电大数学思想与方法练习题小抄参考.doc
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1、数学思想与方法练习题一、 填空题:1、九章算术注重实用,不注意逻辑结构,采用“问题一答案一算法”的体例,即每章首先提出问题,然后给出答案,对有些问题给出解题的方法与计算步骤。2、算术解题方法的基本思想:首先要围绕所求的数量,收集和整理各种已知的数据,并依据问题的条件列出关于这些具体数据的算式,然后通过四则运算求得算式的结果。代数解题方法的基本思想是,首先依据问题的条件组成内含已知数和未知数的代数式,并按等量关系列出方程,然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值。它们区别在于算术解题参与的量必须是已经的量,而代数解题允许未知的量参与运算;算术方法的关键之处是列算式,而代数方法的关键之处列方程。3
2、、数学证明的功用:核实命题,理解命题,发现命题。4、康托尔集合理论的概括原则是集合是指满足某一条件p(x)的x 全体,即x| p(x)引起数学的第三次危机的根本原因是逻辑上矛盾的概括原则。5、请抽象概括出平面上从一点出发引条射线可以构成小于平角的角最多个数的计算公式 6、猜想具有两个显著的特点:具有一定的科学性;具有一定的推测性,即结论可能正确也可能错误。7、化归方法就是把待解决的问题通过某种转化过程归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题中,最终获得原问题解的一种手段和方法。8、计算是指根据已知数量通过数学方法求得未知数。计算的重要意义更加凸现,主要表现在以下几个方面:(1)、推动了数学的应
3、用;(2)、加快了科学的数学化进程;(3)促进了数学自身的发展。9、算法有多项式算法和指数型算法两大类10、数学模型是把某种事物系统的主要特征、主要关系抽象出来,用数学语言概括地或近似地表述出来的一种数学结构。数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一个近似的反映。数学模型可以分为概念型数学模型、方法型数学模型、结构型数学模型三类11、分类应遵循下列原则:不重复;无遗漏;按同一标准分类;按层次逐步分类。12、数形结合方法,是在研究数学问题时由数思形、见形思数、数形结合考虑问题的一种思想方法。13、学生理解数学思想方法要经历潜意识阶段、明朗化阶段、深化理解三个阶段。14、数学思想方法教学主要有
4、多次孕育、初步理解、简单应用三个阶段。15、数学知识与数学思想方法是贯穿在数学教材里的两条线。数学知识是一条明线,直接用文字明明白白地写在教材里,反映着知识间的纵向联系;数学思想方法则是一条暗线,反映着知识间的横向联系,常常隐藏在基础知识的背后,需要人们加以分析、提炼才能使之显露出来。16、为了处理17世纪的四类主要科学问题,牛顿和莱布尼兹分别以物理学和几何为背景用无穷小量方法建立了微积分。17、人们常常遇到两类截然不同的现象,一类是决定性现象,另一类是随机现象18、类比法是指由一类事物所具有的某种属性,可以推测与其类似的事物也具有该属性的一种推理方法。类比法是一种从特殊到特殊的推理方法,其结
5、论具有或然性。19、公理方法经历了具体的公理体系、抽象的公理体系和形式化的公理体系三个阶段。20、因为运用数学模型方法解决问题时,不是直接求出实际问题的解,因为这样做往往是行不通的或者花费过分昂贵。而是先将实际问题化归为一个合适的数学模型,然后通过求数学模型的解间接求出原实际问题的解,走的是一条迂回的道路。因此,我们说数学模型方法是一种迂回式化归。21、特殊化方法在数学教学中的应用大致有如下几个方面:利用特殊值(图形)解选择题;利用特殊化探求问题结论;利用特例检验一般结果;利用特殊化探索解题思路。22、已知两个瓶子所装酒精溶液重量相同,在一个瓶子中酒精与水的重量之比是p:1,在另一个瓶子中是q
