线性系统D稳定极点配置问题的研究方法.doc

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1、线性系统D稳定极点配置问题的研究方法摘 要20世纪50年代后期，控制理论由经典控制理论向现代控制理论转变，现代控制理论是在引入状态和状态空间概念的基础上发展起来的。与经典控制理论一样，现代控制系统中仍然主要采用反馈控制结构，但不同的是，经典控制理论中主要采用输出反馈，而现代控制系统中主要采用内部状态反馈。状态反馈可以为系统控制提供更多的信息反馈，从而实现更优的控制。闭环系统极点的分布情况决定于系统的稳定性和动态品质，因此，可以根据对系统动态品质的要求，规定闭环系统的极点所应具备的分布情况，把极点的配置作为系统的动态品质指标。这种把极点配置在指定的区域的过程称为极点配置。如果，这个区域是左半复平

2、面D，并且无论系统如何变化，其极点都落在此区域内，则该系统具有D-稳定性。本论文对线性系统的D-稳定极点配置问题进行了研究，分别以左半平面、圆域及扇形区域为例与精确极点配置比较，利用线性矩阵不等式LMI处理方法，编写系统的MATLAB仿真程序，仿真结果证明D-稳定极点配置的可行性和正确性。关键词: 线性系统；状态反馈；极点配置；线性矩阵不等式；D-稳定Linear system D stability study method of the pole placement problemAbstractIn the 1950s, control theory later by classical

3、 control theory to modern control theory shift, modern control theory is introducing state and state space concept developed on the basis of. As with classical control theory, modern control system still mainly USES the feedback control structure, but different is, classical control theory mainly US

4、ES the output feedback, and modern control system mainly USES the internal state feedback. State feedback control for system provide more information feedback, so as to achieve better control. The distribution of closed-loop system poles depends on system stability and dynamic quality, therefore, ca

5、n according to the system dynamic quality request, provisions that poles of close-loop system should have the distribution of the pole, configuration of the system dynamic quality indicators. The poles in the designated area process called poles. If, this area is left after plane D, and no matter ho

6、w the system changes, it fell on the regional pole, the system has within the D - stability. This paper the D - linear system steady poles were studied, by plane, round respectively left for example the sectorial domain and precise and poles comparison, by using the linear matrix inequality LMI trea

7、tment methods, writing system of MATLAB simulation program, using the simulation results prove D - stable correctness and feasibility of the poles. Keywords: Linear system; State feedback; Poles; The linear matrix inequality (lmi); D - stable 目 录摘 要IAbstractII1 绪 论11.1 课题背景及意义11.2 D-稳定性21.3 本论文研究的主要

8、内容32 理论基础及数学准备52.1 状态反馈52.1.1 状态反馈的构成52.1.2 闭环系统状态空间描述52.1.3 性能指标与极点配置72.2 线性矩阵不等式（LMI）82.2.1 线性矩阵不等式（LMI）82.2.2 LMI工具箱简介102.3 本章小结123 具有单指标约束的D-稳定极点配置方法133.1 引言133.2 精确极点配置133.2.1 精确极点配置算法133.2.2 仿真实例143.3 具有左半平面D-稳定区域极点配置163.3.1 具有左半平面D-稳定区域极点配置算法163.3.2 仿真示例183.3.4仿真结果分析193.4 具有圆形区域D-稳定极点配置213.4.

9、1 问题描述213.4.2 圆形区域D-稳定极点配置算法213.4.3 仿真示例及结果分析233.5 具有扇形区域极点配置253.5.1扇形区域D-稳定极点配置算法253.5.2仿真示例及结果分析263.7本章小结274 具有多指标约束的D-稳定区域极点配置284.1 引言284.2 多指标约束的D-稳定区域极点配置算法284.3 仿真示例304.4 本章小结30结 论32致 谢33参考文献34附 录351 绪 论1.1 课题背景及意义现代控制理论从50年代中、后期开始发展，目前已形成了若干分支，其中主要有线性系统理论、最优控制理论、最优估计理论、系统辨识、自适应控制及大系统理论等。而线性系统

