一类向量矩阵的初等变换及其某些特性的研究.doc

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1、一类向量矩阵的初等变换及其某些特性的研究数学与应用数学 学生：王雁萍 指导老师：李龙摘 要：本文根据已有的实矩阵的一些重要特性，将矩阵中的某些实元素推广到有限维向量，在此基础上定义两种向量矩阵，得出了这些向量矩阵的初等变换规律和其他某些特性，并修正了已有文献中关于向量线性方程组的一些错误。关键词：向量矩阵；初等变换；初等矩阵引言张素梅老师在文献1中，定义了一种向量矩阵，研究了该向量矩阵的初等变换。李振宇老师在文献2中，定义了另一种向量矩阵研究该矩阵的初等变换，并得出类似于高等代数中“对于一个矩阵作初等行变换就相当于在的左边乘上一个相应的初等矩阵；对作初等列变换就相当于在的右边乘上一个相应的初等

2、矩阵”的结论。本文考虑将矩阵中的某些实元素推广到有限维向量由此定义一种新的向量矩阵，并进一步研究该向量矩阵的初等变换规律和其他某些特性。首先给出行（列）向量矩阵和初等变换的定义，由这个定义，得到了类似于高等代数中实矩阵的初等变换的基本定理及各种运算性质，揭示了向量矩阵的初等变换的实质建立起了向量矩阵与数字矩阵的联系。1 已有文献中向量矩阵的定义1.1 文献1中向量矩阵的定义定义 由向量空间中的向量组成的矩阵，称作数域上的向量矩阵。1.2 文献2中向量矩阵的定义设变量能用变量线性地表示，即 （1）其中；分别是实数域上的维和维向量空间（或线性空间）和中的向量，。向量空间（或线性空间，简记为）中的元

3、素不论其本来的性质如何，统称为（实）向量。这种从变量到变量的变换称为线性变换。线性变换（1）中的系数和向量可以构成一个矩阵：线性方程组 （2）称为实数域上的向量空间（或线性空间）中的向量线性方程组。其中，为上的未知向量， 为上的已知向量（常向量），。（2）式中的系数和中的常向量也可以构成一个矩阵定义 称为数域上的向量空间的行（或列）向量矩阵，如果中有且仅有一行（或列）为中的向量。2 向量矩阵的定义2.1 行（或列）向量矩阵的定义定义1 一个矩阵有一行（或列）或几行（或列）全是实数域上维向量空间上的向量，则称这个矩阵为行（或列）向量矩阵。如是列向量矩阵；（其中 ，）是列向量矩阵；而（其中，）是行

4、向量矩阵，在下文中就不特意说明了。2.2 同类向量矩阵的定义定义2 两个矩阵的相同的行（或列）全是上的向量，则称这两个矩阵为同类行（或列）向量矩阵，简称同类向量矩阵。如与是同类向量矩阵。2.3 零向量矩阵的定义定义3 元素全为零或零向量的向量矩阵为零向量矩阵,记为。很明显，实矩阵中的零矩阵是零向量矩阵中的一种特殊情况。3 向量矩阵中的初等变换定义4 下面三种变换称为行（或列）向量矩阵的初等变换i变换行（或列）向量矩阵的两行（或列）；ii 将一个非零的数乘以行（或列）向量矩阵的某列（或行）；iii 将行（或列）向量矩阵的某行（或列）乘以一个数加到另一列（或行）。向量矩阵的初等变换是向量矩阵的一种

5、最基本的运算。三种初等变换相当于左乘上三种初等矩阵（行变换），或右乘上三种初等矩阵（列变换）。这里的初等矩阵系指现行高等代数课本文3中的初等矩阵，即有：定理1 设为,为行（列）向量矩阵i对行向量矩阵的某列施以某种初等变换，恰等同于用某种阶初等矩阵右乘以。ii 对列向量矩阵的某列施以某种初等变换，恰等同于用某种阶初等矩阵左乘以。证：仅证交换行向量矩阵中的第列与第列所得到的行向量矩阵等于用初等矩阵右乘。将与单位矩阵分块为 其中，则有可见交换行向量矩阵中的第列与第列恰等于用初等矩阵右乘。类似地可证其他变换。例1 ：4 向量矩阵中的运算性质类似于高等代数中的矩阵的运算，向量矩阵右如下几种基本运算性质：

