概率论与数理统计教案1.doc

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1、概率论与数理统计教案1概率论与数理统计教案 讲 稿第一章 概率论的基本概念 一、基本概念1. 随机试验2. 样本空间试验所有可能结果的全体是样本空间称为样本空间。通常用大写的希腊字母W表示（本书用S表示）每个结果叫一个样本点.3随机事件W中的元素称为样本点，常用w表示。(1) 样本空间的子集称为随机事件(用A,B表示)。(2) 样本空间的单点子集称为基本事件。(3) 实验结果在随机事件A中，则称事件A发生。(4) 必然事件W。(5) 不可能事件F。(6) 完备事件组（样本空间的划分）4概率的定义（公理化定义）5古典概型随机试验具有下述特征：1）样本空间的元素（基本事件）只有有限个；2）每个基本

2、事件出现的可能性是相等的；称这种数学模型为古典概型。P(A)=kn=A包含的基本事件数基本事件总数 =。6几何概型 p(A)=7条件概率设事件B的概率p(B)0.对任意事件A，称P(A|B)=件下事件发生的条件概率。8条件概率的独立性 P(AB)P(B)A的长度（面积、体积）W的长度（面积、体积） 为在已知事件发生的条A、B F,若P(AB)= P(A) P(B) 则称事件A、B是相互独立的，简称为独立的。 设三个事件A,B,C满足P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B) P(C) 称A,B,C相互独立。二、事件的关系的

3、关系与运算.事件的包含关系若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含了A， 记作AB。. 事件的相等设A,BW,若AB，同时有BA，称A与B相等，记为A=B，.并(和)事件与积(交)事件“A与B中至少有一个发生”为A和B的和事件或并事件。记作AB .“A与B同时发生”这一事件为A和B的积事件或交事件。记作AB或AB .差事件“A发生B不发生”这一事件为A与B的差事件，记作A-B.对立事件称“W-A”为A的对立事件或称为A的逆事件，记作A。-AA=A AA=F.互不相容事件（互斥事件）若两个事件A与B不能同时发生，即AB=F，称A与B为互不相容事件（或互斥事件）。 .事件的运算法则1)交换律

4、 AB=BA,AB=BA2)结合律 (AB)C=A(BC),(AB)C=A(BC)3)分配律 (AB)C=(AC)(BC)(AB)C=(AC)(BC)4)对偶原则 AB=AB ，AB=AB三、常用公式1.加法公式（1）对任意两个事件A、B，有P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)（2）对任意三个事件A、B，Cp(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-p(AB)-p(AC)-p(BC)+p(ABC)2.减法公式若AB 则P(B-A)= P(B)-P(A); P(B)P(A)P(A-B)= P(A)-P(AB)3.对立事件概率公式对任一随机事件A，有 P（A）=1-P（A）；4.乘法公式当p

5、(A)0时: p(AB)=p(A)P(B|Ap(ABC)=p(A)P(B|A)p(C|AB)5全概率公式n定理1：设 B1,B2,L,Bn是 一列互不相容的事件，且有Bi=W,对任何事件A，i=1n有P(A)= P(Bi)P(ABi)i=16、贝叶斯公式n定理2：若B1,B2,L,Bn是一列互不相容的事件，且Bi=Wi=1则对任一事件A有p(Bi|A)=p(Bi)p(A|Bi)nj=1p(Bj)p(A|Bj)两个公式的相同点：相关问题都有两个阶段；两个公式的不同点：全概率公式用于求第二阶段某事件发生的概率，“由因求果”贝叶斯公式用于已知第二阶段的结果，求第一阶段某事件发生的概率，“由果求因”7

