概率论简述及概率论在产品检查、彩票和保险中的应用毕业论文（设计）.doc

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1、云 南 财 经 大 学学生毕业论文（设计）题目： 概率论简述及概率论在产品检查、彩票和保险中的应用院（系）： 统计与数学学院 专业： 数学与应用数学 班级： 0761201001 (经基10-1) 学号： 201005001232 2014 年4月云南财经大学本科毕业论文（设计）原创性及知识产权声明本人郑重声明：所呈交的毕业论文（设计）是本人在导师的指导下取得的成果。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。因本毕业论文（设计）引起的法律结果完全由本人承担。本毕业论文（设计）成果归云南财经大学所有。 特此声明毕业论文（设计）作者签名：作者专业：数学与应用数学作者

2、学号：201005001232 年 月 日云南财经大学本科学生毕业论文（设计）开题报告表论文（设计）名称概率论简述及概率论在产品检查、彩票和保险中的应用论文（设计）来源自选论文（设计）类型B导 师学生姓名学 号201005001232专 业数学与应用数学 文献综述（包括调研资料的准备和收集）概率论同其他数学分支一样，是在一定的社会条件下，通过人类的社会实践和生产活动发展起来的一种智力积累今日的概率论被广泛应用于各个领域，已成为一棵参天大树，枝多叶茂，硕果累累。正如钟开莱1974年所说：“在过去半个世纪中，概率论从一个较小的、孤立的课题发展为一个与数学许多其它分支相互影响、内容宽广而深入的学科。

3、”概率论发展的每一步都凝结着数学家们的心血，正是一代又一代数学家的辛勤努力才有了概率论的今天。参考文献1李文林.数学史教程(M). 高等教育出版社,2000,8.2张奠宙.数学史选讲(M). 上海科学技术出版社，1998.2.3Richard A .Epstein.赌博的理论和统计的逻辑（M）.Academic press,1987.4王梓坤.科学发现纵横谈(M).北京师范大学出版社,1996,6.5徐传胜.运用实际问题改进概率统计教学J.数学教育学报,2000,11(4)6李贤平，概率论基础（第二版），高等教育出版社7秀林，任雪松，多元统计分析，中国统计出版社，1998.88卢文岱，SPSS

4、FORWINDOWS统计分析，电子工业出版社,2002.9 目前国内选题意义（包括选题的理论价值和实践意义）概率作为数学的一个重要部分，在生活中的应用越来越广，同样也在发挥着越来越广泛的用处。加强数学的应用性，让学生用数学知识和数学的思维方法去看待，分析，解决实际生活问题，在数学活动中获得生活经验。这是当前课程改革的大势所趋。加强应用概率的意识，不仅仅是学习的需要，更是工作生活必不可少的。人类认识到随机现象的存在是很早的，但书上讲的都是理论知识，我们不仅仅要学好理论知识，应用理论来实践才是重中之重。学好概率论，并应用概率知识解决现实问题已是我们必要的一种生活素养。研究方法（包括研究思路及技术路

5、线） 将生活中的现象转化为概率论问题进行计算和研究。时间进度（任务完成的阶段内容及时间安排）2013年11月下旬，确定论文选题；2013年12月中旬，提交论文大纲；2014年1月3日前，向指导教师提交获准开题的开题报告（纸质，一份）； 2014年12月，收集毕业论文资料；2014年3月，撰写毕业论文的初稿，并根据指导教师的要求对毕业论文初稿进行修改；2014年4月24日前，毕业论文定稿。各指导教师向教务科提交论文定稿学术检验电子文档；2014年4月25日，反馈检验结果；2014年4月27日，各指导教师向论文答辩组提交同意参加论文答辩的学生论文文本；2014年5月初，举行毕业论文答辩。指导教师意

6、见 指导教师签名： 日期：教研室意见教研室主任签名： 日期：院（系）意见 院（系）领导签名： 日期：院（系）盖章论文（设计）来源：导师课题、社会实践、自选、其他论文（设计）类型：A理论研究；B应用研究；C软件设计等；目录原创性及知识产权声明I本科学生毕业论文（设计）开题报告表II中文摘要及关键词V英文摘要及关键词VI一、绪论1二、概率论课程简述2（一）随机事件与概率2（二）随机变量及其分布4（三）大数定律与中心极限定理5三、概率论在生活中的应用8（一）在产品检查中的应用8（二）在彩票中的应用9（三）在保险中的应用11参考文献13致谢14摘要概率论是数学类的一门基础学科，也是一个重要的分支。概率