10、是现代控制系统中最基础部分，也是最成熟的部分，它有着完全的理论和设计、计算方法；线性系统理论在应用中起着较大的作用，大多数在正常范围内工作的的系统，均能用线性模型来描述。 众所周知，稳定性是动力系统必须满足的性能。对于线性定常连续系统，其稳定的充要条件是极点在以虚轴为界的左半复平面内。而对于定常线性离散系统，其稳定的充要条件是极点在复平面上以原点为中心的单位圆内。另外，一个良好的实际系统除了应具有良好的稳态特性外，还需要具有良好的瞬态特性，以保证系统的品质要求，如时域形式的调整时间、超调量等，及频域形式的增益裕度和相位裕度等。而系统的瞬时性能一般由极点的具体位置所确定。因此，闭环系统的极点配置

11、问题一直是控制理论中的重要研究课题之一。总之，对于线性系统来，闭环系统极点的位置决定了系统的稳定性和动态品质。这是因为系统运动的形态即其动态性能，如过渡过程的超调量、过渡过程的时间等，主要是由系统的极点位置所决定的，将闭环系统的极点配置到所期望的位置，实际上等价于使综合得到的系统具有所期望要求达到的动态性能。所以，系统设计中, 需根据其动态品质的要求, 规定闭环系统极点应有的分布情况,把极点的位置看成是系统动态品质指标。但是，由于系统的不确定性和时滞的产生，使得系统精确极点配置很难实现。因此，人们转而研究如何使系统在保持稳定的前提下，使其闭环极点全部落入左半复平面上某个指定的区域内，这就是所谓

12、的区域稳定问题。如果闭环系统的闭环极点在默认指定的D域内变化而不会因为对象结构或参数的变化跑到左半复平面中的某个D区域外面去，则系统的稳定性是D-稳定性。这些区域一般以左半复平面，圆域，和扇形区域等为特例，因此，此类区域稳定性的研究更具广泛性、复杂性和理论与工程意义。1.2 D-稳定性线性系统的闭环极点配置在左复半平面内的一个适当区域内，就可以满足系统对动态和稳定的要求。如果，这个区域是左半复平面D，并且无论系统如何变化，其极点都落在此区域内，则该系统具有D-稳定性。例如，一个具有极点的二阶系统的阶跃响应是可以由无阻尼振荡角频率、阻尼比和阻尼振荡角频率完全确定的。为此，考虑图 1.1中由实线所

13、围成的阴影区域，该区域可以用如下的集合来刻画 图 1.1区域其中，均为给定的常数。将闭环系统的极点配置在中，可以保证具有最小衰减度，最小阻尼比和一个最大无阻尼自然频率，进一步，可以保证系统如最大超调、衰减时间、调节时间等过渡过程指标不超过由和所确定的上界。近年来，结合系统过渡过程特性的考虑，对系统极点某一特定区域D中的系统D稳定性问题已成为众多学者研究的热点。很多文献研究了一类可以用线性矩阵不等式刻画的区域LMI区域的D稳定问题，并得到了系统D稳定的用LMI表达的充要条件。对复平面C上的某一区域D，如果存在对称矩阵，满足 其中，是对称矩阵，是半正定矩阵，是的共轭复数。当时，则区域D称为一个LM

14、I区域，这些LMI区域都可以用一个线性矩阵不等式来刻画。D区域是关于实轴对称的区域，称为区域D的特征函数。通常，特征函数是Hermite矩阵，表示矩阵是负定的。许多常见的区域，例如圆盘，左半平面，椭圆形，扇形，抛物形等区域均是LMI区域。例如，保证状态响应具有稳定裕度的半平面是一个LMI区域，其特征函数为。又如以为圆心，以r为半径的圆域，其特征函数可以表示为 如果一个系统的如果一个系统的全部闭环极点皆稳定区域D-内，则系统是D-稳定1。如反馈系统（G，K），加入摄动后实际对象为用表示实际反馈系统。若反馈系统（），设表示从外部输入向量到内部输入变量的传递函数阵，于是有： 因此，该系统的D-稳定也

