积分中值定理(开区间)证明的几种方法.doc
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积分中值定理(开区间)的几种证明方法定理:设在上连续,则,使得。证一:由积分第一中值定理(P217), 使得 。 于是 由于函数在上连续,易证(可反证):(这还是书上例2的结论) ,使得,即。证二:令,则在上满足拉格朗日中值定理的条件,故 ,使得,即结论成立。(注:书上在后面讲的微积分基本定理)证三:反证:假设不,使得 ,由积分第一中值定理,知只能为或,不妨设为,即。 由于连续,故 (或),(这一点是不是用介值定理来说明)这样 (上限改为) (这个严格不等号不太显然要用书上例2结论来说明)矛盾。证四:设在上的最大值为,最小值为。若,则,可任取。若,则,有,故,即 同理有 由连续函数的介质定理知:,使得 。注:以上方法有的能推广到定理9.8的证明,有的不能,再思考吧!
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