7、论的学习可以为很多课程的学习打下基础，是大学学习中一门很基础，也是很重要的基础学科。概率论有着几百年的发展史，在这几百年的发展过程中有无数的数学家为概率论添砖加瓦，使得有了我们今天学习的一整套完备的概率论理论。本文将从随机事件与概率、随机变量及其分布、大数定律与中心极限定理三个方面，对概率论这门课程进行简要概述。然后我在文中列举了三个例子，通过这三个例子说明了概率论在产品检查、彩票和保险中的应用。关键词：概率论随机事件随机变量大数定律AbstractProbability theory is a kind of basic disciplines of mathematics, is also

8、 an important branch. Probability theory can lay the foundation for a lot of learning to learn courses in a university study is very basic, but also very important basic disciplines. Probability theory has a history of hundreds of years, there are countless mathematicians of probability theory contr

9、ibute to the development of hundreds of years in this process, so that the probability that we have a complete set of learning today Theory. However, it is known in the university study, our main courses to learn the theory and methods to grasp the basic idea of the main course. So, in order to lear

10、n the theory of probability, we must make a combination of probability theory and life, good observation and discovery in life phenomenon of probability theory, learn to use probability theory to solve some of the problems encountered in daily life. Only then will we truly learn probability theory,

11、probability theory to understand.Keywords：Probability Theory Random events Random probability Law of Large Numbers概率论简述及概率论在产品检查、彩票和保险中的应用一、绪论概率论是一门研究客观世界的随机现象和规律性的科学，它是数学的一个重要分支，也是很多专业课程的基础。它的应用范围很广，例如工程类、金融类、经济类和保险类等。概率论的发展历史很悠久，要追溯到三四百年前的欧洲国家。在三四百年前的欧洲，赌博之风盛行，而掷骰子是他们常用的赌博方法，因为他们认为骰子有六个面，每个面分别对应一到

12、六个点数，而且每个面朝上即每个点数出现的可能性是相同的，所以，他们认为掷骰子的赌博对于每个人都是公平的。但是，在十七世纪中叶，有一位贵族叫德梅尔，他很热衷于掷骰子的赌博形式，他发现了这样一种现象：将一枚骰子连续掷四次，至少出现一次六点的机会比较多；如果是连续掷两枚骰子二十四次，那么，至少一次两枚骰子都出现六点的机会较少。这就是著名的德梅尔问题。后来，计算赌博可能性大小的问题很多，但是，这些问题都没有得到解答，直到法国数学家帕斯卡和费尔马还有荷兰科学家惠更斯的出现。一开始，参赌者们把赌博中的问题拿去请教帕斯卡，他也一一接受了这些问题，但是帕斯卡没有立即回答他们的问题，而是把这些问题又一一传达给了

13、费尔马，就这样，帕斯卡和费尔马开始频繁的交流和研究。在帕斯卡和费尔马的研究过程中，赌博问题引起了荷兰科学家惠更斯的注意，自此，惠更斯开始自己独立进行赌博问题的研究。最后，帕斯卡和费尔马解决了赌博中的“分赌注”问题，而惠更斯则解决了掷骰子中的一些数学问题，并将他的研究成果写成了专著论掷骰子游戏中的计算，这本著作迄今为止被认为是概率论的最早著作。换句话说，是帕斯卡、费尔马和惠更斯为我们打开了概率论的大门。再到后面，为概率论做出贡献的则是瑞士数学家族贝努力家族的几位成员，他们的研究成果中我们最熟悉的当属“大数定律”了。再往后发展，为概率论做出巨大的数学家数不胜数，正式因为他们持之以恒的发现和研究，才

14、有了我们今天一整套的完备的概率论。在概率论这门课程中，我们会学到很到关于概率的基本概念、基本公式和基本原理等。从而使我们能够掌握概率论这门课的基本思想和基本方法，以便使我们掌握发现问题和解决问题的能力。概率论是数学类课程中很基础的课程，但也是很重要的一门课程，学好概率论会使我们受益匪浅。但是，我们必须认识到的一点是：大学中概率论的学习注重的是理论、方法和思想，在实践方面还很欠缺。所以，我们在学好概率论这门课程的同时，也要善于观察生活中的概率论现象，能够使概率论与我们的生活相联系。这样，不仅能够使我们更好的学好概率论这门课，还可以找到解决一些生活难题的方法，可谓是一举两得。二、概率论课程简述（一