15、可以叙述为：如果系统的，则系统是D-稳定。1.3 本论文研究的主要内容对于线性系统而言，其稳定性取决于状态的零输入响应，因而取决于系统极点的分布，当极点的实部小于零时，系统是稳定的同时，系统动态响应的基本特性也依赖于极点的分布，若系统极点是负实数，则系统动态响应是非周期的，按指数规律衰减，衰减的快慢取决于极点的分布;若系统极点是具有负实部的共扼复数，则其动态响应是衰减振荡的，振荡的频率取决于极点的虚部，而振幅衰减的快慢由极点的实部决定。因此将系统极点配置在指定位置(这主要由综合问题中更为直观的性能指标，例如时域形式的过渡过程时间、超调量等和频域形式的增益稳定裕度、相位稳定裕度等，通过转换和经验

16、估计，而具体地加以给出的)，可以使系统满足性能指标的要求，从而改善系统的基本特性，具有实际的理论意义。传统的PID校正就是基于系统的传递函数，通过控制器的设计，将闭环系统的极点配置在指定位置上，从而获得满意的系统性能。在现代控制理论中，以状态空间描述和状态空间方法为基础，引入反馈和补偿器将闭环系统的极点配置在指定位置。显然，解决极点配置问题必须给出可配置条件和相应的配置算法。由于在控制理论中，主要的反馈形式有状态反馈和输出反馈两种。因此本文对极点配置问题进行了讨论:1) 状态反馈是控制理论中最基本的反馈形式之一。状态反馈就是采用线性系统的状态变量构成反馈律，进而改变系统矩阵，因此状态反馈具有改

17、变系统结构属性和实现性能指标的功能。首先，状态反馈的引入，不改变系统的能控性，但可能改变系统的能观测性。其次，由于状态反馈是系统结构信息的一种完全的反馈，因此状态反馈系统可以获得良好的动态性能。最后，当系统状态完全可测时，状态反馈控制器更易于实现。对于单输入线性定常系统，可以直接通过系统的特征多项式求出状态反馈增益矩阵。而对于多输入情形，主要以下几种算法:第一种算法是将多输入极点配置问题化为单输入极点配置问题，再求出反馈增益矩阵;第二种算法是将系统矩阵和输入矩阵化为能控规范形，再根据极点配置要求确定反馈增益矩阵。2) 线性系统的D-稳定性与控制一直是控制理论与工程界的研究热点之一，许多知名学者

18、都曾致力于D-稳定性的研究工作，且取得了一系列研究成果。关于D-稳定性的研究，目前已经形成较成熟的研究方法，这些方法主要是系统矩阵的谱分析法、矩阵范数和测度分析法、双线性变换法和LMI法，所涉及的系统包括连续和离散状态空间系统、不确定系统、时滞系统、奇异系统和随机系统等。本文主要利用线性矩阵不等式（LMI），研究区域极点配置方法中的几个特例，如：左半复平面，圆形区域和扇形区域，利用MATLAB7.0的LMI工具箱进行仿真。2 理论基础及数学准备2.1 状态反馈在经典控制理论中，利用系统输出进行反馈，构成输出负反馈系统，.可以得到较为满意的系统性能;减小干扰对系统的影响;减小被控对象参数变化对系

19、统性能的影响。因此输出反馈得到了广泛的应用，在现代控制理论中，为了达到希望的控制要求，也采用反馈控制方法来构成反馈系统。多数控制系统都采用基于反馈控制构成的闭环系统。反馈系统的特点是对内部参数变化和外部环境影响具有良好的抑制作用。反馈的基本类型包括状态反馈和输出反馈。状态反馈是以系统状态为反馈变量的一类反馈形式.状态反馈不增加系统新的状态变量，对系统输入矩阵无影响，状态反馈不改变系统的能控性2。下面，针对连续时间线性时不变系统，就状态反馈的相关问题进行简要的讨论。2.1.1 状态反馈的构成对连续时间线性时不变受控系统，状态反馈的构成可用图2.1所示的方块图表示，其中，状态x通过反馈矩阵K被回馈