6、.贝努里概型-贝努里试验:若试验E只有两个可能的结果A及A，称这个试验为贝努里试验。 贝努里概型设随机试验E具有如下特征：1）每次试验是相互独立的；2）每次试验有且仅有两种结果：事件A和事件A；3）每次试验的结果发生的概率相同 p(A)=p0 p(A)=1-p=q称试验E表示的数学模型为贝努里概型。若将试验做了n次，则这个试验也称为n重贝努里试验。记为E。kkn-k设事件A在n次试验中发生了X次，则PX=k=Cnp(1-p),k=1,2,L,n n四、举例例1.已知p(AB)=p(AB)，p(A)=p，求p(B)【解】 p(AB)=p(AB)=p(AB)=1-p(A)+p(B)-p(AB)p(

7、B)=1-p例2.已知p(A)=p(B)=p(C)=个发生的概率。【解】 p(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-p(AB)-p(AC)-p(BC)+p(ABC) 141414185814,p(AB)=p(BC)=0,p(AC)=18,求A,B,C至少有一 =+-0-0+0=例3.（摸球模型不放回用组合问题求解）在盒子中有6个球，4个白球、2个红球，从中任取两个（不放回）。求取出的两个球都是白球的概率，两球颜色相同的概率，至少有一个白球的概率。【解】设A：两个球都是白球，B：两个球都是红球，C：至少有一个白球基本事件总数为C6=15A的有利样本点数为C42=6, P(A)=6/15=2/5

8、B的有利样本点数为C2=122, P(B)=1/15P(A+B)=P(A)+P(B)=7/15P(C)=1-P(B)=14/15例4. （摸球模型有放回用二项分布求解）在上题中，取球方法改成有放回，结果如何？【解】用X表示取到白球数4222P(A)=pX=2=C21-= 93320P(B)= 022102pX=0=C21-=339P(A+B)=P(A)+P(B)=5/9P(C)=1-P(B)=8/9例5（抽签原理）有a个上签，b个下签，2个人依次抽签，采用有放回与无放回抽签，证明每个人抽到上签的概率都是aa+b【证】放回抽样结论是显然的；不放回可用全概率公式证明p=aa+b12例6：（几何概型

9、）在区间(0, 1)中随机地取两个数, 则两数之差的绝对值小于_【解】以x和y分别表示甲乙约会的时间，则 W=(x,y)|0x1,0y1两人到会面出时间差不超过15分钟A=(x,y)0x1,0y0,P(A|B)=1，则必有(A) P(AB) ) (B) P(AB)P(B) P(A222222(C) P(AB)=P(A) (D) P(AB)=P(B) C 22例13：设随机变量X服从正态分布N(m1,s1)，Y服从正态分布N(m2,s2)，且PX-m1PY-m21则必有(A) s1s2(C) m1m2 A 教学后记 教 案 第二章 一维随机变量及其分布一、分布函数的定义与性质1. 随机变量定义1

10、：设随机试验的每一个可能的结果（样本点）唯一地对应一个实数X(w)，则称实变量X为随机变量，通常用大写字母X,Y,Z等表示随机变量，例1：一射手对一射击目标连续射击，则他命中目标的次数X为随机变量，X的可能取值为0，1，2例2：某一公交车站每隔5分钟有一辆汽车停靠，一位乘客不知道汽车到达的时间，则侯车时间为随机变量X,的可能取值为X=0,5。例3：大炮对某一目标射击，弹着点的位置，如果建立如图所示的坐标系，则弹着点就可以用一个二维坐标（X,Y）表示出来，这时，就要用二维随机变量来描述。2. 分布函数定义2 定义在样本空间W上，取值于实数域的函数x(w)，称为是样本空间W上的（实值）随机变量，并

11、称F(x)=PXx是随机变量x(w)的概率分布函数.简称为分布函数.分布函数的性质：（1）单调性 若x1x2,则F(x1)F(x2)；（2）F(-)=limF(x)=0 x-Fx(=) F(+)=limx+（3）右连续性 F(x+0)=F(x)（4）PaXb=F(b)-F(a)二、离散型随机变量1.概念定义3：只取有限个或可列个值的变量X为一维离散型随机变量简称离散型随机变量。2.分布律及其表示如果离散型随机变X可能取值为(a1,a2,a3.)，相应的概率变量X的分布列，也称为分布律，简称分布。 为随机（1）分布律表示方法公式法 （2）分布律表示方法列表法 也可以用下列表格或矩阵的形式来表示，