15、）随机事件与概率在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象，也就是说随机现象的结果不止一个且哪一个结果出现，人们事先并不知道。随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件。事件间的关系包括包含关系，记为,或；相等关系，记为;互不相容,用概率论的语言说：与互不相容就是事件与事件不可能同时发生。概率的公理化定义为：设为一个样本空间，为的某些子集组成的一个事件域。如果对任一事件,定义在上的一个实值函数满足：（1）非负性定理；（2）正则性公理；（3）可列可加性公理。则称为事件的概率，称三元素（，,）为概率空间。概率的公理化定义刻画了概率的本质，概率是集合（事件）的函数，若在事件域上

16、给出一个函数，当这个函数能满足上述三条公理，就被称为概率；当这个函数不能满足上述三条公理任一条，就被认为不是概率。 茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计（第二版）(M).高等教育出版社.2011.2.公理化定义没有告诉人们如何去确定概率，历史上在公理化定义出现之前，概率的频率定义、古典定义、几何定义和主观定义都在一定的场合下，有着各自确定概率的方法。利用概率的公理化定义，可以导出概率的一系列性质。接下来，我将介绍一下概率的常用性质。首先，在概率的正则性中说明了必然事件的概率为1，那么可想而知，不可能事件 的概率应该为。概率具有有限可加性，若有限个事件,互不相容，则有.对任一事件，有 。概率

17、具有单调性，可以想象：当被包含时（即发生必然导致发生）,说明事件比事件更容易发生，那么的概率不应该比的概率大。若,则。条件概率、全概率和贝叶斯公式是 概率的重要组成部分。所谓条件概率，它是指在某时间发生的条件下，求另一事件的概率，记为，它与发生的概率是不同的两类概率。设与是样本空间中的两事件，若,则称为“在发生下的条件概率”，简称条件概率。全概率公式是概率论中的一个重要公式，它提供了计算复杂事件概率的一条有效途径，使一个复杂事件的概率计算问题化繁为简。设, 为样本空间的一个分割，即,互不相容，且，如果，i=1,2，n，则对任一事件有。在乘法公式和全概率公式的基础上立即可推得一个很著名的公式，那

18、就是贝叶斯公式。设, 为样本空间的一个分割，即,互不相容，且，如果，, i=1,2，n，则，i=1,2，n。独立性是概率论中又一个重要概念，利用独立性可以简化概率的计算。两个事件的独立性是指：一个事件的发生不影响另一个事件的发生。这在实际问题中是很多的，譬如在掷两颗骰子的试验中，记事件为“第一颗骰子的点数为1”，记事件为“第二颗骰子的点数为4”。则显然与的发生是相互不影响的。另外，从概率的角度看，事件的条件概率为与无条件概率的差别在于：事件的发生改变了事件发生的概率，也即事件对事件有某种“影响”。如果事件与的发生是相互不影响的，则有=和,它们都等价于。（二）随机变量及其分布在随机现象中有很多样

19、本点本身就是用数量表示的，由于样本点出现的随机性，其数量呈现为随机变量，譬如掷一颗骰子，出现的点数是一个随机变量；每天进入某超市的顾客数，顾客购买商品的件数，顾客排队等候付款的时间，这里，,是三个不同的随机变量。定义在样本空间上的实值函数成为随机变量。这个定义表明：随机变量是样本点的一个函数，这个函数可以是不同样本点对应不同的实数，也允许多个样本点对应同一个实数。这个函数的自变量（样本点）可以使数，也可以不是数，但因变量一定是实数。设是一个随机变量，对任意实数，称为随机变量的分布函数，且称服从 ，记为。分布函数具有单调性，有界性和右连续性的特征，这个基本性质成为判别某个函数是否能成为分布函数的

20、充要条件。连续随机变量的一切可能取值充满某个区间，在这个区间内有无穷不可列个实数，因此描述连续随机变量的概率分布不能再用分布列式表示，而是要改用概率密度函数表示。设随机变量的分布函数为，如果存在实数轴上的一个非负可积函数，使得对任意实数有，则称为的概率密度函数，简称为密度函数，或称密度，密度函数具有非负性和正则性。在前面的绪论中我曾提到数学期望来解决分赌注问题，那何为数学期望呢？数学期望的定义根据分布函数和密度函数有两种，一种为设离散随机变量的分布列为，i=1,2，n,如果，则称为随机变量的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值。第二种为设连续随机变量的密度函数，如果，则称为的数学期

