西南大学《初等数论》网上作业(共4次).doc

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1、初等数论第一次作业简答题1. 叙述整数a被整数b整除的概念。2. 给出两个整数a，b的最大公因数的概念。3. 叙述质数的概念，并写出小于14的所有质数。4. 叙述合数的概念，并判断14是否为合数。5. 不定方程有整数解的充分必要条件是什么？6. 列举出一个没有整数解的二元一次不定方程。7. 写出一组勾股数。8. 写出两条同余的基本性质。9. 196是否是3的倍数，为什么？10. 696是否是9的倍数，为什么？11. 叙述孙子定理的内容。12. 叙述算术基本定理的内容。13.给出模6的一个完全剩余系。14.给出模8的一个简化剩余系。15.写出一次同余式有解得充要条件。答：1.设a,b是任意两个整

2、数，其中b0，如果存在一个整数q使得等式a=bq成立，我们就称b整除a或a被b整除,记做b|a。2.设a,b是任意两个整数，若整数d是他们之中每一个的因数，那么d就叫做a,b的一个公因数。a,b的公因数中最大的一个叫做最大公因数。3.一个大于1的整数，如果它的正因数只有1和它本身，就叫作质数(或素数)。14的所有质数为2,3,5,7,11,134.一个大于1的整数，如果它的正因数除了1和它本身，还有其他的正因数，则就叫作合数。14的所有正因数为1,2,7,14，除了1和本身14，还有2和7两个正因数，所以14是合数。5.不定方程有整数解的充分必要条件是。6.没有整数解的二元一次不定方程10x+

3、10y=5。7.一组勾股数为3,4,5。8.同余的基本性质为：性质1 m为正整数，a，b，c为任意整数，则aa（mod m）；若ab（mod m），则ba（mod m）；若ab（mod m），bc（mod m），则ac（mod m）。性质3 若（mod m），（mod m），则（mod m）若abc（mod m），则acb（mod m）。9.196不是3的倍数。因为由定义可知 设a,b是任意两个整数，其中b0，如果存在一个整数q使得等式a=bq成立，则将a叫做b的倍数。所以a=196，b=3，不存在一个整数q使得等式a=bq成立，所以196不是3的倍数。10.696不是9的倍数。因为由定义可知

4、 设a,b是任意两个整数，其中b0，如果存在一个整数q使得等式a=bq成立，则将a叫做b的倍数。所以a=696，b=9，不存在一个整数q使得等式a=bq成立，所以696不是9的倍数。11.孙子定理的内容为：设是k个两两互质的正整数, (1)设,则同余式组(1)的解是 (2)其中是满足的任一个整数，i1,2,k。12.任一大于1的整数能表成质数的乘积，即任一大于1的整数 ，（1）其中是质数，并且若，,其中是质数，则mn，i1，2，n。13.模6的一个完全剩余系为1，2，3，4，5，6。14.由于8的标准分解式为8=23，所以所以模8的一个简化剩余系由4个数构成，这两个数都与8互质，并且它们关于模

5、8不同余。比如1,7就是模8的一个简化剩余系。15.一次同余式有解的充要条件是(a,m)|b。初等数论第二次作业填空题19除28的商是 3 。211除23的余数是 1 。36的正因数是 1,2,3,6 。44.5= 0.5 。58.3 +-8.3 = 1 。630的最小质因数是 2 。7在所有质数中，是偶数的是 2 。8在所有质数中，最小的奇质数是 3 。9大于4小于16的素数有_ 5, 7, 11, 13 _ _。10不定方程有整数解的充分必要条件是 (a,b)|c 。11模5的最小非负完全剩余系是 0,1,2,3,4, 。12模4的绝对最小完全剩余系是 1, 0, 1, 2 。13的个位数

