微积分的发展史论文论文.doc

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1、微积分的发展史论文-论文微积分的发展史论文摘要：本篇论文主要介绍微积分的发展史，主要是萌芽创建及微积分学的一些基本概念。关键字：微积分 萌芽 牛顿 流数术 莱布尼茨 建立一、引言：微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。微积分学在科学、经济学和工程学领域被广泛的应用，来解决那些仅依靠代数学不能有效解决的问题。微积分学在代数学、三角学和解析几何学的基础上建立起来，并包括微分学、积分学两大分支。毫无疑问，微积分的发现是世界近代科学的开端。二、主要内容：一）微积分学的萌芽微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微分的互逆关系

2、。最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的。前两阶段的工作，欧洲的大批数学家一直追朔到古希腊的阿基米德都作出了各自的贡献。古希腊时期就有求特殊图形面积的研究；用的是穷尽的方法。阿基米德（Archimedes）用内接正多边形的周长来穷尽圆周长，而求得圆周率愈来愈好的近似值，也用一连串的三角形来填充抛物线的图形，以求得其面积；这些都是穷尽法的古典例子。对于这方面的工作，古代中国毫不逊色于西方，微积分思想在古代中国早有萌芽，甚至是古希腊数学不能比拟的。公元前7世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限思想；公元前4世纪墨经中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。刘徽公元26

3、3年首创的割圆术求圆面积和方锥体积，求得圆周率约等于3 .1416，他的极限思想和无穷小方法，是世界古代极限思想的深刻体现。1、中国古代对微积分的贡献微积分思想虽然可追朔古希腊，但它的概念和法则却是16世纪下半叶，开普勒、卡瓦列利等求积的不可分量思想和方法基础上产生和发展起来的。而这些思想和方法从刘徽对圆锥、圆台、圆柱的体积公式的证明到公元5世纪祖恒求球体积的方法中都可找到。北宋大科学家沈括的梦溪笔谈独创了“隙积术”、“会圆术”和“棋局都数术”开创了对高阶等差级数求和的研究。 南宋大数学家秦九韶于1274年撰写了划时代巨著数书九章十八卷，创举世闻名的“大衍求一术”?增乘开方法解任意次数字（高次

4、）方程近似解，比西方早500多年。特别是13世纪40年代 乘开方法、“正负开方术”、“大衍求一术”、“大衍总数术”（一次同余式组解法）、“垛积术”（高阶等差级数求和）、“招差术”（高次差内差法）、“天元术”（数字高次方程一般解法）、“四元术”（四元高次方程组解法）、勾股数学、弧矢割圆术、组合数学、计算技术改革和珠算等都是在世界数学史上有重要地位的杰出成果，中国古代数学有了微积分前两阶段的出色工作，其中许多都是微积分得以创立的关键。中国已具备了17世纪发明微积分前夕的全部内在条件，已经接近了微积分的大门。可惜中国元朝以后，八股取士制造成了学术上的大倒退，封建统治的文化专制和盲目排外致使包括数学在

5、内的科学日渐衰落，在微积分创立的最关键一步落伍了。之前，公元前7世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限思想；公元前4世纪墨经中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。刘徽公元263年首创的割圆术求圆面积和方锥体积，求得圆周率约等于3 .1416，他的极限思想和无穷小方法，是世界古代极限思想的深刻体现。2、世界近代微积分的酝酿到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问

6、题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(

7、积分学的中心问题)。以下介绍笛卡尔和费马的两种不同思想方法。 （1）笛卡儿求切线的“圆法”。 法国数学家笛卡儿用代数方法（即圆法）求出了曲线在其上某一点处的切线方程。 笛卡儿求曲线y=f（x）过点P（x，f（x）的切线斜率的“圆法”是：（如图）过C点（曲线在点P处的法线与x轴的交点）作半径为r=CP的圆C： 。因CP是曲线y=f（x）在P点的法线，则P应是曲线与圆C的“重交点”。若 是多项式函数，有重交点就相当于方程 有重根x=e，从而 ，比较系数得v与e的关系，代入e=x，便得过P点的切线斜率 。 以 为例。点 。设 ，经特定系数法得知： 。 故切线斜率 。笛卡尔的代数方法正是后来求切线方法