21、望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值。设随机变量的均值为，的取值当然不一定恰好是，会有偏差。偏离的量有正有负，为了不使正负偏离彼此抵消，我们一般考虑，而不去考虑数学上难以处理的绝对值 。因为仍是一个随机变量，所以取其均值就可以刻画的“波动”程度，这个量被称作额方差。若随机变量的数学期望存在，则称偏差平方为随机变量（或相应分布）的方差，记为,为随机变量（或相应分布）的标准差，记为,或。如果随机变量的数学期望存在，其方差不一定存在；而的方差存在时，则必定存在。（三）大数定律与中心极限定理（1） 伯努利大数定律设为重伯努利试验中事件发生的次数，为每次试验中出现的概率，则对任意的,有。（2） 切

22、比雪夫大数定律设为一列亮亮不相关的随机变量序列，若每个的方差存在，且有共同的上界，即，i=1,2，则服从大数定律，即对任意的，成立。切比雪夫大数定律只要求互不相关，并不要求它们是同分布的。因此，我们很容易推出：如果是独立同分布的随机变量序列，且方差有限，则必定服从大数定律。伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例。（3） 马尔可夫大数定律对随机变量数列，若成立，则服从大数定理，即对任意的，成立。马尔可夫大数定律的重要性在于：对已经没有任何同分布、独立性、不相关的假定。切比雪夫大数定律显然可由马尔可夫大数定律推出。 （4） 辛钦大数定律设为一独立同分布的随机变量序列，若的数学期望存在，则服从大数定

23、律，即对任意的，成立。辛钦大数定律提供了求随机变量数学期望的近似值的方法。中心极限定理就是研究随机变量和的极限分布在什么条件下为正态分布的问题。（1）林德伯格-莱维中心极限定理设是独立同分布的随机变量序列，且，存在，若记，则对任意实数，有 。（2）棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理设重伯努利试验中，事件在每次试验中出现的概率为，记为此试验中事件出现的次数，且记，则对任意实数，有。上述两个中心极限定理，都是在独立同分布的条件下成立的。（3）林德伯格中心极限定理说到林德伯格中心极限定理，我们必须先明确的是林德伯格条件。林德伯格条件为：只要对任意的，有,其中,。林德伯格中心极限定理：设独立随机变量序列满足

24、林德伯格条件，则对任意的，有。(4)李雅普诺夫中心极限定理设为独立随机变量序列，若存在，满足，则对任意的，有，与如前所述。上述两个中心极限定理，是在独立不同分布下成立的。三、概率论在生活中的应用（一）在产品检查中的应用例：一批产品共有件，其中件是不合格品，件是合格品。从中随机取出件，试求事件“取出的件产品中有件不合格品”的概率。解 先计算样本空间中样本点的总数：从件产品中任取件，因为不讲次序，所以样本点的总数为。又因为是随机抽取的，所以这个样本点是等可能的。下面我先计算事件,概率，然后再计算 的概率。因为事件=“取出的n件产品中有0件不合格产品”=“取出的件产品全是合格品”，这意味着取出的件产

25、品全是从件合格品中抽取，所以有种取法，故的概率为。事件=“取出的n个产品中有一件不合格品”，要使取出的件产品中只有1件不合格品，其他件是合格品，那么必须分两步进行：第一步，从 件不合格品种随机取出1件，共有 种取法。第二步，从件合格品中随机取出件，共有种取法。所以根据乘法原理，中共有个样本点。故的概率为。有了以上对，的分析，我们就容易计算一般事件中含有的样本点个数：要使发生，必须从件不合格品中抽m件，再从件合格品中抽件，根据乘法原理，含有个样本点，由此得的概率为 ，m=0,1,2，r，。（二）在彩票中的应用例：一种福利彩票称为幸运35选7，即购买时从01,02，35中任选7个号码，开奖时从01

