运用概率统计理论求极限毕业论文.doc

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1、运用概率统计理论求极限 摘要：文章对概率统计极限理论展开讨论，分析了利用概率统计方法在极限求取问题时可取得比较好的效果，分别用大数定律、强大数定律、中心极限定理、母函数理论进行极限的求取. 另外，文章还介绍了在数列极限求取中，建立概率随机模型的方法，并一一列举实例进行验证. 关键词：概率统计极限理论 中心极限定理 母函数 强大数定律Applying the theory of probability and statistics to the limitStudent majoring in mathematics and applied aathematics Su Zhaotong Tut

2、or Wang ShaofengAbstract：In this paper，the limit theory of probability and statistics discussion and analysis of the probability of statistical methods used in mathematics to obtain the limit problem can be achieved relatively good results，respectively，the central limit theorem，and strong law of lar

3、ge numbers theory and generating functions limit the strike，another，also introduced in the series，struck in the limit，the probability of stochastic model to establish the method，and provide examples for authentication one by one. Key words：probability and statistics; central limit theory; generating

4、 functions; theory of strong law of large numbers引言 概率统计极限理论是近年来数学研究领域的一个热点问题，也是概率统计学科中的一个主要的分支，而且是概率统计学科知识用于其他分支的重要支撑点，比如在生物信息学领域、计量经济学领域和金融经济学领域等，是一种工程技术所需要的非常重要的工具和理论基础. 在国内，关于概率统计极限理论的研究要数浙江大学下属的概率统计专业了，作为国内概率统计极限理论十分重要的研究实验室，它不但为国家培养了概率统计专业领域里的大量人才，也使我国此领域的学术研究在国际上占有一席之地，并拥有了较好的成绩和声誉. 从最近几年来看，概

5、率统计极限理论的发展十分的迅速，特别是基于多学科之间的交叉互补思想，目前其它的理论学科也在努力的和一些应用学科领域建立某种程度上的联系和交叉，概率统计学科在这种大潮中当然不能排除在外，而这样也加速了概率统计学科的突飞猛进的发展. 所以，此领域的研究方向和研究方法也随着变得更加的日新月异. 文章的主题内容是概率中的极限理论，特别举出几个实际例子来分析这种集两种学科内容于一身的理论的实用性和可行性，最后对概率统计极限理论的未来发展前景也有所涉及. 1 概率统计极限理论目前进展和前沿的发展斯坦福大学和浙江大学在自正则化极限理论及其应用方面已经有了比较系统的结果或结论，我们在此进行简单的介绍，这些理论

6、主要包括了下面几个部分：自正则化Cramer定理、自正则化鞍点逼近、自正则化重对数律、自正则化随机过程的指数不等式和没有矩条件下的自正则化大偏差等这一类领域的研究成果. 基于已经较为成熟Stein Chen方法，现在已经有一部分学者Stein恒等式和Stein Chen方法如何应用在正态逼近中开始尝试着进行探讨. 比如，从下面的几位院士对这一领域的最新研究近况来看：马志明院士研究了估计无线传感网络中的覆盖概率问题，并重点研究了如何利用Stein Chen方法来对收敛速度进行估计；又如，严加安院士在两类空间的基础上，研究了泛函表示定理是如何有效的应用在估计金融风险问题上的；还有陈木法院士对于中心

7、极限定理的研究，他指出在不同的意义下以收敛速度的角度作为切入点，研究了连续Markov过程涉及的收敛速度及相关应用问题. 就目前概率统计极限理论的研究，在很大的程度上，强调了与其他学科的有机结合与交叉. 如文章所讲的内容，是用在数学中的极限求取问题上的，这种结合对问题的解决是有一定帮助的. 这种结合势必会牵涉到概率统计理论的一些重要理论分支，比如，时间序列、随机过程和风险理论等，这种各个领域理论的交叉潜力令我们看到，概率统计极限理论在未来重要的应用价值和越来越广阔的发展前景. 回到今天的重点，文章的研究内容是概率统计方法应用在极限理论中，所以，在了解了概率的相关知识后，接下来很有必要对极限理论

8、做一个简单的介绍，在极限理论中存在着很多种的极限计算方法，不过这些方法不全都是方便和有效的，有一些是比较复杂的和特殊的，比如就有一些形式的数列极限是不容易进行计算的，或者说这种计算往往是十分困难的. 把概率统计理论的知识，包括它的一些基本性质，加入到极限问题的求取中有时候是可以很容易的进行计算的，尤其是对一些特殊形式的数列极限更有研究的价值，因为它本身就是不容易用其它方法计算的. 文章通过实际例子，阐述概率方法在极限计算中的应用. 2 概率统计理论在极限求取中的应用在通常情况下，我们遇到的数学极限问题都是非常简单的，然而，当遇到的是比较复杂的一些极限求取问题时，除了可以利用罗必达法则和等价无穷

9、小关系等来求解之外，还可以运用概率统计的思想. 这种解题的思路只适用于在实际中遇到的十分复杂的极限求取问题，尤其是用一般方法很难解出的情况，此时，往往数学分析中的其他方法显得无能为力. 下面仅从求取极限的角度来分析概率统计理论是如何应用在极限中的，并用几个实例来进行详细说明. 通过概率统计理论在解决数学极限求取问题的成功应用，沟通和建立了数学这个学科内部不同领域之间的有机联系与巧妙结合，进而让我们看出概率统计方法在各个领域做到实际应用的可行性和广泛性. 文章通过概率统计方法来进行难度很大的极限的计算，以期使这种计算变得更加的简便. 21 利用大数定律求极限大数定律讨论的是关于独立随机变量序列的