8、的雏形，牛顿就是以笛卡儿圆法为起跑点而踏上研究微积分道路的。（2）费马求极值的代数方法。1300微积分的发展史论文法国数学家费马求函数y=f（x）在点a处极值（如果存在的话）的代数方法是：用a+e代替a，并使f（a+e）与f（a）“逼近”，即f（a+e）f（a）。消去公共项后，用e除两边，再令e消失，即 ，由此方程求出的a就是f（x）的极值点。以 为例， ，。-1是f（x）的极值点。费马的方法几乎相当于后来微分学中的方法，只是以符号e代替了增量x。可以说费马已经走到了微积分的边缘了，再往前迈一步，微积分的发明人也许要改弦易辙了。17世纪上半叶一系列前驱性工作沿不同方向朝着微积分的大门踏近，但它

9、们还不足以标示微积分作为一门独立科学的诞生，这是因为它们在方法上还缺乏一般性。微分与积分的基本问题，在当时被看作不同的类型来处理。虽然也有人注意到了某些联系，但并没有人能将这些联系作为一般规律明确提出。因此，站在更高的高度将以往个别的贡献和分散的努力综合为统一的理论，成为17世纪中叶数学家们面临的艰巨任务。二）微积分的建立在创建微积分的过程中究竟还有多少事情要做呢1)需要以一般形式建立新计算法的基本概念及其相互联系,创立一套一般的符号体系,建立计算的正确程序或算法.2)为这门学科重建逻辑上的一致的,严格的基础.第1)项由牛顿和莱布尼兹各自独立完成.第2)项由法国伟大的分析学家A.L柯西(Cau

10、chy,1789_1857)及其他19世纪数学家完成。十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。1、牛顿的“流数术”牛顿对微积分问题的研究始于1664年秋，当时他正在剑桥大学学习。他因对笛卡尔圆法发生兴趣而开始寻找更好的切线求法。1665年11月，牛顿发明“正流数术”（微分法），次年5月又建立了“反流数术”（积分法）。1666年10月，牛顿将前两年的研究成果整理成一

11、篇总结性论文，此文现以流数简论著称，它是历史上第一篇系统的微积分文献。流数简论反映了牛顿微积分的运动学背景。该文事实上以速度形式引进了“流数”（即微商）概念，虽然没有使用“流数”这一术语。牛顿在简论中提出微积分的基本问题如下：（a）设有两个或更多个物体A，B，C，在同一时刻内描画线段 。已知表示这些线段关系的方程，求它们的速度 的关系。（b）已知表示线段 和运动速度 、 之比 的关系方程式，求另一线段 。牛顿对多项式情形给出（a）的解法。以下举例说明牛顿的解法。已知方程 ，牛顿分别以 和 代换方程中的 和 ，然后利用二项式定理，展开得，消去和为零的项，得 ，以 除之，得，这时牛顿指出“其中含

12、的那些项为无限小”，略去这些无限小，得 ，即所求的速度 与 的关系。牛顿对所有的多项式给出了标准的算法，即对多项式 ，问题（a）的解为 。对于问题（b），牛顿的解法实际上是问题（a）的解的逆运算，并且也是逐步列出了标准算法。特别重要的是，简论中讨论了如何借助于这种逆运算来求面积，从而建立了所谓“微积分基本定理”。牛顿在简论中是这样推导微积分基本定理的：设 为已知曲线 下的面积，作 。当垂线 以单位速度向右移动时， 扫出面积矩形 ，变化率 ； 扫出面积 ，变化率 。由此得 这就是说，面积 在点 处的变化率是曲线在该处的 值。这就是微积分基本定理。在牛顿以前，面积总被看成是无限小不可分量之和，而牛

