《数学方法论》数学中的公理化方法与结构方法.doc

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1、第四章 数学中的公理化方法与结构方法公理化方法在近代数学的发展中起着基本的作用，它的思想对各门现代数学理论的系统形成有着深刻的影响，而数学结构方法则是全面整理和分析数学的一种十分合理的方法，其观点曾导致一场几乎席卷世界的数学教学改革运动，即“新数学”运动。两种方法均是用来构建数学理论体系的，一个是局部，一个是整体。本章将概括介绍这两种思想方法，从中领略数学理论构建的一般思想方法。4.1公理化方法的历史概述众所周知，在长达一千多年的光辉灿烂的希腊文化中，哲学、逻辑学、几何学得到了很大的发展，特别是哲学家和逻辑学家亚里斯多德，总结了前人所发现和创立的逻辑知识，以完全三段论作为出发点，用演绎的方法推

2、导出其余十九个不同格式的所有三段论，创立了人类历史上第一个公理化方法，即逻辑公理化方法，从而为数学公理化方法创造了条件。数学家欧几里德以亚里斯多德演绎逻辑为工具，总结了人类长期以来所积累的大量几何知识，于公元前300年代完成了他的名著几何原本，几何原本是演绎逻辑与几何相结合的产物，因此，它的出现使演绎逻辑第一次成功地应用于数学。反过来也推动了形式逻辑的大发展。欧几里德几何原本是有史以来用公理化思想方法建立起来的第一门演绎数学，在数学史上被树为划时代的里程碑。而且成为以后很长时期严格证明的典范，人们还把严密的逻辑推理和完善的逻辑结构看成是古典几何成熟的标志。当然，现在看来由于受当时整个科学水平的

3、限制，这种公理化方法还是很原始的。所以后来称它为公理化方法的初期阶段。在公理化方法的初期阶段，它的“严格性”也只是相对当时的情况而言的。譬如，有些基本概念的定义不够妥当，有些证明只不过是借助于直观等等。特别是第五公设的陈述从字面上看很不自明，所以人们从两个方面对它产生了怀疑：第一，第五公设是否正确地反映了空间的性质；其二、它本身很可能是一个定理。对于这两个问题，人们从以下几个方面进行了探讨：一是它能否从其他公理推出；二是换一个与它等价而本身却又是很自明的公设；三是换一个与它相反的公设。通过很多第一流的数学家近两千年的大量工作，第一方案尚未成功。到了十八世纪中叶，意大利数学家萨克利吸取了前人正面

4、直接证明而失败的教训，反其道而行之，改用反证法来证明（将第五公设换成它的否定，然后推出矛盾，那么就可以证明第五公设就是一个定理，即不独立于其它公理），并于1733年公布了他的证明，但随后不久数学家们发现他的证明有问题。虽然萨克利的证明是错误的，但他提出的反证法及其所得的结果却起了他始终所未料到的作用，即两种几何并存的可能性。也就是说，除了欧几里德几何外，还有非欧几何。数学家们从萨克利的错误中得到了启发，锐角假设（三角形内角和小于180）尚未导致矛盾，因而它与其他公理可能是协调的。一直到十九世纪，由高斯、罗巴切夫斯基、包耶等许多杰出的数学家作了大量的推导工作都没有发现矛盾，于是采用锐角假设的罗巴

5、切夫斯基几何系统就产生了。从此也就冲破了欧几里德几何“一统天下”的旧观念对人们的束缚，使人们意识到逻辑上无矛盾并不只限于一种几何，接着到了1854年又发现了钝角假设（三角形内角和大于180）也成立的黎曼几何系统，后来人们称这两种几何为非欧几何。非欧几何产生后，还有两方面的问题有待进一步解决。从逻辑方面看，虽然经过大量的推导尚未导致矛盾，但并不等于永远推不出矛盾。也就是说，这种逻辑无矛盾性还有待于从理论上得到严格证明；从实践方面看，非欧几何的客观原型是什么？人们还不清楚。也就是说，非欧几何到底到反映了哪种空间形式也没有得到具体的解释。到了十九世纪五十年代，随着微分几何、射影几何的进一步发展，为非

6、欧几何寻找模型提供了条件。意大利的贝特拉米于1869年提出了用欧氏球面作为黎曼几何的一个解释（欧氏球面的部分大圆被解释成黎曼几何的直线，球面上的点被解释成黎曼几何的点）。随后，德国数学家克莱因于1870年在欧氏平面上用不包括圆周的圆内部构造了一个罗氏几何模型，人们称它为罗氏平面，在此平面上给罗氏几何一个解释，即把欧氏几何的直线解释成罗氏平面上的直线，欧氏几何的点解释成罗氏平面上的点。由于非欧几何在欧氏几何中找到了它的模型，因此非欧几何的无矛盾性就转化为欧氏几何的无矛盾性，也就是说倘若欧氏几何无矛盾，则非欧几何也无矛盾，随后不仅人们找到了非欧几何在天文学与相对论中的解释和应用，而且相继发现欧氏几