12、称为随机变量的分布律： 分布列的性质:非负性：1）pi0规范性：2）pi=1i=1分布函数 F(x)=0例1: 已知X141-axixpi 2 (1)求a，(2)分布函数 2ax00x11x2x20114【解】a=- F(x)=3241例2：设袋中有五个球（3个白球2个黑球）从中任取两球，X表示取到的黑球数。（1）求X的分布律；（2）为随机变量X的分布函数【解】X可能取值为0，1，2。PX=0=310,PX=1=135610=35,PX=2=110 0X的分布律 X3100110F(x)=910121 10x00x11x2x2三、连续型随机变量1.一维连续型随机变量的概念定义1 若X是随机变量

13、，F(x)是它的分布函数，如果存在函数f(x)，使对任意的x，有F(x)=x-f(t)dt，则称X为连续型随机变量，相应的F(x)为连续型分布函数.同时称f(x)p(x)是F(x)的概率密度函数或简称为密度.2.密度函数f(x)具有下述性质：（1）非负性f(x)0 （1）规范性+-f(x)dx=1（3） x(wX)P(pxxxx22)=F(x2)-F(x1)=11（4）pX=x0=0 （5）由F(x)=dF(x)dxxx2x1x1pf(yx)dy)dxx-p(y)dy式可知，对p(x)的连续点必有=F(x)=p(x)例3：设随机变量X的分布函数为 F(x)=A+Barctanx。（1）求A，B

14、 ，f(x) (2)求 pX1|X-1【解】 F(-)=limF(x)=0x-Fx(=) F(+)=limx+得 A=12，B=1p， f(x)=1p(1+x)=2 1-F(1)1-F(-1)13pX1|X-1=pX1,X-1pX-1pX1pX-1=kxx例4：设随机变量X的概率密度函数为 f(x)=2-200x33x4。 other（1）k (2)分布函数 （3）求 p1X414872 【解】 （1/6）（四、常见分布）(1)两点（0-1）分布 设离散型随机变量x的的分布列为01 P 1-P其中0P1，则称x服从两点分布，亦称x服从（01）分布，简记为x(01）分布.(2)二项分布 若离散型

15、随机变量x的分布列为k p(x=k)=Cnpq,k-nkk=0,1L,2, n其中0p0为常数，则称x服从参数为l的普哇松分布，记为xP(k;l).易验证(1P)x(=k)0k,=0,L1,2,;(2)Px(=k=)k=0lkk!e-l= 1定理（普哇松定理）在n重贝努里试验中，事件A在一次试验中出现的概率为pn（与试验总数n有关）如果当n时，npnl(l0常数），则有(n;n,p= limbkdx0k!lk-le=k,0L,1 ,2,(4)几何分布 设x是一个无穷次贝努里试验序列中事件A首次发生时所需的试验次数，且可能的值为1,2,L.而取各个值的概率为 P(x=k)=(1-p)k-1p=q

16、k-1p,k=1,2.L.其中0pk-10=k,1L,2,(2)pqk=1k-1=1(5)均匀分布若随机变量x(w)的概率密度函数为1 p(x)=b-a0axb其他时，则称随机变量x(w)服从a,b上的均匀分布.显然p(x)的两条性质满足.其分布函数为0x-a F(x)=b-a1xb记为xUa,b.(6)指数分布若随机变量X的分布函数为1-e-lxF(x)=pXX=0x0x0概率中称X服从参数为l的指数分布.而随机变量X的概率密度为le-lx, p(x)=0,x0x0(7)正态分布设随机变量X的概率密度为pf(xx)=-(x-m)2s22,-x0)是两个常数，则称设随机变量X服从m,s的正态分

