例谈二次曲线渐近线的几种求法毕业论文.doc

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1、 目录摘要1关键词1Abstract1Keywords11 引言12 求二次曲线渐近线的几种方法22.1 欧氏定义法32.2 极线法32.3 自共轭直径法52.4 中心法62.5 不变量法7参考文献：9致谢10例谈二次曲线渐近线的几种求法 摘要：本文从二次曲线渐近线的欧式定义和射影定义出发，阐述了二次曲线渐近的两种定义虽然在形式上有所不同,但两种定义是一致的,并且结合实例总结出了求解二次曲线渐近线方程的五种方法,从而从不同的角度来理解二次曲线渐近线本质特征，并且通过对这些实例的解答,对这些方法在解题时的优缺点进行了小结.同时用射影的观点阐明了二次曲线渐近线的本质特征,加强了射影几何中常用无穷远

2、点、极点、极线的直观理解,从而感受高等几何对初等几何的指导作用.关键词：二次曲线；渐近线；射影Asymptotic line of the second curve Few Solutions Abstract：This article from the conic ou definition and projective relation, expounds the definition of conic asymptotic of two kinds of different in formally defined though, but the two definition is con

3、sistent, and examples for solving quadratic curves summarized relation, and five methods from different view of quadratic curves, and relation nature of these examples by the answer of these methods in when the problem solving the advantages and disadvantages of summary. Meanwhile allusive view illu

4、strates with the essential characteristics of conic relation, strengthen the projective geometry infinity points, commonly used in the poles, extremely line, thus verstehende feel higher geometry to elementary geometry guidance. Keywords： conic; asymptote; projective1 引言二次曲线的渐近线是研究二次曲线性质和作图时常用的重要曲线,

5、用初等的方法求解一般二次曲线的渐近线,不但求解方法繁杂,而且对渐近线与二次曲线位置关系的理解仅局限于表面。本文从二次曲线欧氏定义和射影定义出发,给出几种不同求解二次曲线渐近线的方法,从不同的角度来理解二次曲线渐近线的本质特征,加强对射影几何中常用无穷远点、极点、极线等概念的直观理解,从而感受高等几何对初等几何的指导作用.我们知道在解析几何和高等几何中都给出了二次曲线渐近线的定义即欧氏定义和射影定义，虽然它们在文字上的表述有所不同但它们对二次曲线渐近线的定义的本质是一致的。接下来就对这两种定义及相关知识做一个简单的介绍：定义1.1 对于二次线满足： 的方向称为的渐近方向.易得出：任一二次曲线至多

6、有二渐近方向，具体地当=0时，曲线有二共轭复渐近方向； 当=0时，曲线有二不同实渐近方向；当=0时，曲线有二相同实渐近方向.定义1.2 二次曲线上任意两点间的连接线段，若不沿渐近方向，则称其为弦。若存在一点C，使得过C的任一弦均被C平分，则称C为二次曲线的中心.中心可由得出，即： ， ()其中 ；，分别为，的代数余子式.定义1.3（欧氏定义）过二次曲线中心且以渐近方向为方向的直线称为二次曲线的渐近线.定义1.4 （射影定义） 过二次曲线上的无穷远点的切线,如果不是无穷远直线,则称为二次曲线的渐近线.通过定义1.1和定义1.3我们可以得出椭圆有两条共轭虚渐近线,双曲线有两条实渐近线,抛物线不存在

7、渐近线,因此本文所谈论的二次曲线渐近线是针对双曲线而言.2 求二次曲线渐近线的几种方法设二次曲线方程为 （1）2.1 欧氏定义法通过定义1.1及定义1.2我们知道要求二次曲线的渐近线需要知道二次曲线的渐近线方向和中心坐标。从定义1.1中可以确定的值即渐近线方向，同时又可以通过定义1.2中来确定二次曲线中心坐标。这样渐近线的方程就被确定了.这种方法是在解析几何中介绍的，是初等几何中常用的一种用来求二次曲线渐近线的方法.例1 求二次曲线的渐近线方程.解：由可得渐近线方向为： 再由： ，解得中心为, 因此渐近线方程为： ， 化简得： 和 欧氏定义法是一种比较基本的求解二次曲线渐近线方程的方法,很容易

8、理解,不过我们可以从求解的过程中可以发现用这种方法需要求出二次曲线的渐近线及其中心,因此从这个方面来说这种方法比较复杂.2.2 极线法通过二次曲线的射影定义我们知道二次曲线的渐近线实际上是二次曲线无穷远点的切线，而根据射影几何中切点和切线的关系恰好是极点和极线的关系。因此利用求二次曲线无穷远点的极线即可求得渐近线方程。将方程（1）化成二次曲线齐次坐标方程为 （2）过二次曲线上一点的极线方程为。其中 即：而渐近线是二次曲线上无穷远点处相切的直线，所以当为无穷远点，其中为渐近线方向，故渐近线方程为 即：这里的无穷远点可以由方程（2）和无穷远直线联立方程组来确定.即.例2 求 的渐近线方程.解：先求