7、何的每条公理在罗氏空间的极限球上得以全部成立。于是，反过来欧氏几何的相容性可借助非欧几何协调性给以保证。从而就证明了两种几何是互相协调的。为了进一步研究两种几何平行不悖，以希尔伯特为代表的数学家掀起了对几何基础的研究，同时也促进了康托、维尔斯托拉斯、戴德金等为代表的数学家对数学分析基础的实数理论的研究。从而导致了“分析算术化”方面的出现，使数学分析基础立足于实数理论之上，取代了直观的几何说明。由于对实数理论的研究，又推动了代数的重大变化，即由代数方程的求解导致了群论的产生，从而使代数的研究对象发生了质的变化，逐渐变成一门研究各种代数运算系统形式结构的科学。由于形式化方法在分析、代数领域中取得了

8、成功，反过来又将几何公理化方法的研究推向一个新的阶段，即形式公理化阶段。希尔伯特在1899年出版的名著几何基础就是这个时期研究成果的突出代表。希尔伯特在他的几何基础中，放弃了欧几里德几何原本中公理的直观显然性，把那些在对空间直观进行逻辑分析时无关重要的内容加以拼弃，着眼于对象之间的联系，强调了逻辑推理，第一次提出了一个简明、完整、逻辑严谨的形式化公理系统。从此公理化方法不仅是数学中一个重要方法，而且已被其他学科领域所采用。所以人们称它为公理化方法发展史上的一个里程碑。由于现代形式公理化方法的发展，需要研究更复杂的逻辑结构，从而就导致了现代数理逻辑的形成和发展。数理逻辑出现后，在下列两个方面发挥

9、了巨大作用。其一，本世纪初以希尔伯特、哥德尔为代表的数学家和逻辑学家掀起了以数理逻辑为工具来研究整个数学基础的高潮，又因数学基础进一步发展的需要，反过来又促使现代数理逻辑的发展，从而也就导致了证明论、模型论、递归函数论的出现。特别是英国大哲学家、数学家、和逻辑学家罗素于1902年发现集合论的悖论，震动了整个数学界，从而就促进了公理化集合论的形成和发展。集合论的公理化系统的出现，将形式公理化方法推向一个更高的阶段。其二，为数学应用于现代科学技术开辟了前景。电子计算机的出现就是突出的一例，这是因为电子计算机的设计需要研究如何用基本的逻辑运算去表示和构造复杂的逻辑结构和运算，这正是数理逻辑研究的一个

10、基本课题。由于电子计算机的出现导致了机器证明及数学机械化方向的产生，从而使现代形式公理化方法又获得到了一个新的用场。当然，公理化方法本身及其在数学理论和实践应用中的巨大作用，随着科学技术的发展还在继续向前发展。4.2公理化方法的逻辑特征、意义和作用一、公理化方法的逻辑特征公理化方法的作用在于从一组公理出发，以逻辑推理为工具，把某一范围系统内的真命题推演出来，从而使系统成为演绎体系，对于所选公理，我们一方面要求能从公理组推出该系统内的全部真命题，另一方面又要求从公理组不能推出逻辑矛盾，再就是希望所选公理个数最少，这三个方面构成了公理化方法的逻辑要求，此也是判别一个公理系统是否科学合理的准则。（1

11、）无矛盾性（相容性或协调性）无矛盾性要求在一个公理系统中，公理之间不能自相矛盾，由公理系推出的结果也不能矛盾，即不能同时推出命题与其否定命题，显然，这是对公理系统的最基本的要求。如何证明给定的公理系统的无矛盾性呢？若想通过“由这一公理系作出全部可能的推论并指出其中没有矛盾”来证明是不可能的。为此，人们创造了一种特殊方法即解释法或作模型法。基本思想如下：将公理系的每一不定义的概念与对象的某一集合相对应，而且要求对应于不同概念的集合没有公共元素，然后，使公理系的每一关系对应着对应集合元素间的某一确定的关系。所得的集合与关系的全体叫做解释域，公理系的每一命题可以用自然的方法对应于解释域中相应的命题。