13、顿则从确定面积的变化率入手，通过反微分计算面积。面积计算与求切线问题的互逆关系，在牛顿这里被明确地作为一般规律揭示出来，并成了建立微积分普遍算法的基础。牛顿的正、反流数术亦即微分与积分，通过揭示它们互逆关系的所谓“微积分基本定理”统一为一个整体。正是在这样的意义下，我们说牛顿发明了微积分。在流数简论中，牛顿还将他建立的统一算法应用于求曲线的切线、曲率、拐点、曲线求长、求积、求引力与引力中心等问题中，展示了其算法极大的普遍性与系统性。流数简论标志着微积分的诞生，但它在许多方面是不成熟的。所以，牛顿对于自己的发现并未作太多宣扬。他在这一年10月当选为剑桥大学三一学院成员，次年又获硕士学位，并不是因

14、为他在微积分方面的工作，而是因为在望远镜制作方面的贡献。但从那时起直到1693大约四分之一世纪的时间里，牛顿始终不渝努力改进、完善自己的微积分学说，先后写成了三篇微积分论文：分析学（1669）、流数法（1671）、求积术（1691）。它们真实再现了牛顿创建微积分学说的思想历程。分析学借用无穷级数来计算流数、积分以及解方程，它体现了牛顿微积分与无穷级数紧密结合的特点。该文以无限小增量“瞬”为基本概念，尽管回避了流数简论中的运动学背景，但却将瞬看成是静止的无限小量，有时直截了当令其为零，从而带上了浓厚的不可分量色彩。在流数法中，牛顿又恢复了其运动学观点，但对以物体速度为原型的流数概微积分的发展史论

15、文念作了进一步提炼。该文以清楚明白的流数语言，表述了微积分的基本问题。求积术是牛顿最成熟的微积分著述。牛顿在其中检讨了自己以往随意忽略无限小瞬的做法，一改对无限小量的依赖，提出了“首末比方法”，他举例说明自己的新方法如下：为了求 的流数，设 变为 ， 则变为 ，构成两变化的“最初比”： ，然后“设增量 消逝，它们的最终比就是 ”，这也是 的流数与 的流数之比。这就是“首末比方法”，它相当于求函数自变量与因变量变化之比的极限，因而成为极限方法的先导。牛顿对于发表自己的科学著作态度谨慎。上述三篇论文的发表都很晚，流数法甚至在他去世后才正式发表。牛顿微积分学说最早的公开表述出现在1687年出版的力学

16、名著自然哲学的数学原理之中。因此该书也成为数学史上的划时代著作。自然哲学的数学原理被爱因斯坦盛赞为“无比辉煌的演绎成就”。全书从三条基本的力学定律出发，运用微积分工具，严格地推导证明了包括开普勒行星运动三大定律、万有引力定律在内的一系列结论，并且还将微积分应用于流体运动，声、光、潮汐、彗星乃至宇宙体系，充分显示了这一全新数学工具的威力。尽管牛顿发明微积分主要是依靠了高度归纳算法的能力，即“新分析法”，但自然哲学的数学原理中并没有明显的分析形式的微积分。相反，整部著作却以综合几何语言写成。就数学而言，这种披在微积分上的几何外衣，使牛顿的流数术显得僵硬呆板。18世纪的英国数学，正是由于固守牛顿的几

17、何形式而未能得到应有的发展。2、莱布尼兹的微积分与牛顿流数论的运动学背景不同，莱布尼兹创立微积分首先是出于几何问题的思考。1673年，他因在帕斯卡的有关论文中“突然看到一束光明”，而提出了自己的“微分三角形”理论。借助于这种无限小三角形，他迅速地、毫无困难地了建立大量定理，其中包括后来“在巴罗和格里高利的著作中见到的几乎所有定理”。在对微分特征三角形的研究中，莱布尼兹逐渐认识到了什么是求曲线切线和求曲线下面积的实质，并发现了这两类问题的互逆关系。他的目标，是要比巴罗等人更上一层楼，建立起一种更一般的算法，将以往解决这两类问题的各 布尼兹便在序列的求和运算与求差运算间发现了它们的互逆关系。从16

