《高等数学》考研数学系2021考研真题库.docx

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1、高等数学考研同济大学数学系2021考研真题库第_部分考研真题精选向量代数与空间解析几何填空题（把答案填在题中横线上）点（2,1,0）到平面 3x + 4y + 5z = 0 的距离 d 二。数一 2006 研【答案】忑【解析】由点到平面的距离公式多元函数微分法及其应用1 设函数 f(,y)ffi(0,0)W,f(0,0) =Oz非零向量d与n垂直，则（）。数一2020研IimJ( xy5/(Xy)I应心”XJ)I【答案】A查看答案【解析】Vf ( X , y )在(O , O )处可微,f(0,0) =0,Eny(XJ)一/)一人(s)- z(,)y _ 0 諜X2 V2Iim /(XJ) -

2、 Q(ZO).；：(Oe)y = O.厉(兀儿/(工)=E(0,0)x + (0,0)y-/任)选A项。X Xr 02关于函数给出下列结论()f (OIO) =12fy( 0,0)= 1正确的个数为（）。数二2020研【解析】因竺手Z故正确。yOV-O,先求 f(O,y),而-V总 o. V)=Iim H=Iim 41Xy 丿 XToXx0XIinIni)P=Iiin 型二：当y#0时，J XZ 汛不存在；Hm 门3)P = Iim Z(X-Ql-Q = Iim = I 当 y 二 0 日寸X XTo X ho %综上可知，f （ 0 , y ）不存在。故2fy（0,0）不存在f因此错误。当X

3、yHO时，(J%(s*y=OIinl 砂=O(XtyyOio) “ xyQ当（X , y ）沿着y轴趋近于（0,0 ）点时，（M%。/（3）=（）=卿严 0y0y0当（X , y ）沿着X轴趋近于（0,0 ）点时，鳥騙/）i1（） =卿2 0 XTQx0IIim f （X-J1） = O综上可知，Elg）,故正确。当y = 0时，肉/（S）=舸“。；当狞0时，辄/（）=怏砂，故呼（3=0,则卿Wa）噌故综上,正确个数为3。故应选BO3函数f ( X , y , z )二2y + z2在点(1,2,0)处沿向量U =(1,2,2)的方向 导数为()。数一2017硏A . 12B . 6C . 4

4、D . 2【答案】D查看答案【解析】计算方向余弦得:COSa = 1/3 , cos = cos = 23o偏导数f；二 2xy , fy = X2 , fz二 2zo 得df/du = fx,cosa + fy,cos + fz,cos = 4- ( 1/3 ) 1( 2/3 ) 0 ( 2/3) =2.4设f(x,y)具有一阶偏导数，且在任意的(x,y),都有则()。数二 2017 研A. f(0,0) f(l,1)B. f(O,O) f(l,0)D. f(O,1) f(l,0)【答案】D查看答案 【解析】由0,y) = OSX知，函数f(x,y)关于X单调递增，故f(0, 1) f(lz

5、 1)；同理，由沢2)Vo知，函数f(X, y)关于y单调递减，故f (1, 1) f (1,0),因此f (0, 1)0,又A二-2,所以函数z = xy(3 -X - y )在点(IJ)处有极大值Io6 已知函数 f(x,y) =e(x-y),则()。数二 2016 硏A . fx, - fy, = OB . f + f = OC . f-f = fD . fx, + fy, = f【答案】D查看答案【解析】因为ex-y)-ex(-y)2ex(x-y)2所以广 t _)-2ejrA-A= (X-V)2二填空题1设函数金恥。数一2020 硏【答案】4e查看答案【解析】cxy CX十 3x2e

6、3y2xy (IJ)2 设 z = arctanxy + sin (x + y ) 则 dz(or) =。数二 2020 硏【答案】(-l)dx-dy查看答案+coS) 1+( Sin)2= 71-1_ O + cos 帀 W) 1+(SinH)2【解析】因为y + cos(x + )1 + + sin(x + y) . + cos(x + y)1+ .w + si(.r + y)x从而故dz(o,)二( - 1) d - dyo3 设函数 f( U )可导 JZ = f( Siny - SinX ) + Xy 则(1/cosx )(z ) + ( 1/cosy )(zdy)二。数一2019