26、,02，35中不重复地选出7个基本号码和一个特殊号码，中各等奖的规则如下：表一：幸运35选7的中奖规则中奖级别中奖规则一等奖二等奖三等奖四等奖五等奖六等奖七等奖7个基本号码全中中6个基本号码及特殊号码中6个基本号码中5个基本号码及特殊号码中5个基本号码中4个基本号码及特殊号码中4个基本号码，或中3个基本号码及特殊号码试求各等奖的中奖概率。解 因为不重复地选号码是一种不放回抽样，所以样本空间含有个样本点。要中奖应把抽取看成是在三种类型中抽取：第一类号码：7个基本号码第二类号码：1个特殊号码第三类号码：27个无用号码可得可得各等奖的中奖概率如下：，。若记A为事件“中奖”，则为事件“不中奖”，且由可

27、得 ， 。这说明：一百个人中约有3人中奖，而中头奖的概率只有，即两千万个人中约有3人中头奖。因此购买彩票要有平常心，期望值不宜过高。（三）在保险中的应用目前,保险问题在我国是一个热点问题。保险公司为各企业、各单位和个人提供了各种各样的保险保障服务,人们总会预算某一业务对自己的利益有多大,会怀疑保险公司的大量赔偿是否会亏本。下面以中心极限定理说明它在这一方面的应用。例：已知在某人寿保险公司有2500个人参加保险,在一年里这些人死亡的概率为0.001,每人每年的头一天向保险公司交付保险费12元,死亡时家属可以从保险公司领取2000元保险金,求:(1)保险公司一年中获利不少于10000元的概率;(2

28、)保险公司亏本的概率。解设一年中死亡的人数为,死亡率为,把考虑2500人在一年里是否死亡看成2500重伯努利试验,则 保险公司每年收入为，付出元，则根据中心定理得:(1) 所求概率为： （2）所求概率为： 经上述计算可知一个保险公司亏本的概率几乎为0，这也是保险公司乐于开展业务的一个原因。 百度文库.概率论在保险中的应用概率论在生活中的应用还有很多，以上的三种只是我们生活中比较常见的几种，但从以上三方面的例子我们可以得出以下三个结论。一是在生产活动中凡是涉及到产品检验时，我们可以利用概率论中的放回抽样来检验产品的合格率或是残次品率，因为这样既达到了检验目的又节约了时间和劳动力，可以很高程度的提

29、高生产效率，创造更高的效益。二是大家不要抱着靠彩票发财的心理去购买彩票，因为从上面的计算中我们可以看出中奖率是极低的。如果把买彩票当作是一种发财的方式沉迷其中，最后受打击和失望的只能是你自己。三是保险业毕竟还是一个盈利的行业，虽然，保险推销员在向你推销保险时会告诉你有巨额的赔偿金，但是从上述计算可以看出，保险公司是不会亏本的。所以，大家在购买保险时要理智思考，不要盲目听到巨额的保险赔偿后就毫不犹豫的出钱购买。参考文献1茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计(第二版)(M).高等教育出版社.2011.2.2李文林.数学史教程(M). 高等教育出版社,2000,8.3张奠宙.数学史选讲(M).

30、上海科学技术出版社，1998.2.4Richard A .Epstein.赌博的理论和统计的逻辑（M）.Academic press,1987.5王梓坤.科学发现纵横谈(M).北京师范大学出版社,1996,6.6徐传胜.运用实际问题改进概率统计教学J.数学教育学报,2000,11(4).7李贤平.概率论基础（第二版）(M).高等教育出版社.8秀林，任雪松.多元统计分析(M).中国统计出版社，1998.8.9卢文岱.SPSSFORWINDOWS统计分析(M).电子工业出版社.2002.9.10杨振明.概率论（第二版）(M).高等教育出版社.2008.致谢 伴随着毕业论文的结束，我的大学四年的生活也即将画上句号，在这个过程中我要感谢的人很多。从论文题目的确定到最后的完成，附注了我和我的导师赵云河老师的汗水，尤其是我的指导老师赵云河老师，我由衷的向您表示感谢，正是因为您的订正和指导才使我认识到论文的严谨性，从而让我更加认真的进行论文研究。同时，我也由衷的感谢在这大学四年中教导我的所有老师，正是因为你们的谆谆教导才有现在的我。最后，我要感谢陪我一起度过大学四年的同学们，感谢你们在这四年中对我的帮助。 由于本人水平有限，文中疏漏不当之处在所难免，敬请各位老师批评指正！