12、如果所得的命题为真，那么就称公理系的命题在这个解释下是真的，如果假，则在这个解释下是假的，如果公理系的全部公理在这个解释下均为真，那么这个解释称为所给公理系的模型。解释域及其性质常常是另一数学理论的研究对象，本身同样可以是公理化的，所以说，用解释法能证明公理系的相对相容性，即能作出“如果相容，即么也相容”的判断，即是说解释法实质上是将一个公理系系统的无矛盾性证明化归为另一个公理系统的无矛盾性的证明，是一种间接证明，克莱因就是采用这种方法将罗氏几何的无矛盾性化归为欧氏几何的无矛盾性的。正是由于罗氏几何的相容性要由欧氏几何的相容性来得证，本来并无疑问的欧氏几何相容性问题也引起了人们的怀疑，迫使人们

13、再去寻找欧氏几何相容性的证明，由于解析几何可以看成是实数系统中欧氏几何的一个解释模型，于是欧氏几何相容性证明转化为实数系统的无矛盾性的证明，而实数系统可建立在公理化集合论的基础上，因此，实数系统的无矛盾性又化归为集合论的无矛盾性证明，而后者经过几代数学家们的努力，至今尚未得到彻底解决。（2）独立性独立性要求在一个公理系统中，被选定的公理组中任何一个公理都不能由其他公理推出。独立性其实要求的是公理组中公理之间不能有依从关系，若某一公理被其余公理推出，那它实质上就是一个定理，在公理组中就是多余的，所以，独立性要求公理组中公理数目最少。利用解释法同样可以证明所给公理系的独立性问题，所谓公理系中公理的

14、独立性无非是指由其他公理既不能证实，也不能否定。因此，建立一个新的公理系，就是将公理换成它的否定,而其他公理保持不变，只要能证明新的公理系是相容的，就可断言在公理系中独立，从而将独立性问题化归为相容性证明问题，而新公理系相容性证明可用解释法。前述欧氏第五公设的独立性由非欧几何的相容性得到证明就是一例。（3）完备性完备性要求在一个公理系统中，公理组的选取能保证由公理组推出该系统的全部真命题，所以，公理不能过少，否则就推不出某些真命题，这是关于完备性的古典定义。现代数学常借助模型的同构给公理系的完备性下定义，即如果公理系的所有模型或解释都彼此同构，就称这个公理系是完备的。所谓模型的同构是指这个公理

15、系的两个模型与（这是为简便计，假设给定的公理系中只有一个不定义的概念和一个不定义的关系。与是某两个集合，与分别是这两个集合中的关系）间存在一个双射，使，当且仅当时成立。其中,在上述公理化方法的三个特征中，无矛盾性是最重要而又是非有不可的。独立性从理论上讲，从完美简练上讲，应该要求，因为公理和定理在整个系统中处的地位不同，公理是出发点，定理是推出的，不能混在一块。但是，即便是把一个定理不加证明地作为公理也不会出现什么“原则”错误，不会使公理系统产生矛盾，也不会影响公理体系的完备性，而且从数学角度讲，根据学生的心理发展水平适当将某些定理当作公理对待还可能有利于学生接受，因此，独立性要求有时可降低。

16、现行中学几何体系就放弃了这一要求。至于完备性，要求就大大放宽了；而且“从研究完备的公理系确定的对象转向研究其公理系不完备的对象”被认为是现代数学的特征之一。二、公理化方法的意义和作用公理化方法对数学的发展起到了巨大作用，如在对公理化方法逻辑特征的研究中，产生了许多新的数学分支理论，非欧几何是由研究欧氏几何公理系统的独立性产生的，元数学理论或证明论是由研究公理系统相容性产生的，等等。但由于公理体系要求满足相容性、独立性和完备性，这给公理化方法造成了很大局限性，使得它一般只能用于已经发展到了一定成熟阶段的学科分支，以揭示它的内在规律，使之系统化、逻辑化，所以，公理化方法一般只是重新建构数学理论的方

17、法。公理化方法的“整理”作用及其使理论构建逻辑演绎体系的功能，有助于培养学生的逻辑思维能力。中学数学中的几何体系就是按照公理化方法的思想编排的，这使中学几何成为大家公认为最有利于培养逻辑思维能力的科目。但正如前苏联数学教育家斯托利亚尔所言：“在学校中普通能够实现的，只是有实际内容的公理体系”。现行几何教材正是这样做的：通过直观描述引入点、直线和平面等基本概念，无形中赋予了它们直观的、具体意义，又把那些显而易见的、学生能够认可的性质如“经过两点有一条直线，并且只有一条直线。”“所有联接两点的线中，线段最短。”“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。”等等作为公理，其他概念、性质和定理则