20、到系统输入端，v为系统参考输入。考虑到反馈矩阵K为常阵而非动态系统，更确切地应称这类状态反馈为静态状态反馈。 图2.1 状态反馈结构图 2.1.2 闭环系统状态空间描述 状态反馈方框图如图2.2所示。DB?AKCuvyx-+图2.2 受控系统状态反馈图对受控系统，用状态向量的线性反馈构成的闭环系统，成为状态反馈系统。受控系统的方程为线性系统的反馈规律为 因此，通过状态反馈构成的闭环系统的状态方程和输出方程为 （2.1）一般D=0，式子（2.1）可简化为 常表示为。其传递函数矩阵为 应当指出：(1). 反馈的引入并不增加新的状态变量，即闭环系统和开环系统具有相同的阶数。(2). 反馈闭环系统能保

21、持反馈引入前的能控性，但又不一定保持原系统的能观测性，即闭环后需要重新判定。(3). 在工程实现的某些方面，常常遇到一定的困难。因此在某些情况下，还需将上述反馈形式推广为更一般的形式，即带观测器的状态反馈闭环系统。这是因为人们要实现状态反馈的一个基本前提是，状态变量必须是物理上可量测的。当状态变量不可量测时，设法由输出y和控制V把系统的状态X构造出来，即采用观测器来获得状态的量测量，以实现状态反馈。因为观测器也是一个线性系统，其阶数一般小于受控系统的阶数。所以，带观测器的状态反馈系统，其阶数等于受控系统和观测器阶数的和，即受控系统的状态变量和观测器的状态变量组成了闭环系统的状态变量。(4).

22、事实证明，状态反馈使系统具有更好的特性，而且随着观测器理论和卡尔曼滤波理论的发展，状态反馈的物理实现问题也已基本解决。2.1.3 性能指标与极点配置线性系统的特性，在很大程度上是由系统极点决定的，因此系统设计的性能指标，可以取为平面s给出的一组多希望的极点，即，组成希望特征多项式，即 应当说，这种性能指标形式仍为经典范畴的形式，而设计方法为现代意义的极点配置法。所谓极点配置法，就是通过状态反馈阵K的选择，使闭环系统的极点，即的特征值恰好处于所希望的一组极点的位置上。选取希望极点也是复杂的问题，它所要遵循的基本原则如下： 对于一个维控制系统，可以而且必须给定个希望的极点。所希望的极点可以为实数或

23、复数，但是当以复数形式给出时，必须以共轭复数对形式出现，即物理上是可实现的。 选取所希望极点的位置，需要研究他们对系统品质的影响，以及它们与零点分布状况的关系，从工程实际的角度加以选取。 在所希望极点的选取中，还必须考虑干扰和低灵敏度方面的要求，即应当具有较强的抑制干扰的能力，以及较低的对系统参数变动的灵敏度。2.2 线性矩阵不等式（LMI）2.2.1 线性矩阵不等式（LMI）在控制工程中，许多控制问题尤其是鲁棒控制问题，都可以转化成一种称为线性矩阵不等式或带有线性不等式限制条件的最优化问题的求解。线性矩阵不等式一般形式如下： （2.2）其中，是变量，是已知的实对称阵。实际应用时，通常遇到的L

24、MI并不呈现式（2.2）的形式，其中变量不是向量而是一个（或多个）实矩阵，但它可以等价地转化成式（2.2）形式。例如，对于以下矩阵不等式 （2.3）其中，矩阵变量为适当维数的已知实数矩阵，为对称阵。将X按矩阵空间的简单基展开，即为X的一个元素，则式（2.3）可以写成LMI的标准形式（3-1），即 （2.4） 众所周知，基于Lyapunov稳定性理论研究系统鲁棒稳定性的问题，最后化为Riccati方程或等式的求解问题。但是Riccati方程或不等式的求解往往依赖于参数的调整，并且不能对性能指标进行优化。线性矩阵不等式方法则可以克服Riccati方法的上述缺点，并且可以很方便地利用 Matlab中

25、的LMI工具箱进行求解。并且在具体问题上常常直接采用LMI的紧凑形式，如式（2.3）。在控制理论中，上述经常遇见的两种矩形不等式为1.李亚普诺夫（Lyapunov）不等式； （2.5）2.黎卡提（Riccati）不等式 ； （2.6）显然，式（3.4）是线性矩阵不等式，式（3.5）由于含二次项，故此式是二次矩阵不等式而不是线性矩阵不等式，但利用下面schur引理，可容易将其变成线性矩阵不等式，因此schur引理往往起决定性作用，即 （2.7）LMI基本变换引理：schur补引理：对于任意方块矩阵 若,当且仅当 （2.8）或者 （2.9）由Schur补定理可以将控制问题转换为线性矩阵不等式的优化

