tanB,tanC依次成等差数列,则tanA
14、tanC的值为3【考点】两角和与差的正切函数【专题】三角函数的求值【分析】利用等差数列列出关系式,利用三角形的内角和以及两角和的正切函数,化简求解即可【解答】解:由题意知:A,B,C,且A+B+C=,tanA,tanB,tanC依次成等差数列,2tanB=tanA+tanC,tan(A+B)=tan(C)=tanC,又tan(A+B)=,tanA+tanB=tan(A+B)(1tanAtanB)=tanC(1tanAtanB)=tanC+tanAtanBtanC,即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,tanAtanC=3故答案为:3【点评】本题考查数列的应用,两角和的正切函
15、数定义域,考查计算能力,属于基本知识的考查10正方形ABCD的中心为(3,0),AB所在直线的方程为x2y+2=0,则正方形ABCD的外接圆的方程为(x3)2+y2=10【考点】圆的标准方程;点到直线的距离公式【专题】直线与圆【分析】确定正方形ABCD的外接圆的圆心为(3,0),利用点到直线的距离公式,可求半径,从而可得圆的方程【解答】解:由题意,正方形ABCD的外接圆的圆心为(3,0),(3,0)到直线AB的距离为=圆的半径为=正方形ABCD的外接圆的方程为(x3)2+y2=10故答案为:(x3)2+y2=10【点评】本题考查圆的标准方程,考查学生的计算能力,属于中档题11已知正实数a,b满
16、足9a2+b2=1,则的最大值为【考点】基本不等式;椭圆的简单性质【专题】不等式的解法及应用【分析】利用(x,y0)即可得出【解答】解:正实数a,b满足9a2+b2=1,=,当且仅当=时取等号的最大值为故答案为:【点评】本题考查了基本不等式的性质,属于基础题12如图,A,B,C是直线上三点,P是直线外一点,AB=BC=1,APB=90,BPC=30,则=【考点】向量在几何中的应用;平面向量数量积的运算【专题】计算题;解三角形;平面向量及应用【分析】取PC中点D,连结BD,设BD=x利用三角形中位线定理与含有30角的直角三角形的性质,算出BDC=120,CD=PD=2x在BCD中利用余弦定理,结
17、合题中数据建立关于x的方程,解出x=,即BD=,从而得出PA=且PC=最后利用数量积的公式加以计算,可得的值【解答】解:取PC中点D,连结BD设BD=x,BD是PAC的中位线,BDPA且BD=PAAPB=90,PBD中,PBD=APB=90,BPD=30,BD=x,PD=2BD=2x,CD=PD=2x,BDC中,BDC=APC=90+30=120,BC=1,由余弦定理,得BC2=BD2+CD22BDCDcosBDC=1,即x2+4x22x2xcos120=1,解之得x=,即BD=PA=2BD=,PC=4BD=,可得=()=故答案为:【点评】本题给出三角形的中线与一条边垂直且与另一边成30度角,
18、求向量的数量积着重考查了向量数量积计算公式、三角形中位线定义及其应用、利用余弦定理解三角形等知识,属于中档题13已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)b有两个零点,则a的取值范围是a|a0或a1【考点】函数的零点【专题】计算题;创新题型;函数的性质及应用【分析】由g(x)=f(x)b有两个零点可得f(x)=b有两个零点,即y=f(x)与y=b的图象有两个交点,则函数在定义域内不能是单调函数,结合函数图象可求a的范围【解答】解:g(x)=f(x)b有两个零点,f(x)=b有两个零点,即y=f(x)与y=b的图象有两个交点,由x3=x2可得,x=0或x=1当a1时,函数f(x)的
19、图象如图所示,此时存在b,满足题意,故a1满足题意当a=1时,由于函数f(x)在定义域R上单调递增,故不符合题意当0a1时,函数f(x)单调递增,故不符合题意a=0时,f(x)单调递增,故不符合题意当a0时,函数y=f(x)的图象如图所示,此时存在b使得,y=f(x)与y=b有两个交点综上可得,a0或a1故答案为:a|a0或a1【点评】本题考察了函数的零点问题,渗透了转化思想,数形结合、分类讨论的数学思想14已知数列an满足,设为均不等于2的且互不相等的常数),若数列bn为等比数列,则的值为3【考点】数列递推式【专题】方程思想;数学模型法;等差数列与等比数列【分析】为均不等于2的且互不相等的常
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