二阶微分方程解的存在唯一性定理毕业论文.doc

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1、摘要本文通过利用李普希兹条件证明一阶微分方程解的存在唯一性定理，从而证明二阶微分方程解的存在唯一性定理成立的条件也是李普希兹条件。一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理既是微分方程的理论基础，也是常微分方程得以广泛应用的基石。一阶微分方程解的存在唯一性定理中唯一性的证明，采用的是Picard的逐步逼近法，通过对一阶微分方程定理的证明，逐步延伸到二阶或者多阶，并应用的广泛的领域。微分方程是一门十分有用又十分有魅力的学科，随着社会技术的发展和需求，微分方程会有更大的发展。可以预测，随着以来数学为基础的其他学科的发展，微分方程还会继续扩展。关键词：常微分方程；李普希兹条件；解的存在唯一性定理Abst

2、ractIn this study, we should prove first-order differential equations through the Lipschitz condition of the existence and uniqueness theorem, then we prove that the second-order differential equations existence and uniqueness theorem is also satisfied Lipschitz conditions. Existence and uniqueness

3、theorem is the theoretical basis of first-order differential, and is also the basis of the application of differential equations and ordinary differential equations. We use the Picard method of successive approximation to complete the proof of the first-order differential equations, and then we can

4、also extend it to the second-order or multi-order, and apply it to other areas. Differential equation is very useful and very attractive, and differential equations will have a greater social development and needs. In the future, with the development of other disciplines, mathematic is used as the b

5、asis of other fields, and the differential equation will continue to expand.Keywords: ordinary differential equations; Lipschitz condition; Solutions for the existence and uniqueness theorem目录摘要IAbstractII目录III第一章 绪论1第二章 一阶微分方程解的存在唯一性定理32.1定理描述32.2证明步骤32.2.1逐次逼近法证明步骤32.2.2定理证明过程的命题化42.3应用实例及拓展8第三章 证

6、明二阶微分方程解的存在唯一性定理123.1定理描述123.2 证明步骤12第四章 总结18致谢21参考文献22外文文献译文24第一章 绪论常微分方程是一门在数学、物理、天文和工程技术等领域有着广泛应用的重要学科，是数学理论通向实际应用的桥梁之一，因此成为高等学校数学及许多工程技术专业学生必学重要内容。学好该门课程，对提高科学素养意义重大。而一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理既是微分方程的理论基础，也是常微分方程得以广泛应用的基石。一阶微分方程解的存在唯一性定理中唯一性的证明，采用的是皮卡的逐步逼近法，通过对一阶微分方程定理的证明，逐步延伸到二阶或者多阶，并应用的广泛的领域。19世纪20年代

7、，柯西建立了柯西问题 解的存在唯一性定理。1873年，德国数学家李普希兹提出著名的“李普希兹条件”，对柯西的存在唯一性定理作了改进。在是定性的研究中，与柯西、李普希兹同一时期，还有皮亚诺和皮卡，他们先后于1875年和1876年给出常微分方程的逐次逼近吧。皮亚诺在仅仅要求在点邻域连续的条件下证明柯西问题解的存在性，后来这方面的理论有了很大的发展，其中基本理论包括：解的存在及唯一解，延展性，解的整体存在性，解对初值和参数的连续依赖性和可微性，奇解等等。这些问题都是微分方程的一般基础理论问题。本文通过利用李普希兹条件证明一阶微分方程解的存在唯一性定理，从而证明二阶微分方程解的存在唯一性定理成立的条件

8、也是李普希兹条件。微分方程是一门十分有用又十分有魅力的学科，随着社会技术的发展和需求，微分方程会有更大的发展。可以预测，随着以来数学为基础的其他学科的发展，微分方程还会继续扩展。在积分方程的求解中，逐次逼近法是一种极其有效的方法。而皮卡序列在逐次逼近中也发挥了十分重要的作用。对皮卡序列的证明及应用做了一定的研究，并对皮卡逐次逼近法给出了一些论述，且将这种方法运用到了其他一些学科的研究中，如数值分析。本文主要是通过利用皮卡逐次逼近法证明存在唯一性定理，求解积分方程，对积分方程求近似解。同时逐次逼近法也可以应用于近似计算和误差估计。第二章 一阶微分方程解的存在唯一性定理2.1定理描述一阶常微分方程

9、初值问题解的存在唯一性定理：定理1 对一阶微分方程的柯西问题 ，若函数在矩形区域满足：i) 在R上连续；ii) 在R上关于y满足Lipschitz 条件（简称Lip条件），即存在常数（称为Lip常数）。使得对，恒有成立，则初值问题在区间上存在唯一解，其中。2.2证明步骤2.2.1逐次逼近法证明步骤第1 步：证明初值问题的解与积分方程 ，在区间上的连续解等价。第2步：构造Picard逐次逼近函数序列，证明函数序列在区间有定义且连续。第3步：证明函数序列在区间一致收敛。第4步：证明是积分方程的解。第5步：利用Lip条件和同一性证明解的唯一性。以上证明过程是现今许多教材上的流行思路，其过程复杂，教学

10、难度较大，为分化难点，本文作如下命题化处理。2.2.2定理证明过程的命题化1. 证明过程命题化的意义命题化后的五个命题虽在过程或形式上和五个步骤具有一致性，但命题化后对强调其各步的理论意义具有不可忽视的优势，它更能彰显定理内涵的逻辑层次，同时更有利于分散难点。证明该定理的灵魂是对微分方程具有划时代影响的Picard逐次逼近法，其迭代序列的构造及收敛性证明有力推动了人们对各种方程的求解探索，典型的思想方法对后继的其他数学分支的产生和发展起了重要催化作用。对定理证明步骤命题化处理，则有利于突出Picard迭代思想的地位与作用。2. 五个命题及简洁证明命题1 Cauchy问题与积分方程等价。证 是的