18、采用推理和直观相结合的方法演泽出来，即在学生可接受的情况下，充分体现公理化方法思想。4.3几个典型公理系统简介一、希尔伯特几何基础的公理系统1、希尔伯特几何公理系统的结构框图基本性质或公理结合公理顺序公理合同公理平行公理连续公理基本对象或原始对象点、线、面几何基础公理系统结合关系顺序关系合同关系连续关系平行关系基本关系或原始关系2、希尔伯特几何公理内容及其简要注释结合公理L11：过不同两点和，有且仅有一直线。L12：直线上至少有两点，且至少有三点不在同一直线上。L13：过不在同一直线上的三点、，有且仅有一个平面。在每一个平面上至少有三点。L14：如果一直线的两点、在一个平面上，则该直线的每一点

19、都在此平面上。L15：如果两个平面有一个公共点，则它们至少还有另一个公共点。L16：至少有四点不在同一平面上。顺序公理L21：若点位于点与点之间，则、为直线上的三个点，且位于与之间。L22：至少有一点位于任意两点与作成的直线上，且位于、之间。L23：直线上的任意三点中，至少有一点位于其他两点之间。L24：令、三点不在一直线上，又设直线位于、三点所在的平面上，但不通过、或。如果穿过线段中的一个点，则必穿过线段或中的一条上的一个点。合同公理L31：若、为一直线上的两个点，为直线上或另一直线上的一个点，则在 的给定一侧必可在或上找到点，使得线段合同于线段。记作。L32：和都与合同，则与 也合同，即若

20、 =。L33：令与为直线上无公共内点的两个线段。如果与为直线上无公共内点的线段，如果且，则。L34：令为平面上过点的两射线与所构成的一角，又令是平面上过的一条射线，则过在的一侧恰有一条射线 ，使得合同于。每个角皆与自己合同。L35：设 与为两个三角形，如果，且，则必有。注 由此公理还可推出。平行公理设为一直线，为不在上的一个点，则在与所在的平面上过点至多有一条直线与不相交。注 过点在上至少有一直线与不相交可由其余公理推出，所以不必列为公理。连续公理L51：若与为任意两个线段，则在直线上存在一组点 使得，都合同于，且使位于和之间。注 其实可使位于和之间，又因是任意的，且，这表明与可以任意靠近，故

21、由此可推得：存在点列，使得。倘若将直线上的线段长度用数来表示，上述公理就变成实数理论中的阿基米德公理。即对任意两个正数与，必存在一个自然数，使得。L52：凡满足结合公理一、顺序公理、合同公理及连续公理的直线上的一切点构成的点集不可能再扩大。注 本公理称为线性完备公理或康托公理，它刻画了直线上的点和所有实数可以建立一一对应关系。二、集合论公理系统公理系统1、公理系统形成简介自从集合论中的罗素悖论出现后，很多逻辑学家和数学家致力于集合论的改进工作，特别突出的是著名德国数学家策墨罗，他于1908年首先提出他的改进方案，即策墨罗集合论公理系统。后经弗兰克、史柯伦等人的改进，于1921-1923年间逐渐

22、形成了一个严格的形式化集合论公理系统，这就是著名的公理系统。在公理系统中加上选择公理，便是今天的公理系统。2、公理系统结构框图（ZFC）集合论公理系统基本对象和原始对象基本关系和原始关系基本性质或公理“集”及它的“元素”“集”及它的“元素”的隶属关系“”外延公理 空集公理对偶公理 并集公理子集公理 幂集公理无穷公理 正则公理代换公理 选择公理3、公理的内容及其简要注释外延性公理：如果两个集合与包含有完全相同的元素，则它们必相等，反之亦真，用符合表示为：注 本公理表明，一个集合完全由元素确定，所以人们也称它为确定性公理。对偶公理：对任何两个不同集合与，在存在一个集合，使得恰以和为其元素。用符号表

23、示为：注 本公理亦称无序对公理，策墨罗称它为基本集合公理。空集公理：存在一个不包含任何元素的集合。用符号表示为：注 本定理保证存在不含任何元素的集，同时用外延公理还可证明空集 是唯一的。并集公理：对任何集合，存在一个集合，使中的元素恰好是中元素的全体元素。用符号表示为：注 本公理也称和集合理。例如，则必存在集合，使得。子集公理：设是一个集合：是一个公式，则必存在一个子集合，使得中的元素恰好由中且满足的元素所组成，简记为：注 子集公理亦称分离公理，因为集合中的元素是由集合中的元素利用条件分离出来的。即集合是集合中挖出来的一部分。幂集公理：对任何集合，存在一个集合，使得中的元素恰好是中元素所组成的

