等价无穷小在求函数极限中的应用数学系毕业论文.doc

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1、 学科分类号 输入专业代码 本科生毕业论文(设计)题目（中文）：等价无穷小在求函数极限中的应用（英文）： The application of Equivalent lnfinitesimal in limit of function 学生姓名： 学号：0909402011系别：数学与应用数学专业：数学与应用数学指导教师： 起止日期：2010.122011.052013年 5月 5 日怀化学院本科毕业论文(设计)诚信声明作者郑重声明：所呈交的本科毕业论文(设计)，是在指导老师的指导下，独立进行研究所取得的成果，成果不存在知识产权争议。除文中已经注明引用的内容外，论文不含任何其他个人或集体已经发

2、表或撰写过的成果。对论文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确的方式标明。本声明的法律结果由作者承担。本科毕业论文（设计）作者签名：尹朝晖2013年 2 月 25日目录摘要I关键词IAbstractIKey wordsI1前言12第二章标题32.1第二章二级标题32.1.1第二章三级标题33第三章标题73.1第三章二级标题73.1.1第三章三级标题74第四章标题74.1第四章二级标题74.1.1第四章三级标题75第五章标题75.1第五章二级标题75.1.1第五章三级标题76第六章标题86.1第六章二级标题86.1.1第六章三级标题87结束语8参考文献9致谢12附录A13等价无穷小在求函

3、数极限中的应用摘要要等价无穷小作代换是计算极限的一种常用、方便、有效的方法，围绕无穷小之比、变上限积分的极限、幂指函数和Taylor公式，利用等价无穷小代换思想进行分析应用，以此达到极限求解中化繁为简，化难为易的目的。在求极限过程中，用等价无穷小代替，起到了一种化繁为简的作用，在函数中也能使用等价无穷小。提出了等价无穷小量的代换定理，它可以解决函数是乘积因子、代数和及未定式的极限等问题。并给出了等价无穷小量代换定理的详细证明。关键词函数极限; 等价无穷小；替换；应用Insert the Title of ThesisAbstract To be of Equivalent Infinitesi

4、mal Substitution is to calculate the limit for a common, convenient, and effective method, the infinitesimal ratio, variable upper limit integral limit, the power function and the Taylor formula, analysis and application of the Equivalent Infinitesimal Substitution thought, so as to achieve the ulti

5、mate solution to simplify, easier to. In the limit process, replaced by equivalent infinitesimal, plays a simple role, can also use the equivalent infinitesimal in the function. The substitution theorem equivalent infinitesimals, it can solve the function is the product factor, algebra and indetermi

6、nate problems such as limit. And gives a detailed proof of Equivalent Infinitesimal Substitution theorem.Key wordsThe limit of function; Equivalence Infinitesimal Replacement; application;1前言高等代数研究的主要对象是函数，而研究函数的主要方法是极限，因此关于极限的理论与计算是高等数学的重要内容之一。极限的计算方法时多样灵活的，也很技巧。其中等价无穷小代换是计算未定式极限的常用方法。用它可以求解某些用其他方法

7、难以求解的极限问题，并且使运算过程更为简洁。本文提供了等价无穷小量的代换定理，它的提出扩大了等价无穷小量代换的范围，使之能够更广泛地应用于求函数极限之中。罗必达法则也常用于求极限，但有时候合理的使用等价无穷小量代换方法，可以收到事半功倍的效果，很多时候甚至比罗必达法则还要简单。因此有必要对本课题进行深入的研究。等价无穷小的概念无穷小的定义是以极限的形式来定义的，若，则称函数是无穷小。设某一极限过程中，和都是无穷小，且，则称与是等价无穷小，记为。常用的等价无穷小代换：当时，有。2等价无穷小量代换定理定理1.1 设在自变量的某一变化过程中，都是无穷小量. (1) 若为同一过程中的另一函数，且则.(

8、2) 若为同一过程中的另一函数，且存在，则也存在，且。证明：（1）因为,所以（2）因为。所以。定理1.2 设在自变量的某一变化过程中，及都是无穷小量。（1） 若且存在，则有。（2） 若且存在，则有。（3） 若，且存在，则有。 证明（1）因为，又因为，故上式等于1，所以，同理可证得（2）成立。 由（1）可得，故（3）成立。定理1.3 设均为同一过程中的无穷小量，且。若,则。证明：定理1.4 设均为同一过程中的无穷小量，且且,则。 证明：定理1.5 设为同一过程中的无穷小量。若，则有 证明：因为为同一过程中的无穷小量，所以有，又因为，所以。 定理1.6 设为同一过程中的无穷小量，且，则。 证明：由

9、于为同一过程中的无穷小量，且，由定理2.5有：。定理1.3至1.6就可以用来解决不定型极限的计算，直接应用等价无穷小量代换比洛必达法则要简便很多。 三、等价无穷小量代换定理的应用 例1 求极限解：因为当时，且，所以，又因为当时，且所以当时，则由定理2.2易知原式=.例2、求极限解：当时，。所以（例2应用于定理2.3）运用等价无穷小的替换需注意的地方替换时只能用分子分母整体部分去替换，或是把函数化成积的形式，再施行等价无穷小的替换。而在和、差式中就则不能替换，因为无穷小的和或差往往会改变它与无穷小量之比的“阶”数，故谨慎为好。如是的二阶无穷小，是的二阶无穷小，与是等价无穷小，但确是的四阶无穷小。

10、（常数）得证例如求错解：时，原式=正确解：原式=通过以上几例可以看出，利用等价无穷小的替换形式是多样的，灵活的，只要使用方法得当，求函数极限时，就能起到事半功倍的效果。四、结论本文主要讨论了等价无穷小在求函数极限中的应用，无穷小量的代换定理。代换定理的提出扩大了等价无穷小量代换的范围，使之能够更广泛地应用于求函数极限之中，用等价无穷小量代换来计算极限是一种常规的行之有效的方法，用它可以求解某些用其他方法难以求解的极限题使运算过程更为简洁。 参考文献1 孙发军基于层次型无线传感器网络的密钥管理协议研究D长沙：湖南大学，2007：57-602 William Stallings密码编码学与网络安全

11、-原理与实践第4版M北京：电子工业出版社，2006：240-2633 孙发军，吴昊一个基于TOSSIM的异构传感器网络仿真方案J北京：计算机仿真，2007，24(10)：126-1304 Haowen Chan，Adrian Perrig，Dawn SongKey Distribution techniques for sensor networksDWashington：Carnegie Mellon University，2002：1-275 Sencun Zhu，Sanjeev Setia，Sushil JajodiaLEAP: Efficient security mechanisms

12、 for large-scale distributed sensor networksAProceedings of the 10th ACM Conference on Computer and Communications SecurityCWashington, USA：ACM Press，2003：62-726 Intel CorpIntel iMotes and wireless sensor networksOL /research/downloads/snoverviewcd.pdf，20057 输入参考文献，参考文献著录采用顺序编码制8 输入参考文献，参考文献著录采用顺序编码制9 输入参考文献，参考文献著录采用顺序编码制10 输入参考文献，参考文献著录采用顺序编码制