17、布，记为(s相应的分布函数为 F(x)=x-(y-m)2s22edy,-x并且称F(x)为正态分布，记作N(m,s2).如果一个随机变量X的分布函数是正态分布，也称X是一个正态变量.N(0,1)分布常常称为是标准正态分布，其密度函数通常以j(x)表示，相应的分布函数则记作F(x)，所以F(x)=x-j(y)dy=x-e-y22dy(1)j(x)是偶函数，图像关于y轴对称，f(x)关于x=m对称；（2）j(x)在x=0，f(x)在x=m取得最大值；（3）x=1是j(x)的拐点，x=s是f(x)的拐点；（4）若XN(m,s2)，则pXm=pXm=0.5（5）F(-x)=1-F(x)例5：设随机变量

18、x服从正态N(108,9)分布，（1）求P(101.1x117.6).（2）求常数a,使P(xa)=0.90【解】x-108(1)P(101.1x117.6)=P-2.33.23=F(3.2)-F(-2.3)=F(3.2)-(1-F(2.3)0.999313-1+0.989276=0.988589;（2）P(xa)=Px-1083a-108=0.90，所以 3 a-10831.28,a=111.84；五、一维随机变量函数的分布1.一维离散型随机变量函数的分布 例6，已知X0.2-100.210.4222X+1,2X， 求的分布列。 0.2【解】2X+1-10.210.220.630.440.2

19、5 0.22X200.22.一维连续型随机变量函数的分布 设y=f(x)为一通常的连续函数，令Y=g(X)，其中X为随机变量，那么Y也是随机变量，并称它为随机变量X的函数.（1）FY(y)=pYy=pg(X)y=fy(y)=FY/(y)例7：已知XN(2,4)，求Y=2X-1的概率密度。122p-(x-2)82f(x)dx g(X)y【解】 fX(x)=ey+12 FY(y)=pYy=p2X-1y=pX122py+1-(x-2)82 =2_edx2/ fy(y)=FY(y)=142pe-(y-3)24 -y例8：已知随机变量X的概率密度为2x fX(x)=p00x8other求Y=sinX的概

20、率密度。解题步骤：（1）求出x的有效作用范围（fX(x)0的范围）， 并根据y=g(x) 求出Y的有效作用范围a,b ;(2)当ya时，FY(y)=pYy=0当yb时，FY(y)=pYy=1当ayb时，FY(y)=pYy=pg(X)y=f(x)dxg(X)y（3）fy(y)=FY/(y)求出概率密度。【解】（1）0x8时，y=sinx ，0y1;(2)当y0时，FY(y)=pYy=0当y1时，FY(y)=pYy=1当0y1时，FY(y)=pYy=psinXy=p0Xarcsiny+pp-arcsinyXp =arcsiny02xpdx-pp-arcsiny2xp1 （3）fy(y)=FY/(y

21、)=p-y200y1other例9：设随机变量X的概率密度为1,若x1,8, f(x)=33x2 其他;0,F(x)是X的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.【解】易见，当x<1时，F(x)=0; 当x>8 时，F(x)=1.对于x1,8，有x3 F(x)=13t21=x-1.设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数. 显然，当y0时，G(y)=0；当y1时，G(y)=1. 对于y0,1)，G(y)=PYy=PF(X)y3 =PX-1y=PX(y+1)=F(y+1)=y. 3于是，Y=F(X)的分布函数为0,若y0,G(y)=y,若0y1,1,若y1.例10：设随机变量

22、X的概率密度为12,-1x01fX(x)=,0x2，40,其他令Y=X2求Y的概率密度fY(y)【解】 设Y的分布函数为FY(y)，即FY(y)=P(Yy)=P(X1) 当y0时，FY(y)=0； 2) 当0y1时，FY(y)=P(X=22y)，则y)=P(X02x+ 41x=3) 当1y4时，FY(y)=P(X=4) 当y4，FY(y)=1. 所以y)=P-1X(120-112dx+ 14x=.0y,y1fY(y)=FYy(=)0,其他1. 4定理 设x是一个连续型随机变量，其密度函数为p(x)，又y=f(x)严格单调，其反函数h(y)有连续导数，则h=f(x)也是一个连续型随机变量，且其密