18、72年开始，莱布尼兹将他对数列研究的结果与微积分运算联系起来。他通过把曲线的纵坐标想象成一组无穷序列，得出了“求切线不过是求差，求积不过是求和”的结论。莱布尼兹首先着眼于求和，从最简单的直线函数开始，并逐渐从一串离散值增量过渡到任意函数的增量。在1675年10月29日的一份手稿中，他引入了我们现在熟知的积分符号“ ”，这显然是求和一词sum首字母的拉长。稍后，在11月11日的手稿中，他又引进了微分记号dx来表示两相邻x的值的差，并开始探索 运算与d运算的关系。一年之后，莱布尼兹已经能够给出幂函数的微分与积分公式。不久，他又给出了计算复合函数微分的链式法则。1677年，莱布尼兹在一篇手稿中明确陈

19、述了微积分基本定理。给定一条曲线，其纵坐标为 ，求该曲线下的面积。莱布尼兹假设可以求出一条曲线（他称之为“割圆曲线”），其纵坐标为 ，使得： ，即 。于是原来曲线下的面积是： ，莱布尼兹通常假设曲线 通过原点。这就将求积问题化成了反切线问题，即：为了求出在纵坐标 的曲线下的面积，只需求出一条纵坐标为 的曲线，使其切线的斜率为 。如果是在区间a,b上，由0，b上的面积减去0，a上的面积，便得到： 。1684年莱布尼兹发表了他的第一篇微分学论文新方法，这也是数学史上第一篇正式发表的微积分文献。该文是莱布尼兹对自己1673年以来微分学研究的概括，其中定义了微分并广泛采用了微分记号，并明确陈述了函数和

20、、差、积、商、乘幂与方根的微分公式：我们知道，莱布尼兹还得出了复合函数的链式微分法则，以及后来又将乘积微分的“莱布尼兹法则”推广到了高阶情形： 。这些表明莱布尼兹非常重视微积分的形式运算法则和公式系统。新方法还包含了微分法在求极值、拐点以及光学等方面的广泛应用。（莱布尼兹手稿） 1686年，莱布尼兹又发表了他的第一篇积分学论文深奥的几何与不可分量及无限的分析。这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系。在这篇积分学论文中，莱布尼兹给出了摆线方程为：，目的是要说明他的方法和符号，可以将一些被其他方法排斥的超越曲线表为方程。而正是在这篇论文中，积分号 第一次出现于印刷出版物上。对符

21、号的精心选择，是莱布尼兹微积分的一大特点。他引进的符号体现了微分与积分的“差”与“和”的实质，后来获得普遍接受并沿用至今。三）微积分的完善前面已经提到，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。 不幸的事，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前。 其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后完成的。微

22、积分的发展史论文比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼词早10年左右，但是整是公开发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。他们的研究各有长处，也都各有短处。那时候，由于民族偏见，关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年。应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。直到世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究

23、，建立了极限理论，後来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星：瑞士的雅科布贝努利和他的兄弟约翰贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、柯西欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命。微积分是高等数学的主要分支，不只是局限在解决力学中的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的丰功伟绩。四）微积分的创建意义微积分的诞生是继Euclid几何建立之后，数学发展的又一个里程碑

24、式的事件。微积分诞生之前，人类基本上还处在农耕文明时期。解析几何的诞生是新时代到来的序曲，但还不是新时代的开端。它对旧数学作了总结，使代数与几何融为一体，并引发出变量的概念。变量，这是一个全新的概念，它为研究运动提供了基础推导出大量的宇宙定律必须等待这样的时代的到来，准备好这方面的思想，产生像牛顿、莱布尼茨、拉普拉斯这样一批能够开创未来，为科学活动提供方法，指出方向的领袖，但也必须等待创立一个必不可少的工具微积分，没有微积分，推导宇宙定律是不可能的。在17世纪的天才们开发的所有知识宝库中，这一领域是最丰富的，微积分为创立许多新的学科提供了源泉。微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一，一部微积分