24、子集的全体。用符号表示为：无穷公理：存在一个包含有无穷多个元素的集合。注 用并集公理和无穷公理可定义自然数和自然数集合。代换公理：在任意集合中的每一个元素，顶多被非中一元素（如果有的话）代换，而中被代换了的那些元素构成一个集合。正则公理：每个非空集合必存在元素,使得与的交集是空集，即选择公理：设是一个满足下列条件的集合：（）的每一个元素都是非空集合；（）中任意两个元素都相不相交，即则存在集合，使得中的元素恰好由中每一个元素中的仅一个元素组成。例如：则有。显然这样的不是唯一的。注 选择公理是策墨罗于1904年为证明整序定理而提出来的，到目前人们已发现有二十余种等价形式，选择公理的提出对近代数学的

25、发展和逻辑的严密性起了很大的推动作用，而且它几乎渗透到每一个数学分支。比如，数学分析中很多等价命题的证明（例如聚点、极限等概念的等价定义的证明）都要以它为根据。4、公理系统的特点、意义和作用首先，公理系统是一个完全形式化的抽象公理系统，也就是说它的结构表达形式完全已符号化。其次，十条公理可概括为三类：即外延原则，它的主要作用是保证集合的唯一性；概括原则，它的主要作用是解决的构造集合的问题；选择原则，它的主要作用是解决选择集合的问题。最后，公理系统为分析学奠定了严格地理论基础。例如在无穷公理和并集公理的基础上可以严格的建立自然数、自然数集合及自然数理论；在幂集公理基础上可以引出实数系；在子集公理

26、基础上可以讨论实数的任何子集及其性质等。由此可见，只要公理系统无矛盾，那么实数理论也就无矛盾。然而，尽管至今公理系统尚未发现矛盾，但这种无矛盾性还没有得到严格的理论证明。正如彭加莱所说：“我们设置栅栏，把羊群围住，免受狼的侵袭，但是很可能在围栅栏时就有一条狼被围在其中了”，而且根据哥德尔不完全性定理，公理系统本身不可能证明自己是无矛盾的，即它的无矛盾性只有借助外系统来证明。三、自然数公理系统1、自然数公理化的提出数学顾名思义是一门研究数的科学，人们皆知自然数来自实践，而且是数学的起步点。然而，由自然数的产生直到十九世纪末，在这个漫长的历史时期却很少有人对自然数的理论奠基工作进行过专门的研究。只

27、有到了近代，由于公理化相容性的研究及数学中悖论的出现，才迫使人们反过头来进一步研究数学的起点，即自然数的理论奠基工作，寻求建立自然数的公理化方法。自然数公理化方法的建立有几种类型，其中最著名的是意大利数学家皮亚诺在他1889年发表的算术原理：新的论述方法中所提出的公理化方法。下面我们给以简要介绍。 2、皮亚诺自然数公理化方法内容及其简要注释（1）原始（或基本）概念。（i）原始对象：自然数1、自然数集。（ii）原始关系：后继数（例如3是2的后继数）或后继函数。（2）公理组（i）每个自然数都有直接后继它的数 ，即 或 这条公理表明，自然数具有离散性，此性质是自然数的一个重要特征。（ii）1不是任何

28、自然数的后继数，即或这条公理保证了自然数集有首元素，即自然数集是一个良序集。（iii）每一个自然数不存在多于一个直接后继它的自然数，即（iv）每一个自然数都不直接后继多于一个自然数，即（v）任何一个自然数集，若具有性质：a）b）如果 ，那么 则自然数集包含了所有的自然数。也就是说自然数集与自然数集相等，即此公理称为归纳公理，它是数学归纳法的基础和根据。建立在自然数归纳公理基础上的数学归纳法的主要逻辑特征是，将一个无穷归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，其具体逻辑结构陈述于下：论证：（要证所有自然数具有性质P）。证明第一步（直接验证）。第二步 （由假设任一个自然数具有性质P能推出它的直接后继

29、也必具有性质P）。第三步 （第1、2步合取即得结论）。3、对皮亚诺公理系统逻辑特征的补充说明前面我们曾提到过哥德尔不完备性定理，从理论上证明了皮亚诺公理系统是一个不完备的公理系统，最近英国青年数学家巴黎斯等人，在组合论中发现了皮亚诺公理系统中既不能肯定又不能否定的一个纯粹组合问题，从而也就为哥德尔不完全备定理找到了一个具体实例。哥德尔不完全定理还告诉我们，皮亚诺算术公理系统的相容性在本系统内通过有限步骤是无法证明的。但是，数理逻辑学家甘岑在放宽条件下，即在皮亚诺公理系统外，依据超穷归纳法用超穷步骤证明了皮亚诺公理系统的相容性。4.4 数学结构方法一、结构方法简述19世纪至20世纪初，数学得到了