10、平均结果的极限，给出了取平均值的理论依据. 定义1 概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理,称为大数定律. 定理1（切比雪夫大数定律）设是一列相互独立同分布的随机变量，它们的方差有界，即存在常数c0，使有,则对，.定理2（强大数定律）设是一相互独立的随机变量序列，且，则.定理3 (控制收敛定理)若为随机变量序列， ，Y可积，且，则. 涉及多重积分求取的问题，通常是比较困难的，如果再加上求极限的话，那么就会变得更困难. 随机变量的引入，基于上述的强大数定律和控制收敛定理，可以使这种问题较易处理. 例1 求证时，. 证明 假设是独立同分布的随机变量序列，服从( 0，1) 上的均匀

11、分布，则独立同分布，独立同分布. 而且，故满足定理2的条件. 因此，根据强大数定律，可得；同样道理，可以推断出.因此可知，；进而满足定理3的条件，可得，根据数学期望性质，题目得证. 22 利用中心极限定理求极限中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理. 这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件. 定义2 概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理. 定理 4 (独立同分布下Lindeberg-Levy 中心极限定理)若是一列独立同分布的随机变量，且存在0，k=1，2，3，则对一切x都有.

12、定理5（独立不同分布下李雅普诺夫中心极限定理）设是相互独立，且有有限的数学期望与方差，令，若存在，使当时，则随机变量的分布函数，都有.例2 求证. 证明 假设Xn是独立同分布的随机变量序列，Xn(n1)服从参数=1的Poisson分布，那么存在EXn=1，方差DXn = 1，n1， 故Xn满足定理4的条件，进而可得出下面的结果:， 即 .另外，由于Poisson分布是可加的，因此，服从参数为n的Poisson分布. 进而可得出下面的结果：.题目得证. 例3 设，为一列独立的随机变量，对每个n1，Xn服从(-n，n)上的均匀分布. 试证：对.证明 因为随机变量，是独立但不是同分布的，故可验证它是

13、否满足定理5的条件. 因为服从(- k， k) 上的均匀分布(k=1，2， n，)， 故 ， ，又；当取时，此时，随机变量，满足定理5的条件. 故对，即，所以.2. 3 利用母函数求极限定义3 如果随机变量X的分布列是，那么被称作随机变量X的母函数或者分布列的母函数. 一个母函数可以唯一确定分布列. 因此，通过建立合适的随机变量模型，从母函数切入，可以比较顺利地解决极限求取问题. 例4 已知k为非负整数，n为正整数，若. 求证. 证明 首先，如果随机变量X服从Pascal分布的话， 那么其分布列就是下面的形式：= ，而其母函数是，另外，如果它的随机变量Y服从参数为的Poisson分布，那么概率

14、分布列为，且其母函数为. 要想证明题目，只要证明下式，即.由可知，待添加的隐藏文字内容3，则可得，题目得证. 2. 4 利用概率随机模型求复杂数列极限我们在此处介绍的方法是利用预先建立的合适的随机模型，加入概率统计理论的方法可以确定一类结构复杂的数列极限，利用实例对这种方法进行说明. 例5 设下式成立：，求证. 证明 解决以上问题需要建立下面的随机模型:我们假设现在有两个袋子，一个装两个红球，一个装一个红球和两个白球，并进行有放回的拿取. 从两袋中分别取出一球，如果取到的两个都是红球的话，那么成功；如果不是上述情况，那就再在两个袋中分别放进一个白球，再接着按照上面的规则进行操作，一直到成功停止

15、. 记A =“取球成功”，“一直到第 k 次取球时候才成功”， 则 因为各个两两互斥， 所以可得. 另外由A的对立事件 = “取球不成功”可知从而可得.3 讨论因为极限的求取有时候是非常困难的，而方法又是林林总总、多种多样，文章从概率统计论的角度来解决这些比较复杂的极限，由实例可知，得到了比较好的计算效果. 文章介绍了概率统计极限理论，特别是一些重要的概率统计方法在数学极限求取问题中的应用，分析了中心极限定理、强大数定律、母函数理论进行极限的求取等. 由以上的理论和实例可以看出，概率统计极限理论有着重要的应用价值以及发展前景，为不同的理论方法的融合提供了很好的示范. 参考文献：1华东师范大学编

16、. 数学分析（上册）M. 上海：高等教育出版社，1999. 2刘玉琏，傅沛仁，林汀，刘宁编. 数学分析（上册）M. 第5版. 北京：高等教育出版社，2007. 3魏宗舒等编. 概率论与数理统计教程M. 第2版. 北京：高等教育出版社，1983. 4茆诗松，程依明，濮晓龙编. 概率论与数理统计教程M. 北京：高等教育出版社，2004. 5周概容. 概率论与数理统计M. 北京：高等教育出版社，1984. 6中山大学数学力学系. 概率论与数理统计M. 北京：高等教育出版社，1980. 7贾兆丽. 概率方法在数学证明中的应用J. 安徽工业大学学报，2002，19(1). 8汪嘉冈. 现代概率论基础M.

17、 上海：复旦大学出版社，1988. 9苏淳. 概率论. 第一版M. 北京：科学出版社，200410中山大学统计科学系. 概率论与数理统计M. 北京：高等教育出版社，2005. 致谢：在论文写作过程中，我感到学术研究着实艰辛. 自去年寒假开始，我通过翻阅书籍、上网等方式查阅了大量资料，收获颇丰. 多亏王副教授和张舒昕组长多次催促，才使我最终完成此文. 本次毕业论文设计能够顺利完成，首先要感谢指导我的王绍锋副教授. 他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我. 从选题到论文的最终完成，王老师都始终给予我细心地指导和不懈地支持. 在此，谨向王老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意. 我还要感谢在论文写作过程中给予我支持与帮助的同学们，谢谢你们！