26、问题，同时也是一种凸优化问题。若,当且仅当下面二式有一个成立即可： （2.10）或者 （2.11）该引理用于矩阵不等式的等价变换。 线性矩阵不等式的求解一般可归纳为下列三类问题：一、 可行性问题求使得 （2.12）二、 具有线性矩阵不等式限制条件的线性规划问题满足于 （2.13）三、 具有线性矩阵不等式限制条件的广义特征值最小化问题满足于 （2.14）在控制理论中，大多数控制问题都可以转化为上述三种矩阵不等式问题中的一种。2.2.2 LMI工具箱简介在60年代，已经提出了线性不等式，但是由于求解形式（2.12）（2.14）所描述的线性不等式的算法还不够成熟。再加上求解量大，因而线性矩阵不等式在

27、实际中未得到充分应用。近几年来，由于线性不等式的不断完善，求解算法也不断成熟，加上计算机的广泛应用，线性矩阵不等式的求解变的很方便，因此线性矩阵不等式在实际工程中尤其在控制工程理论中得到了广泛的应用。由于用线性矩阵不等式求解控制理论中的问题是当今控制理论发展的一个重要方向，因此出现了许多计算机应用软件，其中以美国MathsWorks.Inc公司用C语言开发的MATLAB软件最为流行，到目前为止，已经相继推出了几个版本，其中在MATLAB5.3、MATLAB6.5、MATLAB7.0等版本中，增加了用于求解线性不等式的线性矩阵不等式控制工具箱。线性矩阵不等式工具箱给出了用于求解线性矩阵不等式的集

28、成环境。由于这个工具箱功能强大和友好的用户界面，因此可以开发自己的应用程序。这里我们知介绍工具箱中几个重要函数3。1) setlmis（）：初始化新的LMI系统。2) lmivar（type，struct）：增加新的矩阵变量到当前的LMI系统中。其中，type（类型）：根据变量的不同类型设置（13），1表示矩阵为对称块对角阵，2表示矩阵变量为满秩阵，3表示矩阵变量为其它：struct（结构）：若type=1，则struct的第i行描述的第i个块对角阵，其中struct（I,1）代表块的大小，struct（i,2）代表块的性质，如果是尺度块，则struct（i,2）取0，如果是满块，则取1，如果

29、是0块，则取-1.若type=2，假若是M矩阵，则struct（i,2）=M。若type=3，则struct是一个与同维的矩阵，其中，struct（i,j）=+n，当X（i，j）为第n个待求变量乘上（-1）时,struct。3) lmiterm（termID,A，B,flag）：给当前描述的LMI系统中的某个LMI增加一项。其中，termID为4输入向量，用来指定项的位置和性质。对于termID（I）：若该项位于第n个LMI的左边，则termID（I）=+n，若该项位于第n个LMI的右边，则termID（I）=-n。对于termID（2:3）=0 0。对于termID（4）：若该项属于常数项，

30、则termID（4）=0，若该项属于变量项，则termID（4）=m，若该项属于变量项: termID（4）=-m,其中，m为由函数lmivar返回的变量的标识。A可以是外部因子，常数项或者变量项或者的左系数，B是变量项或者的右系数。Flag:设置flag=s，在一个lmiterm函数快捷定义表达式+。4) LMIs=getlmis:如果系统已经用lmiterm进行了完整描述，则返回这个LMI系统的内部描述LMIs内部描述LMIs能够直接传递到求解工具或者其它LMI-Lab函数中去。5) :求解LMI系统定义的线性矩阵不等式拘束条件问题的可行性。如果问题是可解的，则输出xfeas将是待求向量的