30、前所未有的高速发展，研究领域越来越广，数学这棵生长树越长越茂密，树岔越分越细，从而数学显得越来越庞杂无序，使得即便是造诣高深的数学家也无法全局把握、透视，面对这种发展趋势，于是数学界一个有意义的课题就应运而生，那就是，用统一的观点去处理这“庞杂”的内容，使之“有序”。对于数学的局部内容，这个想法可以实现，如德国数学家克莱茵利用“群论”观点统一处理了各种几何学（此即爱尔朗根纲领），美国数学家伯克霍夫（Birkhoff,G.D.1884-1944）用“格”的概念统一处理了代数系统的理论，那么，对于整个数学而言，能否采用某种统一观点将其重新整理呢？20世纪初，法国一批杰出的年轻数学家在爱尔朗根计划的

31、启示下，于1933年成立了以尼古拉布尔巴基（Nocholas Bourbaki）为名的数学家集体，其行动目标就是从整个数学全局出发，以集合论为基础，运用形式公理化方法，重新整理各个数学分支，从内容结构上给以彻底改造。其基本出发点是：数学是研究形式结构的科学，数学各分支应能按结构性质来统一分割和归类。这个集体不仅要求正式成员数学素质要好，善于创新，而且年龄不能超过50岁，他们经常组织讨论班和研究会，集思广益，协作探索，1936年正式向法国政府申请科学基金，并以布尔巴基名义发表众多成果和出版系列专著数学原理，他们著作的独特观点和风格赢得了布尔巴基学派称号，其思想即是结构主义，是用结构方法处理数学。

32、具体说来就是，利用形式公理法化方法抽象出各种数学分支各种结构，找出各数学分支之间的结构差异，从而获得各数学分支间内在关联的清晰图像。显然，它可以看作是现代形式公理方法的一种发展，因为，形式公理化方法是着眼于某一门数学的形式公理化或者结构化，结构的思想方法则是以现代形式公理化方法为工具，着眼于整个数学全局去看待各个数学分支，即不仅要在数学大范围内分析研究每一门数学的结构，而且还要分析研究各数学分支之间结构的差异及其内在联系。他们首先通过抽象分析法，建立了三种基本结构，也称母结构，即代数结构、序结构和拓扑结构，然后以这三个母结构为基础，按照结构之间的“不同”关系，交叉产生新结构，从而，使得数学由一

33、个分支结构转移到另一个分支结构，有层次地一直延伸出去，形成整个数学。正如他们所说：“数学好比一座大城市，城市中心有些巨大建筑物，就好比是一个个已经建成的数学理论体系，城市的郊区正在不断地并且多少有点杂乱无章地向外伸展，他们就好像是一些尚未发育成型的正在成长着的数学分支，与此同时，市中心又在时时重建，每次都是根据构思更加清晰的计划和更加合理的布局，在拆毁掉旧的迷宫似的断街小巷的同时，将修筑起新的更直、更宽、更加方便的林荫大道通向四方，”二、数学结构简介1、结构的概念我们称由集合组成的集合为集族，称集合的全部子集构成的集族为集合的幂集。所有序对组成的集合，称为集合的笛卡尔积，其中。对于给定的一个集

34、族 A，从这个集族出发，利用形成幂集和笛卡尔积的运算，按下列方式可以作出所谓A上的等级：（1）集族 A 上的所有集合是 A上的等级；（2）若是A上的等级，则也是A上的等级；（3）若是A上的等级，则 也是A上的等级；（4）不存在其他形式的 A上的等级。我们把 A上全部等级的并集叫做以 A为基的（或A上的）集合的等级表。例如设是某一集合，则集合 等都是上的等级。属于在集族A上建立起来的集合等级表中一个等级的某一元素，叫做在这一集族上的结构。显然，集族A的集合中的每一元素是在这些集合上的结构(A的每一个集合即等级表的一个等级)；等级表的任一等级是结构，（等级是的元素），集族A中的集合与之间的任一对应

35、是A上的结构（与之间的对应通过指定，并且的全部序对而完全给出。而这些序对的集合是笛卡尔积的子集，即是的元素）。在数学中研究的不是个别的结构（即不是属于A上等级表中某一等级的个别元素），而是结构的种类（由具有同一公理体系的全部结构组成）。2、数学结构的具体实例下面以抽象群理论来具体说明结构是怎样产生和如何确定一个结构。首先让我们考察三种运算：（1）实数的加法：实数的和按通常的方法确定。（2）整数“按模素数”的乘法 ：两数的“乘积”定义为两数通常的乘积除以的余数。（3）在三维欧氏空间中的位移“合成”：两个位移（按这个顺序）的“合成”（或“乘积”）定义为执行第一个位移后再执行第二个位移 所得到的位移

