广东省中山一中等七校高三第二次（12月）联考理科数学试题及答案.doc

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1、宝安中学 潮阳一中 桂城中学 南海中学 普宁二中 中山一中 仲元中学 20142015学年度 高三第二次联考 理 科 数 学 命题人: 南海中学 钱耀周本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生务必填写好答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答案涂在答题卷的相应位置上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.一、选择题:本大题共8小题,

2、每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 复数(其中为虚数单位)的虚部为( ) A B C D2命题“,”的否定是( )A, B,C, D,3. 设向量,且,方向相反,则的值是( ) A B C D4. 下列四个函数中,最小正周期为,且图象关于直线对称的是( )A B C D图15已知三个正态分布密度函数(,)的图象如图所示,则( )A,B,C,D,6已知在上是奇函数,且满足,当时,则()A B C D7已知双曲线的中心在原点,一个焦点为,点在双曲线上,且线段的中点坐标为,则此双曲线的方程是( )A B C D8. 由无理数引发的数学危机一直延续到19世

3、纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割),并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集划分为两个非空的子集与,且满足,中的每一个元素都小于中的每一个元素,则称为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割,下列选项中,不可能成立的是( )A没有最大元素,有一个最小元素 B没有最大元素,也没有最小元素C有一个最大元素,有一个最小元素 D有一个最大元素,没有最小元素二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分）(

4、一)必做题(913题)9. 一支田径队有男运动员人,女运动员人,现按性别用分层抽样的方法,从中抽取位运动员进行健康检查,则男运动员应抽取_人.4434正视图侧视图俯视图图210.一个几何体的三视图(单位:)如图所示,则该几何体的体积是_.开始否输出结束是图311.某程序框图如图所示,该程序运行后,输出的值为,则等于_.12.若(),记,则的值为_.13.已知为平面内的一个区域.:点；:点.如果是的充分条件,那么区域的面积的最小值是_(二)选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）ABCDPO图414.(坐标系与参数方程选讲选做题)在直角坐标系中,已知曲线:(为参

5、数)与曲线:(为参数)相交于、两点,则线段的长为 .15.(几何证明选讲选做题)如图,、为的两条割线,若,则 .三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本题满分12分)设的内角所对边的长分别为,且.() 求的度数； () 若,求的面积.17.(本题满分12分)某中学校本课程共开设了共门选修课,每个学生必须且只能选修门选修课,现有该校的甲、乙、丙名学生.() 求这名学生选修课所有选法的总数；() 求恰有门选修课没有被这名学生选择的概率；() 求选修课被这名学生选择的人数的分布列和数学期望.18.(本题满分14分)如图,三棱柱中,平面平面,CC1B1

6、AA1BD图5与相交于点.() 求证:平面；() 求二面角的余弦值.19.(本题满分14分)已知各项均为正数的数列的前项和为,且().() 求的值及数列的通项公式； () 记数列的前项和为,求证:()；20.(本题满分14分)已知两点、,动点与、两点连线的斜率、满足.() 求动点的轨迹的方程；（）是曲线与轴正半轴的交点,曲线上是否存在两点、,使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在,请说明有几个；若不存在,请说明理由.21.(本题满分14分)已知函数,(其中).() 如果函数和有相同的极值点,求的值,并直接写出函数的单调区间；() 求方程在区间上实数解的个数.2015届七校第二次联考理科数学

7、参考答案与评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分题号12345678答案ABCCDAAC二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分必做题9； 10； 11； 12； 13.； 选做题14； 15.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.【解析】() 因为,所以, 2分又,所以,所以, 4分因为,所以. 6分() 在中, 由余弦定理可得,8分即,解得或(舍去) 10分所以 12分17.【解析】()每个学生有四个不同选择,根据分步计数原理,选法总数 2分 () 设“恰有门选修课没有被这名学生选择”为事件,则,即恰有门

8、选修课没有被这名学生选择的概率为.5分() 的所有可能取值为,且, , 9分所以的分布列为10分所以的数学期望.12分或:因为选修课被每位学生选中的概率均为,没被选中的概率均为.所以的所有可能取值为,且, , 9分所以的分布列为10分所以的数学期望.12分18.【解析】()依题意,侧面是菱形,是的中点,因为,所以,又平面平面,且平面,平面平面所以平面.5分()传统法由()知平面,面,所以,CC1B1AA1BDH第18题传统法图 又,所以平面,过作,垂足为,连结,则,所以为二面角的平面角. 9分在中,所以,12分所以,即二面角的余弦值是. 14分 向量法以为原点,建立空间直角坐标系如图所示, 6

9、分由已知可得 C1B1ACA1BDxzy第18题向量法图故, 则,8分设平面的一个法向量是,则,即,解得令,得11分显然是平面的一个法向量, 12分所以,即二面角的余弦值是.14分19.【解析】()当时,解得或(舍去) 2分当时,相减得,4分即,又,所以,则,所以是首项为,公差为的等差数列,故 6分() 证法一:当时, 7分当时,10分所以. 综上,对任意,均有成立.14分证法二:当时, 7分当时,先证,即证显然成立.所以10分所以, 综上,对任意,均有成立.14分20.【解析】()设点的坐标为(),则,2分依题意,所以,化简得,4分所以动点的轨迹的方程为().5分 注:如果未说明(或注),扣

10、1分.（）设能构成等腰直角,其中为,由题意可知,直角边,不可能垂直或平行于轴,故可设所在直线的方程为,(不妨设),则所在直线的方程为7分联立方程,消去整理得,解得,将代入可得,故点的坐标为.所以,9分同理可得,由,得,所以,整理得,解得或11分 当斜率时,斜率；当斜率时,斜率；当斜率时,斜率, 综上所述,符合条件的三角形有个.14分21.【解析】(),则, 1分令,得或,而二次函数在处有极大值,所以或,解得或； 4分当时,的递增区间为,递减区间为.5分当时,的递增区间为,递减区间为.6分(),8分令, 当即时,无实根,故原方程的解为,满足题意,即原方程有唯一实数解；9分 当即或时, 若,则的实数解为,故原方程在区间上有唯一实数解；若,则的实数解为,故原方程在区间上有两实数解,或；10分 当即或时,若,由于,此时在区间上有一实数解,故原方程有唯一实数解； 11分若时,由于,当即时,在区间上有唯一实数解,故原方程有一实数解；若即时,在区间上无实数解,故原方程有无实数解；13分综上,当时,原方程在上无实数解；当或时,原方程在上有唯一实数解；当时,原方程在上有两不等实数解.14分