6、:1,若把两瓶溶液混合在一起,则混合液中酒精与水的重量之比是 ( B ) (A) (B) (C) (D) 23、数学思想方法是联系知识与能力的纽带,是数学科学的灵魂,它对发展学生的数学能力,提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。具体表现在(1)掌握数学思想方法能更好地理解数学知识(2)数学思想方法对数学问题的解决有着重要的作用(3)加强数学思想方法的教学是以学生发展为本的必然要求。24、公理化的思想导源于古希腊,机械化的思想则贯穿于整个中国古代数学。数学机械化思想是我国古代数学的精髓,它与源于西方的公理化思想,对于数学的发展都发挥了巨大作用。25、法国的布尔巴基学派利用数学内在联系和公理化方
7、法从数学的各个分支中提炼出各种数学结构。从而用数学结构实现了数学的统一。26、公理化的意义:(1)它把数学带入了严密阶段。(2)它把逻辑的严密赋予了某些自然科学领域。(3)它体现了人类认识的主观能动性。27、从整个科学发展趋势来看,社会科学的数学化也是必然的趋势,其主要原因可以归结为有下面四个方面:第一,社会管理需要精确化的定量依据,这是促使社会科学数学化的最根本的因素。第二,社会科学的各分支逐步走向成熟,社会科学理论体系的发展也需要精确化。第三,随着数学的进一步发展,它出现了一些适合研究社会历史现象的新的数学分支。第四,电子计算机的发展与应用,使非常复杂社会现象经过量化后可以进行数值处理。2
8、8、数学问题的机械化就是要求在运算或证明过程中,每前进一步之后,都有确定的、必然选择的下一步,这样沿着一条有规律的、刻板的道路,一直达到结论。二、 简答题1、简述提高小学数学课堂教学效益应注意的几个问题?答:(1)激发学生学习数学的内在动机。在教学过程中,教师要重视数学思想方法的教学,使学生认识到数学的价值。(2)教师要研究学生,研究教材、用好教材。教师要认真研究教材、研究学生,对进入教材的现代数学观念要由浅入深、从感性到理性的形式逐步加以渗透。脱离学生实际的强调一次将概念讲深讲透,深挖洞做难题、怪题是不可取。用好教材,就是充分挖掘教材的教育资源,利用教材提供的范例开展合作学习。(3)认真研究
9、练习题的数量问题。教师要研究习题、精选习题,力求用较少的数学问题对学生进行思维训练达到收效最佳的作用。这样的问题应该设计得使学生参与的练习实践显多样化。题目可以是常规的,也可以是非常规的,在题中可以出现多余信息或缺少信息,或有多种答案等多种情况。让学生在练习中学会分析信息,利用信息去解决问题。(4)正确区分问题、习题、考题。充分挖掘数学问题的教育价值,规避习题、考题的负面效果。2、简述国家数学课程标准的几个主要特点。答2001年6月教育部推行了试用的九年义务教育阶段国家数学课程标准(实验稿),充分体现了数学课程改革与发展的内涵、特点和具体目标,并呈现下列八个特点:第一、把“现实数学”作为数学课
10、程的一项内容。即为学生准备的数学应该是与现实世界密切联系的数学,且能够在实际中得到应用的数学。第二、把“数学化”作为数学课程的一个目标。学生学习数学化的过程是将学生的现实数学进一步提高、抽象的过程。 第三、把“再创造”作为数学教育的一条原则。把“已完成的数学”当成是“未完成的数学”来教,给学生提供“再创造”的机会。 第四、把“问题解决”作为数学教学的一种模式。数学课程标准在“学段目标”中的“解决问题”方面的具体阐述,实际上提出了“问题解决”的教学模式,即:情境问题探索结论反思。 第五、把“数学思想方法”作为课程体系的一条主线。要求学生掌握基本的数学思想方法。 第六、把“数学活动”作为数学课程的
11、一个方面。强调学生的数学活动,注重“向学生提供充分从事数学活动的机会”,帮助他们“获得广泛的数学活动的经验”。第七、把“合作交流”看成学生学习数学的一种方式。要让学生在解决问题的过程中“学会与他人合作”,并能“与他人交流思维的过程和结果”。第八、把“现代信息技术”作为学生学习数学的一种工具。3、以教学“循环小数”的概念为例,说明抽象过程的三个基本环节的具体情况。提示:(1)把“都有无限多个数位”这一现象分离出来;(2)提纯“从某一小数位起,一个或几个数字依次不断地重复出现”这一共同属性;(3)简略即给出定义(略)。4、在平面上从一点出发引出3条射线,可以构成小于平角的角最多有多少个?引4条呢?