36、。在三种不同的运算中，用统一符号“”表示运算，用表示两个元素通过运算后确定的第三个元素，那么具体分析这三种不同运算的“运算性质”，会发现它们之间具有一种“明显的平行性”（即类似性、对应性）。从中可以选出互相独立的少数几个性质作为这三种运算的“共同性质”。如（i） 对于所有的元素有(ii)存在一个元素，使得对于每一个元素，有 (iii) 对应于每一元素，存在一个元素，使得由此看出，对这三种不同的运算，借助于统一的记号可以用相同的方式表达它们之间的“平行的”运算性质。这种表达的优点在于，在推理的过程中不必考虑元素的性质，唯一需要关心的是，元素的运算具有性质“(i)、(ii)、(iii)”这个前提。

37、这样，就可以引出相应的运算结构，群结构就是在某一集合中确定了某种运算，且具有三个性质(i)、(ii)、(iii)的一种结构。其中性质(i)、(ii)、(iii)叫做群结构的公理，展开这些公理的推论就构成群的理论。显然，群理论较之“实数加”、“整数模”、“位移合成”等理论概括得多，它适合于这三者中任一个。这就是研究结构意义之所在。由上述分析看出，具体而言结构是集合中元素间满足一定条件（公理）的某种关系，一个抽象的集合只不过是一组元素而已，无所谓结构，但引进了关系，就形成了结构。因此，关系是重要的，它就代表一种结构。3、三种基本数学结构简介（1） 代数结构 先从代数运算谈起，所谓非空集X中的n元代

38、数运算指到X的一个映射 叫做运算的阶。最常用的代数运算是二元代数运算，也即习惯上的代数运算。序对在代数运算下的象记作，显然，中的二元代数运算给出了中的一个三元关系：当且仅当时，三元序组满足这个关系。而三元序组的集合是笛卡尔积的子集，是的元素，故二元运算可以视为一种结构。若非空集中的代数运算记为，则序对就称为一个代数，即定义了运算的集合。代数的例子很多，如等。如果再给代数加上一定的公理，那它就构成各种不同的代数结构。如加上群公理、环公理、域公理等就分别构成群、环、域等常见代数结构，再以群为例具体说明之；例1 群结构二元序对称为群，是指它满足如下公理： 中的元素关于代数运算满足结合律，即，有 中存

39、单位元：即 ,使得，有 中每一个元素，都在中存在逆元，即 可见，群也就是在其上定义了满足上述公理，的二元代数运算的非空集合。例2 几个具体的群（1）整数集、有理数集、实数集、复数集关于通常加法分别构成群、。（2）正有理数集关于通常乘法构成群。（3）有理数域上的一元多项式集合关于通常多项式加法构成群。（4）集合关于矩阵加法构成群。可见，代数结构是由运算关系确定的结构。（2） 序结构集合A中的一个序是指A中规定的某些元素之间的一种关系“”，如自然数集中定义的“小于”关系，这个关系通过指定使的全部序对而被完全确定，这些序对的集合是笛卡尔积的子集，即是的元素，因此，集中的小于关系是利用中的元素来确定的

40、，故可视为结构，这类结构就称为序结构。常见的序结构有两种：半序结构和全序结构，建立了这两种序结构的集分别称为半序集和全序集（也称半序结构和全序结构）。半序集：如果的元素之间定义了一个关系“”，它满足如下公理：（i）自反性，对中的一切元素,有;(ii)反对称性，若；（iii）传递性，若则。则称为半序集，这个关系为半序关系。例 集合之间的包含关系系“”显然满足“三性”：；若则；若则，故幂集可以看成是一种半序集（结构）。例 自然数集中的整除关系是半序关系，因为能被自身整除；若能整除能整除,则;若能整除能整除,则也能整除,自然数集是一种半序结构。例 对定义在区间上的函数集，定义其上大小关系如下：若对于

41、任一 ，都有，则称不大于。这一大小关系也是半序关系。该函数是一种半序结构。全序集：满足下列可比性条件（iv）的半序集称为全序集；(iv)中的任意两个元素或至少有一个成立。例 一幂集中的包含关系不具有可比性，故不是全序集。例 不难验证，数集，关于整除关系构成一全序结构。但自然数集关于整除关系不构成全序结构。因为像和这两个元素，整除或整除均不成立，故不符合(iv)，但是，容易验证，自然数集关于“”关系构成一全序结构。例 实数集关于大小关系“”构成一全序结构。可见，序结构是由次序关系所确定的结构。（）拓扑结构集合内的拓扑是由开子集族给出的，即由的某一元素给出的，它满足公理： 此时，我们把二元有序组称