6、是 5 。1477的个位数是_ 3 _。15316的十进位表示中的个位数字是 1 。1666的个位数是 6 。17710被11除的余数是 1 。18（1516，600）= 227400 。196的所有正因数的和是 12 _。2024与60的最大公因数是 12 。2135的最小质因数是 5 。2246的个位数是 6 。238的所有正因数的和是 7 _。2418的标准分解式为 18=23 。2520的欧拉函数值= 8 。初等数论第三次作业计算题1求169与121的最大公因数。解：（169，121）=（169 121，121）=（48，121）=（48，121 48） =（48，73） =（48，2

7、5） =（23，25） =12求出12!的标准分解式。解：，所以12!的标准分解式为3求不定方程3x - 4y = 1的一切整数解。解：因为（3,4）= 1，所以不定方程有整数解。观察知x = 3，y = 2是其一个整数解。由公式知其一切整数解为，t为整数。4求不定方程7x + 2y = 1的一切整数解。解：因为（7,2）=1,1|1，所以不定方程有解。观察知其一个整数解是。于是其一切整数解为，t取一切整数。5解同余式3x 1 (mod 7)。解：因为（3,7）= 1，所以同余式有解且有一个解。由3x - 7y = 1得，所以同余式的解为.6解同余式3x 8 (mod 10)。解：因为（3,1

8、0）=1,1|8，所以同余式有解，并且只有一个解。由得一个解，所以同余式的解为.7解同余式28x 21 (mod 35)。解：因为（28，35） = 7，而7|21，所以同余式28x 21(mod 35)有解，且有7个解。同余式28x 21(mod 35)等价于4x 3(mod 5)，解4x 3(mod 5)得x 2(mod 5)，故同余式28x 21(mod 35)的7个解为x 2，7，12，17，22，27，32(mod 35).8解同余式组：。解：由得，将其代入得，解得，即，所以，所以解为.9解同余式组：。解：由得，将其代入得，解得，即，所以，所以解为.10解同余式组：。解：由得，将其代

9、入得，即，解得，所以，于是。所以同余式组的解为.11解同余式组：。解：因为2，3，5两两互质，所以由孙子定理该同余式组有一个解。由孙子定理可得该同余式组的解为x 1(mod 30).12一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积，这个数有许多的约数是两位数，求出这些两位约数中最大的那一个。解：设这个数为n，则由已知条件可得。由于11|99，97|97，所以99，98，97都不是n的约数。又，所以96是n的约数，所以n的两位约数中最大的为96.初等数论第四次作业证明题1设n是整数，证明6 | n(n + 1)(2n + 1)。证明：若n为偶数，则n(n + 1)(2n +1)是偶数若n为奇数

10、，则n+1是偶数，所以n(n + 1)(2n +1)是偶数在证这个数能被3整除，若n被3整除，则n(n + 1)(2n +1)能被3整除若n被3除余1，则2n+1能被3整除，所以n(n + 1)(2n +1)能被3整除若n被3整余2，则n+1能被3整除，所以n(n + 1)(2n +1)能被3整除所以6| n(n + 1)(2n + 1).2设n是整数，证明：。证明：由此知 若n=1 则该式0 是6的倍数若n1 则该式为三个连续正整数乘积在3个连续正整数中 至少有1个是偶数即可被2整除在3个连续正整数中 必有1个是3的倍数 即可被3整除所以该式即可被2*36整除.3设x，y均为整数。证明：若，则。证明：4设x，y均为整数。证明：若，则。证明：5设x是实数，n是正整数，证明：。证明：令，则由定义有，于是。由于na，n(a+ 1)均为整数，所以，从而，由定义得，所以。6设p是质数，证明：。证明：因为p是质数，所以，。于是。7证明：若，则。证明：由，知存在整数p，q使得，所以，因为pq为整数，所以由整除的定义知。8证明：若，则。证明：由得，由整除的性质得，即，所以.9设a是大于1的整数，证明是合数。证明：= = =由于1且是整数，所以1，1，且均为整数，故当是大于1的整数时，是合数。10设m为整数，证明：。证明：因为是两个连续整数的积，所以。又2|2，所以由整除的性质知.