7、硏【答案】(y/cosx ) + ( xcosy )查看答案【解析】由于z 二 f ( u ) ( - COSX ) + yzy 二 f ( u ) COSy + X数所以(1/cosx )(z ) + ( 1/cosy )(zy )二 y/cosx + xcosyoSZSx 4设函数Z = Z(Xfy )由方程Inz +尹xy确定，贝!二 2018硏【答案】1/4查看答案 【解析】方程两端同时对X求偏导，得1 SZ Z-I SZ+ e2 SX Sx将X二2 , y = l2代入原方程可得Z = I, SWX二2 f y = l2 , Z二1代入求导之后的方程可得Qz1 =& x=2.V=I4

8、 25设函数f ( x,y)具有一阶连续偏导数，且df ( X , y ) =yeydx + x(ly ) evdy ,f(0,0)二 0,则 f(x,y)二。数二 2017 研【答案】Xyey【解析】由题意可知fx ( X , y )二yey, fy ( X , y ) = x (1 + y ) eyo因此f (X , y )二 JyeydX = Xyey + c ( y ) , 5i亥等式关于 y 求亭昙 fy, ( x , y ) = xe + Xyey + c, (y) =x(l + y)ey + c, (y)o 又由 fy ( x , y ) = x (1 + y ) ev ,知 c

9、 ( y )= 0,即 c(y)二c。结合f(O,O)二0,计算得 C 二0,所以 f(x,y) =Xyeyo 6 设函数 f(uz V )可微，z二z(x, y )由方程(x + l)z-y2 二 2f (-z, y )确 定，则 dz(,i)二。数一 2016 硏【答案】-dx + 2dy查看答案【解析】方程(x + l)z-y2 = 2f(-z,y)两边分别关于X , y求导，得 z + ( X + 1) zx, = 2xf ( X - z , y ) + x2f ( x - z , y ) (I-ZX,)(x + 1) Zy - 2y = 2f ( x - z , y ) ( - zy

10、,) + f2, ( x - z , y )当 x = 0,y= 1 时 ZZ=Io 将 X 二 0,y 二 l,z二 1 代入得乙二-IIZyI = 2,所以 dz (0,1)=- dx + 2dyo三、解答题1 求函数f(x,y) =x3 + 8y3-xy的极值。数一2020硏解：先求一阶偏导数得到驻点:= 3x2- = 0=24，- X = O解得驻点有(0,0) , (l6z 1/12 ) O再求二阶偏导数：5xv=-1对于(O, 0)点：A二 O , B 二-IfC = Oj 由于 AC-B20 且 A0,可知(1/6 J 1/12 )点为极小值点J极小值f ( 1/6 , 1/12

11、 )二-l216o2已知函数u ( X , y )满足-2+3=0GXI 梦 求a , b的值i使得在变换U(Xry) =V(Xfy)尹仞之下，上述等式可化为函数V(Xfy)的不含一阶偏导数的等式。数二2019硏解：U对X的偏导数为+ ,e逐珂=(空+a)f+刘GX.U对y的偏导数为因此有 = (2fl)eSx1 x2 Sx = ( + 2-+ 2v)ey代入题中所给的微分方程，得2(-4-+ (3-4)-+ (2-262+3fe)v = 0Sr_ v SXSv最后解得a = O, b二3/4。3设函数f(u , V)具有2阶连续偏导数，函数g(x,y) =xy - f ( xy , x -

12、y ), 求2g2 + 2g( y ) 2gy2o 2019 硏解:首先求 g ( X , y )对 x、y 的一阶偏导数dgd = y - f - f2, gy = x - f + f2,0因为f(u, V)具有2阶连续偏导数，所以有fi2二f2,进一步可得g对X、y的二阶偏导数:2g2 = - f11H - f12M - f2!H - f22M = - fllH - 2fi2M - f222g( xy ) =I-fii” + f12M - f21 + f22 = 1 - fnH + f222gy2 = - fnH + f2 + f21M - f22 = - fn + 2f f22因此2gx