6、4.1 向量矩阵中的加法运算 设矩阵、为同类向量矩阵，其中 性质1 交换律：证： 类似地，有性质2 结合律：证： 得证。性质3 存在一个同类向量矩阵，使得,其中为零向量矩阵4.2 向量矩阵中的乘法运算性质4 ，即向量矩阵的乘法不满足交换率，其中，为具备高等代数力矩阵相乘条件的行（列）向量矩阵和列（行）向量矩阵。如：而性质5 分配律：，和是同类向量矩阵。4.3 向量矩阵中的数量乘法令,为单位矩阵，即现行高等代数课本文3中的单位矩阵，有性质6 性质7 性质8 4.4 向量矩阵的转置性质9 证： 可见性质9在向量矩阵中是成立的。性质10 证： 性质11 性质12 证： 得证。5 向量线性方程组设变量

7、能用变量线性地表示，即 （3）其中分别是实数域上维和维向量空间和上的向量，（）。 （4）其中（）；以上方程组（3）（4）是向量线性方程组的两种常见形式，若方程（3）的右边与（4）的右边分别是零向量和零， （5）这里的0表示零向量； （6）这里表示实数零。（5）（6）为方程（3）（4）对应的齐次方程组。若方程（3）有解， ，否则方程无意义，设是（3）的解，则=称为（3）的解向量。显然（3）可写成矩阵的形式 （7）其中，若方程（4）有解，否则方程无意义。显然（4）可写成矩阵形式 （8）其中，根据（5），（6）可以给出解向量的性质性质13 若，为（5）或（6）的解，则+也是（5）或（6）的解；性质1

8、4 若为（5）或（6）的解，则也为（5）或（6）的解；性质15 若，为（7）或（8）的解，则-为（5）或（6）的解；性质16 若为（7）或（8）的解，为（5）或（6）的解，则+仍为（7）或（8）的解。参考文献1 张素梅.两种特殊矩阵的初等变换J.邯郸师专学报.2002，12(03):17-182 李镇雨.初等变换及其应用J.安徽大学学报(自然科学版),1993,(02):18-243 王萼芳,石生明.高等代数M.北京:高等教育出版社,20034 张崇高，张建华.用向量矩阵法计算可转位端铣刀的几何角度和刀槽参数J.安徽工学院学报.1986,5(03):80-915 张梅,何华灿,金翊,谌章义,左

9、开中.一种实现平衡三进制向量矩阵乘法的光学方法J.计算机应用研究.2009,10(26):3812-38146 李梅,金翊,何华灿,滕亮.基于三值逻辑光学处理器实现向量矩阵乘法J.计算机应用研究.2009,8(26):2839-28417 吴昌悫,魏洪增.矩阵理论与方法M.北京:电子工业出版社,20068 张之正,刘麦学.广义Pascal矩阵代数结构及性质J.大连理工大学学报.2000,6(40):638-641Research on Elementary Transformation and Some Properties of a kind of Vector MatrixDepartme

10、nt: Mathematics and Computational Science Specialty: Mathematics and Applied MathematicsName: Wang Yanping Tutor: Li LongAbstract: Limited dimension vector matrix is studied in this paper by extending its elements from real number to limited dimension vector. Based on this concept, two kinds of vector matrix are defined and some elementary transformation rules and other characters of the vector matrix are also obtained. Finally, some mistakes of vector linear equations in the existing literature are modified.Key words: Vector Matrix; Elementary Transformation; Elementary Matrix