23、度函数为ph(y)hy(a),yb y(y)= 0,其他其中a=minf-(b=maxf-(f),+(f),+( )证明 不妨设f(x)是严格单调上升函数，这时它的反函数h(y)也是严格单调上升函数，于是( Fh(y)=Phy=)P(xf() y=P(xh(y)=由此得h的密度为 h(y)-p(x)dx,f(-)yf(+)y(f)-,(y)f+(ph(y)ghy=) y(y)=Fh( 0,其他)同理可证当f(x)严格单调下降时，有y(f)+,(y)f-(-Ph(y)gh0,其他 y(y)=由此定理得证.2 例11： 设xN(m,s)，又y=f(x)=x-ms，易验证这时定理3.1的条件满足，又

24、因为y=f(x)的反函数为h(y)=sy+m，所以有-y2y(y)=ph(yg)h(yx-msN(0,1). 2egs=j (y)由此可见h= 教学后记 教 案 第三讲：多维随机变量及其分布一、基本概念1联合分布函数设（X,Y）是二维离散型随机变量，x,y是任意实数，F(x,y)=P(Xx,YY)二维随机变量（X,Y）的联合分布函数。 2.联合分布函数的性质（1）单调性F(x,y)关于x(y)单调不减；（2）0F(x,y)1,F(x,-)=F(-,y)=0,F(+,+)=1； (3) F(x,y)关于x(y)右连续；(4)Px1Xx2,y10，称pX=xi|Y=yj=pX=xi,Y=yjpY=

25、yj=pijp.j 为在Y=yj的条件下，随机变量X=xi的条件概率.pX=xi,Y=yjpX=xipijpi.同样定义pY=yj|X=xi=变量Y=yj的条件概率. 条件概率符合概率的性质pX=xi|Y=yj0=为在X=xi的条件下，随机 i=1pX=xi|Y=yj=15. 离散型二维随机变量的独立性设离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布列与边缘分布为：PX=xi,Y=yj=pij，pX=xi=pi. pY=yj=p.j定理1：离散型随机变量X,Y独立的充分必要条件是对于任意的i,j都有 pij=pi. p.j例1 从1，2，3，4种任取一个记为X，在从1X种任取一个记为Y，(1)求二维随

26、机变量（X,Y）的联合分布律(2)求二维随机变量（X,Y）的边缘分布律。1X1/421/431/441 Y25/481/4213/4837/48 3/484(3)求Y=1的条件下，X的概率分布pX=1|Y=1=p11/p.1=pX=2|Y=1=p12/p.1=pX=3|Y=1=p13/p.1=pX=4|Y=1=p13/p.1=1/425/481/825/481/1225/481/1625/48=12256 25 425 325 (4) 随机变量X,Y独立吗？p11=(1/4)(1/4)(25/48)=p1. p.1X,Y不独立。010Y，0.40.51，且pXY0=0.4，求随机变量（X,Y）

27、0.6例2 X0.5的联合分布律及pXY。 例3 已知X,Y独立，完成下表： 例4 已知（X,Y）的分布律为：已知X=0与X+Y=1独立，求a,b三、连续型二维随机变量1定义与性质如果联F(x,y)是一个合分布函数，若存在函数p(x,y)，使对任意的(x,y)，有 F(x,y)=-xy-pu(v,dudv)成立，则称F(x,y)是一个连续型的联合分布函数，并且称其中的p(x,y)是F(x,y)的联合概率密度函数或简称为密度.如果二维随机变量(x,h)的联合分布函数F(x,y)是连续型分布函数，就称(x,h)是二维的连续型随机变量.密度函数的性质：由分布函数的性质可知，任一二元密度函数p(x,y