25、发展史，是人类一步一步顽强地认识客观事物的历史，是人类理性思维的结晶。它给出一整套的科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强与加深了数学的作用。恩格斯说：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和惟一的功绩，那就正是在这里。”有了微积分，人类才有能力把握运动和过程。有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代化的社会。航天飞机。宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。在微积分的帮助下，万有引力定律发现了，牛顿用同一个公式来描述太阳对行星的作用，以及地球对它附近物体的作用。从最小的尘埃到最

26、遥远的天体的运动行为。宇宙中没有哪一个角落不在这些定律的所包含范围内。这是人类认识史上的一次空前的飞跃，不仅具有伟大的科学意义，而且具有深远的社会影响。它强有力地证明了宇宙的数学设计，摧毁了笼罩在天体上的神秘主义、迷信和神学。一场空前巨大的、席卷近代世界的科学运动开始了。毫无疑问，微积分的发现是世界近代科学的开端。五）微积分的现代发展人类对自然的认识永远不会止步，微积分这门学科在现代也一直在发展着。以下列举了几个例子，足以说明人类认识微积分的水平在不断深化。在Riemann将Cauchy的积分含义扩展之后，Lebesgue又引进了测度的概念，进一步将Riemann积分的含义扩展。例如著名的Di

27、richilet函数在Riemann积分下不可积，而在Lebesgue积分下便可积。前苏联著名数学大师所伯列夫为了确定偏微分方程解的存在性和唯一性，建立了广义函数和广义导数的概念。这一概念的引入不仅赋予微分方程的解以新的含义，更重要的是，它使得泛函分析等现在数学工具得以应用到微分方程理论中，从而开辟了微分方程理论的新天地。我国的数学泰斗陈省身先生所研究的微分几何领域，便是利用微积分的理论来研究几何，这门学科对人类认识时间和空间的性质发挥的巨大的作用。并且这门学科至今仍然很活跃。前不久由我国数学家朱熹平、曹怀东完成最后封顶的庞加莱猜想便属于这一领域。在多元微积分学中，NewtonLeibniz公

28、式的对照物是Green公式、OstrogradskyGauss公式、以及经典的Stokes公式。无论在观念 考虑欧式空间中的微积分是不够的。有必要把微积分的演出舞台从欧式空间进一步拓展到一般的微分流形。在微分流形上，外微分式扮演着重要的角色。于是，外微分式的积分和微分流形上的Stokes公式产生了。而经典的Green公式、OstrogradskyGauss公式、以及Stokes公式也得到了统一。微积分的发展历史表明了人的认识是从生动的直观开始，进而达到抽象思维，也就是从感性认识到理性认识的过程。人类对客观世界的规律性的认识具有相对性，受到时代的局限。随着人类认识的深入，认识将一步一步地由低级到

29、高级、由不全面到比较全面地发展。人类对自然的探索永远不会有终点。三、总结1、微积分的发明不是一蹴而就的，而是人类集体智慧的结晶，是无数科学家长期奋斗的结果。2、数学来源于实践，没有当时大量实际问题的涌现，没有科学家深入实际，将大量实际问题转化为数学问题的研究，是不可能产生微积分理论的。3、渊博的知识，谦虚的治学作风，是学术上取得成就的必要条件。牛顿说“如果我看得更远些，那是因为我站在巨人的肩膀上”，牛顿与莱布尼茨的高明之处之一就是善于总结他人的研究成果。提出自己的主张。参考文献:1.刘里鹏.从割圆术走向无穷小揭秘微积分，长沙：湖南科学技术出版社，20092.李文林.数学史概论，高等教育出版社，2002