42、为拓扑空间。有时，空间的拓扑是由邻域系描述的。的一些子集组成的集族称为邻域族，若此集族满足如下邻域公理，此时，就称 为 X的一个拓扑结构；（i）中的任一元素在中有一个使 。（ii）中的任一元素，若在中有使，则。(iii)若是的一个子集，而中元素（iv）中的元素，对中任一含，若有，则必存在 ，使，且。我们可以应用邻域系来刻划收敛的特性，因为邻域公理中的(ii)与(iv)能保证选取一串越来越小的邻域，使之以为极限。所以，拓朴结构常被说成是能够描述极限的那种结构。从三种基本结构出发，通过增加一个或几个新公理，就可以得到许许多多的特殊结构。例如，从一般的群论出发，加上群的元素是有限的这一公理，就得到有

43、限群结构。母结构的有机结合也可产生多重结构。这样，遵循从一般到特殊，从简单到复杂的原则，一层一层地构造下去，就可得到许许多多独特的结构及其理论。从而，可把古典数学作某种统一，给整个数学一种概括。在20世纪的数学发展过程中，布尔巴基学派起着承前启后的作用，对现代数学的发展产生了极大的影响，在问题解决中有重要作用。布尔巴基学派认为真正能反映数学特点及本质的东西是“数学结构”，他们把数学看成是以结构为对象的科学，这种观点是与辩证唯物论是一致的。这是因为：结构方法否定了数学知识的先验观点，主张结构来源于人们实践的经验，正确地描述了数学中结构概念的抽象过程。如代数结构运算来自数量关系；序结构先后来自时间

44、观念；拓扑结构连续性来自空间经验。结构方法用整体的观点看数学，着眼于数学各分支的内在联系，说明了是什么使数学统一起来并使它有多样性。结构方法用变化观点看数学，主张结构不是一成不变的。结构方法还主张数学的真理性最终要用科学的实践来检验，用科学上的成功经验支持结构观点。结构方法的意义还在于它可以使数学家实现一种重要的“思维经济”，以往数学家为了解决一个具体的数学问题，必须根据具体问题的特性，为之探索适合于该问题的工具。今天，有了公理化方法，有了结构概念以后，数学家一旦在他所研究的元素之间认识到满足某个已知类型公理的关系时，就可以自由地支配属于该类结构的整个定理库。换言之，以前是一种方法解决一个问题

45、，现在是一种方法解决一类问题，从某种意义上来说公理方法和结构方法，把数学工具标准化了。三、同构、同态及其方法论意义我们通常要研究赋予一定结构的集合到赋予同类结构的集合内的映射，如具有某种代数结构的代数到具有同类代数结构的代数 的映射，有序集到有序集的映射，拓扑空间到拓扑空间内的映射等。同构、同态就是代数到同类代数的特殊映射。代数与代数 的同构是指双射，并且对于中任意的，有。代数到其自身的同构映射叫做这个代数的自同构。例1 代数同构。事实上，设 ，这时是到的双射。等式 说明了，即是的同构映射。例2 设 ， 其内的运算“+”、“”是通常的矩阵加法与乘法，则同构。事实上，令容易验证 是到的一个双射，

46、且有即是的同构映射。例3设，其内加法运算为令，则是内的一同态映射。因为仅是满射，不是单射。例4设，令 ，则易验证，是到的一满射，且故同态。由上可以看到，同构具有两层含义，一是在对象集与之间存在双射，二是双射保持与之间的运算关系，因此，对于具有同构关系的代数结构，我们可由一个结构中的某些性质推知另一结构中也具有相应性质，在此意义上可以说，对于同构的数学结构我们只需研究透一个就够了，或干脆看成一个结构（同构意义下），或者将某个结构中不易研究的性质拿到与之同构的另一个结构中去研究，等等。因此，同构在数学中具有重要的方法论意义。同样，同态作为同构的一种弱化，也具有两层含义，一是存在一个满射，二是满射单

47、方保持关系，即代数结构中的某一性质可以通过同态映射传到中，但反之不一定能行。所以，我们可以通过前者把握后者的部分性质，同态同样具有方法论意义。正如前述，从结构主义观点看，凡是具有同构关系的一些结构，在本质上都可以看成是同一种结构，于是，可以利用同构关系对代数结构进行比较和分类，在同一类中只要对其中一个结构的性质搞清楚了，那么，只须经过一个简单的符号“翻译”就可获得另一个结构的有关性质，同样，对于一个数学结构，我们也可以根据不同的需要采用不同的形式来表达，只须要求这些不同形式之间满足同构关系。我们熟悉的复数域结构就有如下不同的形式：（1）令按多项式四则运算方式构成复数域结构。（2）有序实数对的全体，按如下运算方式构成复数域结构： 。除法定义为乘法的逆运算，单位元是（1，0），（3）实数群全体按矩阵的加法、减法、乘法、除法（定义为乘法的逆运算，单位元是）构成复数