9、出二次曲线的无穷远点，设无穷远点为联立 （为的齐次方程）得：解得：无穷远点为则的极线为：即： 化为非齐次方程为： 的极线为：即： 化为非齐次方程为： 所以二次曲线的渐近线方程为： 和 极线法是通过二次曲线渐近线的射影定义得出的,很好的揭示出了二次曲线渐近线的本质,也比较容易理解,不过从解题过程来看还是比较复杂.2.3 自共轭直径法已知二次曲线，设其一直径为与无穷远直线之交点为，之极线为之共轭直径，的方程为：即： 其中，则 （3）此式即为二直径与成为共轭直径的条件.由于二次曲线无穷远点的切线实际是无穷远点的极线，设无穷远点为，根据（3.2极线法）可以知道极线方程为，即直径的方程为 当时，直径的方

10、程可以写为 （4）由于渐近线是二次曲线上无穷远点的切线，所以它是无穷远点的极线，因此渐近线是直径.而且它通过本身的极点，这就是说它是自共轭直径.所以在（3）式中有，即 （5）解（5）得到，再代入（4）便得到了两条渐近线的方程.例3 求二次曲线的渐近线方程.解：设渐近线方程为： 根据（5）有 得： 所以渐近线方程为：和化为非齐次方程为：和化简得： 和 自共轭直径法是一种重要的求解二次曲线渐近线方程的方法，这种方法的推导过程看上去非常复杂，不过通过解题过程我们可以看到只要掌握了这种方法，它对我们解题有非常大的帮助，因为它计算量不大，并且也很容易理解，便于记忆.可以说这是一种非常好的求解二次曲线渐近

11、线的方法.2.4 中心法由于二次曲线：与无穷远直线的交点满足方程 （6） 方程（6）表示两条相交于原点的直线，因为这两条直线与渐近线有公共的无穷远点，而渐近线分别与这两条直线平行，又因为渐近线经过中心，所以，若中心C的非齐次坐标为，则渐近线的非齐次方程为 （7）其中二次曲线的中心可以由 ， 其中，=，() ,，分别为，的代数余子式.例4 求二次曲线的渐近线方程.解：先求出二次曲线的中心，因为： ， ，所以中心，代入（7）得渐近线方程分解因式得： =0，=0化简得： 和 中心法和欧氏定义法都需要求出二次曲线的中心，不过我们可以看到这种方法与欧氏定义法相比有其简便的地方，不需要求出渐近线方向，同时

12、我们可以看到当二次曲线的中心为一个整点，用这种方法也比较简便.2.5 不变量法 二次曲线中只有双曲线才有实的渐近线，而双曲线是中心二次曲线，因此双曲线有不变量，那么对一条双曲线的渐近线方程能否用它的不变量来解决呢？我们知道二次曲线过其中心C的渐近线方程为（7）式。经过变形整理易得 而 ， 带入其中得 （其中,=，().因此，二次曲线0的渐近线方程可以用它的不变量来表示为： (8) 例5 求二次曲线的渐近线方程.解：由题得， 因此由（8）得：二次曲线的渐近线方程为： ，即：因式分解为：待添加的隐藏文字内容1即： 和 从形式上看，不变量法比较简单，也很容易记忆，不过我们细细看来，这种方法计算量还是

13、比较大，要求出，并且最后还要进行一次比较复杂的因式分解.参考文献：1吕林根等.解析几何M.北京:高等教育出版社，2006.52梅向明等.高等几何M.北京:高等教育出版社，2008.43方德植等.射影几何M.北京:高等教育出版社,19834魏跃春.二次曲线渐近线的十种求法J.高等函授学报, 2002,15(4):15-18.5赵建红,王煜.二次曲线渐近线的几种求法J. 通化师范学院学报,2007,28(8):12-14.6肖厚均.二阶曲线渐近线及其应用J.广东石油化工高等专科学校学报, 1997,7(2):52-57. 致谢在我毕业论文开题、调查、研究、和撰写过程中， 老师给予了我耐心、细致和全面的帮助，并在百忙之中抽时间对本文审阅、评议，这会使我终生受益。也非常感谢在我写论文期间给我帮助的同学和朋友。在四年的求学过程中也得到了许多老师多我的关心和指导。再次向各位老师以诚挚的谢意。