12、5条呢?请你抽象概括出平面上从一点出发引条射线可以构成小于平角的角最多个数的计算公式。提示:。5、有一个正方体的表面积涂满了红色,在它的每个面上切两刀,可得27个小正方体,凡是切面都是白色的。问小正方体中三面红的有几块?两面红的有几块?一面红的有几块?各面都是白的有几块?提示:设切的刀数为,那么三面红的块数是8,两面红的块数为,一面红的块数为,各面都是白的块数为。6、叙述类比推理的形式。如何提高类比的可靠性?答类比推理通常可用下列形式来表示:A具有性质B具有性质因此,B也可能具有性质。其中,分别相同或相似。欲提高类比的可靠性,应尽量满足条件:(1)A与B共同(或相似)的属性尽可能地多些;(2)
13、这些共同(或相似)的属性应是类比对象A与B的主要属性;(3)这些共同(或相似)的属性应包括类比对象的各个不同方面,并且尽可能是多方面的;(4)可迁移的属性d应该是和属于同一类型。符合上述条件的类比,其结论的可靠性虽然可以得到提高,但仍不能保证结论一定正确。7、试比较归纳猜想与类比猜想的异同。答归纳猜想与类比猜想的共同点是:他们都是一种猜想,即一种推测性的判断,都是一种合情推理,其结论具有或然性,或者经过逻辑推理证明其为真,或者举出反例予以反驳。归纳猜想与类比猜想的不同点是:归纳猜想是运用归纳法得到的猜想,是一种由特殊到一般的推理形式,其思维步骤为“特例归纳猜测”。类比猜想是运用类比法得到的猜想
14、,是一种由特殊到特殊的推理形式,其思维步骤为“联想类比猜测”。8、算法有哪几个特点?答:算法具有下列特点:(1)有限性;即一个算法必须在有限步之内终止。(2)确定性;即算法的每一步都有精确的定义,而且动作的规定是严格无歧义的。(3)输入;即算法在运行前一般要具备初始信息或者初始数据。(4)输出;即算法在终止时一般应有确定的结果,并且输出信息与输入信息之间存在着一定的逻辑关系。(5)有效性;如果使用一个算法从它的初始数据出发,能够得到最终结果,那么这个算法对于这些初始数据而言就是有效的;如果对某些数据而言虽然可以应用某一算法,但是却得不到结果,那么该算法对这些初始数据而言就是无效的。9、简述算法
15、的意义。答:算法具有非常重要的意义。数学中的许多问题都可以归结为寻找算法或判断有无算法的问题,因此,算法对数学中的许多问题的解决有着决定性作用。另外,算法在日常生活、社会生产和科学技术中也有着重要意义。算法在科学技术中的意义主要体现在如下几个方面:(1)用于表述科学结论的一种形式;(2)作为表述一个复杂过程的方法;(3)减轻脑力劳动的一种手段;(4)作为研究和解决新问题的手段;(5)作为一种基本的数学工具。10、简述数学教学中引起“分类讨论”的原因。答数学教学中引起“分类讨论”的原因有:数学中的许多概念的定义是分类给出的,因此涉及到这些概念时要分类讨论。数学中有些运算性质、运算法则是分类给出的
16、,进行这类运算时要分类讨论。有些几何问题,根据题设不能只用一个图形表达,必须全面考虑各种不同的位置关系,需要分类讨论。许多数学问题中含有字母参数,随着参数取值不同,会使问题出现不同的结果。因此需要对字母参数的取值情况进行讨论。11、什么是数形结合方法?答数形结合方法,是在研究数学问题时由数思形、见形思数、数形结合考虑问题的一种思想方法。12、为什么数形结合方法在数学中有着非常广泛的应用?答因为数学研究的是现实世界的数量关系和空间形式,而现实世界本身是同时兼备数与形两种属性的,既不存在有数无形的客观对象,也不存在有形无数的客观对象。因此,在数学发展的进程中,数和形常常结合在一起,在内容上互相联系
17、,在方法上互相渗透,在一定条件下互相转化。充分运用数形结合方法解决数学问题,对于沟通代数、三角、几何各分支之间的联系,提高分析问题、解决问题的能力具有重要作用。正是数与形之间的内在联系,决定了数形结合方法在数学中有着非常广泛的应用。13、叙述特殊化的含义,并举例说明。答所谓特殊化是指在研究问题时,从对象的一个给定集合出发,进而考虑某个包含于该集合的较小集合的思想方法。举例略。14、描述用特殊化解决问题的过程。答可用框图表示。见教材中图10-3-1。15、特殊化方法在数学教学中有哪些应用?答特殊化方法在数学教学中的应用大致有如下几个方面:利用特殊值(图形)解选择题;利用特殊化探求问题结论;利用特