31、一个可解值。给定的可解性问题，解决凸优化过程。6) :针对拘束极小化。其中， 是待求变量。LMIs:LMI拘束的系统描述；：与同维的向量；options（选择项）：控制参数的5输入向量；xinit（选择项）：的初始值。Target（选择项）：目标值，一旦可行的找到，即:，中断迭代；:目标的极小化值；:待求变量的极小化值。使用可以从取出相应的矩阵变量的值。7) ：求解广义特征值最小化问题。对LMI拘束以及，求。这里，表示待求变量。正定拘束必须很好限定，涉及t的LMIs必须最后限定。LMIs：LMIs ：LMI拘束的系统描述；：涉及的LMIs的数目；options（选择项）：控制参数的5输入向量。

32、2.3 本章小结本章作为理论基础，着重介绍了状态反馈和线性矩阵不等式（LMI），本文主要利用MATLAB中的LMI工具，进行仿真和分析。本章着重对LMI工具进行了介绍，并且引进了一些重要理论，为第三章、第四章的极点配置做理论基础。3 具有单指标约束的D-稳定极点配置方法3.1 引言在控制理论与实践中的一个基本问题是设计反馈控制律，将闭环系统的极点配置在所期望的位置上，以保证闭环系统具有所要求的动态和稳态性能。在最初的极点配置问题研究中，考虑的是精确的极点配置问题，即将闭环极点配置在复平面中事先给定的位置。然而，由于模型的不精确性和各种扰动的存在，使得这样一种精确极点配置的控制方式不可能得到真正

33、的实现。实际设计中往往将极点配置在指定的区域内，区域极点配置已经有了很多较完善的结果。一些感兴趣的区域有：左半平面，圆域，扇形区域，垂直条状区域等。如Yao（2004）中所设计的控制器，就能保证系统无论是否发生故障都能使系统的极点保持在指定的区域内，这种控制被称为可靠控制。尽管经典控制理论研究方法如Nyquist稳定性判据、根轨迹法、频率响应法、超前滞后补偿法等在一定程度上能解决单变量线性系统的控制问题，但是这种方法当被控对象的数学模型具有不确定性时，就不能满足系统的综合要求，为此需要分析和设计的要求，将系统极点配置在指定的区域内。下面介绍的利用线性矩阵不等式（LMI）来求解系统极点的方法可以

34、克服这个问题。所以，D-极点配置问题是一个具有实际意义和吸引力的研究领域。3.2 精确极点配置3.2.1 精确极点配置算法对于线性系统而言，其稳定性取决于状态的零输入响应，因而取决于系统极点的分布。当极点的实部小于零时，系统是稳定的；当极点的分布在虚轴上时，系统是临界稳定的；当极点的实部大于零时，系统是不稳定的。同时，系统动态响应的基本特性也依赖于极点的分布。若系统极点是负实数，则系统动态响应是非周期的，按指数规律衰减，衰减的快慢取决于极点的分布；若系统极点是具有负实部的共轭复数，则其动态响应是衰减振荡的，振荡的频率取决于极点的虚部，而振荡衰减的快慢由极点的实部决定。因此将系统极点配置在指定位

35、置，可以使系统满足性能指标的要求，从而改善系统的基本特性，具有实际的理论意义。在极点配置方法中为使全部的闭环极点位于期望的位置上，需要反馈全部的状态变量。但在实际系统中，不可能测量到全部的状态变量，为了实现状态反馈，利用状态观测器对位置的状态变量进行估计是十分必要的。给定线性定常系统为 （3.1） 式中，x为n维状态向量；u为p维状态向量；A和B为相应维数的常数阵。若给定n个反馈性能的期望闭环极点为 （3.2）则极点配置的设计问题就是确定一个状态反馈增益矩阵K，使状态反馈闭环系统 （3.3）的极点为，即 （3.4）其中，表示的特征值。3.2.2 仿真实例本节利用MATLAB控制系统工具箱提供的

36、函数acker( )和place( )进行精确极点配置，它们的调用格式如下：K=acker(A, B, P)K=place(A, B, P)其中，K为状态反馈矩阵，P为希望配置的极点位置，acker函数用于SISO系统的极点配置设计，place函数用于MIMO系统的极点配置设计。考虑如下形如（3.1）的线性定常系统其中：，设计目标：试设计状态反馈矩阵K，将闭环系统的极点配置为，。利用MATLAB仿真软件，求得状态反馈增益矩阵K为图3-1和图3-2给出了系统输出及各状态在单位阶跃信号作用下的仿真曲线。从仿真曲线可以看出，系统动态性能良好。 图3.1 各状态单位阶跃响应曲线 图3.2 输出单位阶跃