28、)必具有下述性质：(1)p(x,y)0;(2)-p(x,y)dxdy=F(+,+)=1反过来，任意一个具有上述两个性质的二元函数p(x,y)，必定可以作为某个二维随机变量的密度函数.此外，密度函数还具有性质：（3）若p(x,y)在点(x,y)连续，F(x,y)是相应的分布函数，则有F(x,y) =p(x,y)xy2（4）若G是平面上的某一区域，则h)G= P(x,Gp(x,y)dx dy2连续型随机变量的边缘分布若（X,Y）联合分布函数已知，那么，它的两个分量X与Y的分布函数称为边际分布函数可由联合分布函数F(x,y)求得，概率密度fX(x)=+-f(x,y)dy,fY(y)=+-f(x,y)

29、dx3. 连续型随机变量条件分布若（X,Y）概率密度为f(x,y)，边缘概率密度fY(y)0，称 fX|Y(x|y)=f(x,y)fY(y)为在Y=y的条件下，随机变量X的条件概率密度. 类似地，称fY|X(y|x)=f(x,y)fX(x) fX(x)0为在X=x的条件下，随机变量Y的条件概率密度. 设随机变量(X,Y)的联合分布为F(x,y)，如果对任意的x,y都 F(x,y)=PXx,Yy=PXxPYy=FX(x)FY(y) 则称X,Y是独立的4.随机变量的独立性设随机变量(X,Y)的联合分布为F(x,y)，如果对任意的x,y都 F(x,y)=PXx,Yy=PXxPYy=FX(x)FY(y

30、) 则称X,Y是独立的定理2：如果(X,Y)是二维连续型随机变量，则X与也都是连续型随机变量，它们的Y密度函数分别为fX(x),fY(y)，这时容易验证X与Y独立的充要条件为：f(x,y)=fX(x)fY(y)几乎处处成立。说明：(1)F(x,y)=FX(x)FY(y)或f(x,y)=fX(x)fY(y)点点成立，则X与Y独立。(2)X与Y独立,则F(x,y)=FX(x)FY(y)点点成立f(x,y)=fX(x)fY(y)不一定点点成立。(3)在个别点f(x,y)fX(x)fY(y)，则X与Y可能还独立；F(x,y)FX(x)FY(y)，则X与Y一定不独立。例1：已知随机变两（X,Y）的概率密

31、度为(x,y)=Ae-2x-yfx0,y00其他(1)求A+-f(x,y)dxdy=1+00Ae-2x-ydxdy=12A=1,A=2(2)求分布函数当x0,y0时，F(x,y)=xy-2x-y-y-f(u,v)dudv=2x00edudv=1-e-2x1-e-y其他，F(x,y)=0F(x,y)=(1-e-2x)(1-e-y)x0,y0 0其他（3）求pXYpXY=+0x02e-2x-ydxdy=13(4) 求边缘概率密度fX(x),fY(y) 在一点+-2x-y2edyx0fX(x)=f(x,y)dy=0=-other0+-2x2ex0 0other+-y-2x-yey02edxy0 fY

32、(y)=f(x,y)dx=0=-other0other0(5) 求条件概率密度fX|Y(x|y)当y0时，fX|Y(x|y)不存在；当y0时，-2x2efX|Y(x|y)=fY(y)0f(x,y)x0other(6) 求pX2|X2pX2|Y2=pX2,Y2PY2=F(2,2)FY(2)=1-e-4(7)X,Y独立吗？f(x,y)=fX(x)fY(y)点点成立，则X与Y独立。例2：已知随机变量（X,Y）时区域D上的分布，D由x.y=0,x+y=1围成，问X,Y是否独立？2f(x,y)=解：0（x，y)D其他1212 F(1,1)=2200+2dxdy=12 0x11-x2-2x2dy0x1 fX(x)=f(x,y)dy=0=-other00otherFX(1)=2-212fX(x)dx=2-2xdx=01234 同理：FY(1)=22342 F(1,1)FX(1)FY(1) 2所以X,Y不否独立。例3：甲乙两人到达同一地点的时间X,Y服从7,8上的均匀分布，X,Y独立，求X，Y的差不超过14小时的概率。fX(x)=X,Y独立107x8otherfY(y)=107x8other 1f(x,y)=fX(x)fY(y)=07x8,7x8other pX-Y14=1dxdy=D34 例4若二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)=2ps1s12-12(1-r