18、例检验一般结果;利用特殊化探索解题思路。16、试述小学数学加强数学思想方法教学的重要性。答数学思想方法是联系知识与能力的纽带,是数学科学的灵魂,它对发展学生的数学能力,提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。具体表现在:(1)掌握数学思想方法能更好地理解数学知识。(2)数学思想方法对数学问题的解决有着重要的作用。(3)加强数学思想方法的教学是以学生发展为本的必然要求17、简述数学思想方法教学应注意哪些事项?答:数学思想方法教学应注意以下事项:(1)把数学思想方法的教学纳入教学目标;(2)重视数学知识发生、发展的过程,认真设计数学思想方法教学的目标;(3)做好数学思想方法教学的铺垫工作和巩固工作
19、;(4)不同数学思想方法应有不同的教学要求;(5)注意不同数学思想方法的综合应用。18、数学机械化的含义是什么?简单叙说数学机械化的意义。答:数学问题的机械化就是要求在运算或证明过程中,每前进一步之后,都有确定的、必然选择的下一步,这样沿着一条有规律的、刻板的道路,一直达到结论。数学机械化的意义在于:(1)数学机械化与公理化一样,对于数学的发展具有巨大现在意义。数学机械化使得一些数学分支成为重要的研究方向,甚至成为数学的主流。这是因为,抽象的数学概念和结论,往往难于掌握和运用。当把抽象的概念变成具体可算的过程,将易于接受和适宜应用。运用机械化思想考察数学,将引导数学家重新认识数学对象,建立新的
20、模式,从而发现新的结论。(2)数学机械化对于数学发展历程的认识具有深渊的历史意义。公理化的思想导源于古希腊,机械化的思想则贯穿于整个中国古代数学。数学机械化思想是我国古代数学的精髓,它与源于西方的公理化思想,对于数学的发展都发挥了巨大作用。19、简单叙说哥德尔不完备性定理对数学产生的影响。答:(1)它推翻了数学的所有重要领域能被完全公理化这个强烈的信念。(2)它摧毁了沿着希尔伯特曾设想的路线证明数学的内部相容性的全部希望。(3)它对数学基础研究及数理逻辑的现代发展产生了重大的影响。(4)它导致了重新评价某些普遍认可的数学哲学。20、什么是统一性和数学的统一性?法国的布尔巴基学派是如何来实现数学
21、的统一?答:所谓统一性,就是部分与部分、部分与整体之间的协调一致。数学的统一性是客观世界统一性的反映,是数学中各个分支相固有的内在联系的体现。它表现为数学的各个分支相互渗透和相互结合的趋势。法国的布尔巴基学派利用数学内在联系和公理化方法从数学的各个分支中提炼出各种数学结构。从而用数学结构实现了数学的统一。21、简单说明社会科学数学化的主要原因?答:从整个科学发展趋势来看,社会科学的数学化也是必然的趋势,其主要原因可以归结为有下面四个方面:第一,社会管理需要精确化的定量依据,这是促使社会科学数学化的最根本的因素。第二,社会科学的各分支逐步走向成熟,社会科学理论体系的发展也需要精确化。第三,随着数
22、学的进一步发展,它出现了一些适合研究社会历史现象的新的数学分支。第四,电子计算机的发展与应用,使非常复杂社会现象经过量化后可以进行数值处理。22、简单叙说科学证明的结果与数学证明的结果的区别。答:科学证明依赖于观察、实验和理解力,因此经其证明的结果存在着可疑成分,并且常常随着时间的推移,这些结果可能会被拓展或否定。数学证明是以一些基本概念和基本公理为基础,使用合乎逻辑的推理去决定判断是否正确。它依赖于逻辑,是演绎证明,因此经其证明的结果具有绝对性,经得起时间的考验。23、叙说变量数学产生的基本过程。答:第一、解析几何的产生两位法国数学家笛卡尔和费尔马从不同的角度建立了解析几何,费尔马从方程出发
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