37、响应曲线3.3 具有左半平面D-稳定区域极点配置3.3.1 具有左半平面D-稳定区域极点配置算法区域极点配置是控制理论中一个非常重要的性能指标，旨在提高闭环系统的动态性、稳态性和鲁棒性。本节主要研究线性定常系统在状态反馈控制律作用下具有左半平面D-稳定区域极点配置问题。仍考虑如下形式线性定常系统其中各参数定义同3.2小节。 定义3.14 对复平面C上的某一区域D，如果存在对称矩阵，满足 （3.5）其中，是对称矩阵，是半正定矩阵，是的共轭复数。当时，则区域D称为一个LMI区域，这些LMI区域都可以用一个线性矩阵不等式来刻画。D区域是关于实轴对称的区域，即 （3.6）称为区域D的特征函数。通常，特

38、征函数是Hermite矩阵，表示矩阵是负定的。 保证状态响应具有稳定裕度的左半平面是一个LMI区域，其特征函数为 （3.7） 定义3.2 矩阵称为D-稳定的，当且仅当的特征值位于复平面上的区域中，并称系统也是-稳定的。 引理3.15 矩阵是-稳定的，当且仅当存在对称矩阵，使得 （3.8）成立。其中，表示两个矩阵的Kronecker乘积，即若，,则。式子（3.7）与（3.8）对照可得：， （3.9）将式（3.9）代入式（3.8）中可得： （3.10）对于反馈系统，我们希望寻求一个状态反馈控制 （3.11）将闭环系统的极点配置在区域内，由引理3.1及式（3.10）不难得出如下推论： 推论3.1 反

39、馈系统在状态反馈（3.11）控制下，其闭环系统所有极点在复平面区域内，若存在正定对称矩阵及任意矩阵Q，当且仅当如下LMI成立 （3.12）其中，为状态反馈增益矩阵。 证明：将式子（3.10）中的用替换，得 （3.13）将式（3.13）左右两边同乘以，得 （3.14）令，整理可得： （3.15），上式可得 （3.16）整理后，上式可得 （3.17）故推论3.1成立。 下面给出线性定常系统区域极点配置的算法步骤：1） 根据对系统性能的要求，选取适当的参数，即确定区域；2） 应用MATLAB工具箱求解推论3.1中的线性矩阵不等式（3.12），得到和；3） 利用公式，求出状态反馈增益矩阵；4） 得出控

40、制率，作用于系统。3.3.2 仿真示例考虑如下形式线性定常系统其中：， 首先给定期望的区域极点指标为：将闭环极点配置在线的左侧。试设计状态反馈矩阵K，且已知系统初始条件为。利用MATLAB的LMI工具箱为上述系统进行仿真，程序清单见附录。3.3.4仿真结果分析 根据推论3.1，利用利用MATLAB的LMI工具箱求得矩阵不等式（3.12），解得结果如下：Solver for LMI feasibility problems L(x) R(x) This solver minimizes t subject to L(x) R(x) + t*I The best value of t should

41、 be negative for feasibility Iteration : Best value of t so far 1 0.159552 2 0.026378 3 -0.549154 Result: best value of t: -0.549154 f-radius saturation: 0.000% of R = 1.00e+009X = 55.5208 -66.4250 46.9186 -66.4250 104.5539 -130.2421 46.9186 -130.2421 386.5994Y =-44.3108 307.7338 -431.8330K =18.8784 18.4232 2.7985图3-3给出了在本节所设计的状态反馈控制律K作用下闭环系统的零输入响应曲线。图3-4给出了闭环系统的极点在复平面上的极点分布。从图3-4可以看出，闭环系统的极点均分布在的左侧。从仿真结果看，证明了该设计方法的可行性和有效性。 图3.3 零输入响应曲线 图3.4闭环系统极点分布3.4 具有圆形区域D-稳定极点配置在对系统的分析和设计中，首先要考虑的是系统的稳定性问题，而线性系统的稳定性与其极点的位置紧密相关，在综合考虑系统的各种性能时，通常需要根据分析和设计的要求，将系统极点配置在一个合