13、2 + 2g( xy ) + 2gy2 = 1 - 3f, - f22o4将长为2m的钢丝分为三段，依次围成圆、正方形和正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。数一2018硏解：设圆的半径为X,正方形边长为y ,正三角形边长为Z ,则有2x + 4y + 3z = 2,其中x0, y0, z0 .三个图形面积之和为i+亍利用拉格朗日乘数法，拉格朗日函数fx,y,) = ,tx + v2 +-z +(2r+4v+3z-2)=2tx + 2 兀久=O=2y + 4 = 0= 2 + 3Jl = 0& 22xy+4v+3z-2 = 01 (求解上述方程得到,驻点为兀+4 +

14、3血,此时三个图形总面积最小f最小面积为Sfllin 二兀(1 、2 If 2 Y I 3r 23 、.兀+4+3r3 丿TJTr+4 + 33 J)T4、兀+4 + 3r 兀+4 + 3dvrIr=Od 5设函数f( u a )具有2阶连续偏导数,y = f(e, COSX 求u数一2017 硏解:因为 y = f ( ex f COSX ) f 所以 dy/dx = fr ( ex)i + f2, ( COSX )1 = f,ex - f2lsinx0dvd=ZaI)x=0由上述过程知d2ydx2 = ( frex - fsinx ) i= ( fnirex - f12MSinx ) ex

15、 + f,ex - ( f2ir,ex - f22sinx )SinX - f2rc0sx所以6 已知函数 z = z(x, y)由方程(x2 + y2)z + lnz + 2(x + y + l)二 O 确定，求 Z 二z(x,y)的极值。数二2016硏解：方程两边分别对X, y求偏爭昙2xz + (xb+y) + +2 = 0 xZ SxrZ22、氐1 6ZrA2产+ (f+y)+2 = 0 一SVZ GVrJ令dz/dx 二 0 , zy 二 0 ,得xz +1 = 0yz + 1 = 0解得 = y 二-lzo将1Z=X尹二X代入原方程中得(2 + 2) ( -lx) +ln( -lx

16、) +2(x + x + l) =0zx = -lF 二TZ = I(1)式两边分别对X , y求偏导得Cz 22、FZ 1 zfe2 1C3)2z + 2h + 2. + (.V +)厂)T(Y +=Ox xdr2 ZdX ZdX2_ &z 22、S2z 1 5z 8z 1 2z_2x2v+Cr y2)+= 0v SXJ SXdV z SX SV Z 5x5v* (2)式两边对y求偏导得2 =022 + 2y f + Iy 牙 + (x2 +J2)-4(2 + 丄 JCy CyCy Z 0 , Z CyX = -I0, A0。所以(x,y) = ( -1, -1)为极大值点极大 值为Z二1。

17、7 已知函数 f ( X , y )二 x + y + xy,曲线 C : 2 + y2 + xy = 3 ,求 f(x,y)在曲线 C 上的最大方向导数。数一2015硏解：根据方向导数与梯度的关系知，f ( X , y )沿着梯度方向的方向导数最大，且最 大值为梯度的模。因为 fx(x,y)二 l + y,fy(x,y) =l + x ,故 gradf (x,y)二l + y,l + x, 模为J(+y)+(+),此题目转化为对函数= J(I+卅+ U+*)在 约束条件Cx2 + y2 + xy = 3下的最大值，即为条件极值问题。为了计算简单，可以转化为对d(x,y)二(l + y)2+

18、(l + )2在约束条件c： X2 + y2 + xy = 3下的最大值。构造函数:F(xfy,) = (l + y)2+ ( 1 + x ) 2 + ( x2 + y2 + xy - 3 ) o令fl = 2(l + x) + (2x + j) = 0 尸二2(1 + 歹)+ 几(2)+工)二0F；二 X2 + y2 +:Xy-3 = 0得到 MI(I , 1) z M2 ( - 1 f -1) , M3(2f -1) f M4 ( - 1 , 2 ) o因此d ( Mi) =8 z d ( M2) =0 , d ( M3) =9 , d ( M4) =9故f(x,y)在曲线C上的最大方向导数为S = = o