11、解，是的解。命题2 对，序列在有定义、连续，且。证 当时，在上有定义、连续，且命题成立。 假设时命题成立，即在上有定义连续，且，则在上有定义连续，且命题成立。根据数学归纳法由以上可得，对任意的自然数n命题2成立。命题3 Picard函数序列在上一致收敛。证 考虑函数项级数 ， 显然，的部分和为，于是在上的一致收敛问题化为级数在上的一致收敛问题。因为 ， ， ，设对正整数n，有，则对正整数n+1，有 由数学归纳法得，对所有的正整数n，有 。所以，当时，。又 ，由阿贝尔比值审敛法得正项级数收敛，再由Weierstrass判别法得级数一致收敛，从而一致收敛。命题4 是积分方程在上的连续解。证 由Li

12、p条件，有。而在一致收敛于，则序列在上一致收敛于，对两边取极限，得 即是积分方程的连续解。 命题5 设是的定义于上的连续解，则，。证 由假设，得 而在上连续，则存在M，使得 将带入式，得 将再带入式，依此递推并由数学归纳法，得由级数收敛得，从而。2.3应用实例及拓展上述逐次逼近法既是定理证明过程的核心内容，也是求Cauchy 问题近似解的理论基础和实用方法。但教材内容却只有理论证明，而忽略了实际例子的选用。以下补充实例则有利于突破定理的难点和重点。例 求微分方程的过点的解。解法一 Picard逐次逼近法。因为所求解过点，故可取 第1次近似解 第2次近似解 第3次近似解 第n次近似解 易见。由P

13、icard逼近法知是方程的过点的解。解法二 对应齐次方程为，所以两边积分，得齐次通解为 由常数变易法设非齐次通解为。代入，得 故得非齐次通解为 由得原Cauchy问题的解为，与Picard逼近法所求结果相同。 注 在解法一中，若以任意满足条件的连续函数作为初始逼近函数，将得到完全相同的解。初值问题解的局部存在性证明除以上的Picard 逼近法外, 还有利用不动点原理的证明法。后者因其涉及较深的理论知识而不被一般教材采用。但唯一性问题的常见证明则是多法并举各具特色。具有代表性的常见证法有四种。可以证采用了先证也是的一致收敛极限函数，再根据收敛序列的极限唯一性获证。可以采用的反证法中充分借助了几何

14、直观。而利用Cronwall Bellman不等式和比较原理的证明方法则具较好理论意义，但要先引入并证明该不等式则显得任务繁重。作者教学中采用的是递推的证明思路。这四种方法以及其它证法，它们在内涵上都是基于同一的逻辑思想。关于初值问题解的唯一性问题至今仍为一个研究课题, 其存在条件比Lip条件更弱的。基于知识拓展的需要, 本文对定理的条件与结论作以下简单讨论。1. 对于或的情形, 可有相应的定理。2. Picard定理对于微分方程组的初值问题也成立，即若，是维矢量时，证明类似，只需将证明中的绝对值改为矢量的模即可。3. 若去掉Picard定理中的Lip条件，则定理中解的存在性的结论仍成立，相应

15、定理称为Peano存在性定理。其证明可用Euler折线法或Schauder不动点定理完成。Euler折线法基本思想是在坐标系中，从出发连接以下点画一条折线其中 是的严格递增序列，连接点与点的线段的方向取为方向场在点的方向。该折线所表示的函数是的近似解，取时，得近似解的序列。它在上一致有界连续。由Ascoli Arzela引理，从中可选出一致收敛的函数子列,其极限函数连续，可以证明就是相应积分方程的解, 从而是的解。虽然欧拉折线法用于计算机求初值问题近似解并不实用，但其思想却是计算方法的理论基础：导数乘以步长近似于函数的相应增量。4.若将Picard 定理中的Lip 条件改为在内关于单调不增，则

16、的右行解（即解的存在区间为）存在且唯一。唯一性证明: 设,为初始问题的任意两个解, 令, 则,从而当时, 即。5. 若将定理条件加强为在带形域中连续，且关于满足Lip条件，则只要用在上的上界代替就可类似证明在中上的解存在唯一。第三章 证明二阶微分方程解的存在唯一性定理3.1定理描述定理2 (1)其中均在的邻域内连续，记作。若函数在始值的邻域G内对所有变量连续，且对和的一阶偏导数有界，则(1)在内存在唯一的解。3.2 证明步骤我们用逐步逼近法分五步证明该定理。1. 问题的转化通过引进向量和矩阵记号，我们把二阶线性微分方程初值问题转化称为一阶线性微分方程组的初值问题。令，则由并满足条件记，则同时记

17、矩阵，则二阶线性常微分方程(1)的初值问题等价于如下初值问题满足初值条件.为方便起见在实数域上的二维空间上任取，定义的范数，则。容易得到如下结论：(I) 向量函数在区域R上连续；(II) 向量函数在区域R上满足Lipschitz条件。这样定理2的证明就转化为证明如下定理：定理 考虑如下初值问题 (2)若函数在区域内连续，且对X满足Lipschitz条件，则(2)在区间上有并且只有一个解，其中常数2. 把初值问题(2)化成等价的积分方程 (3)引理 若，是初值问题(2)的解，则，也是(3)的解，反之亦然。证明：设，是 (2)的解，则有，且，从而有，整理得，即，则说明，是积分方程(3)的解。反之，

18、设是积分方程(3)的解，即。对该式等号两边同时对求导，有，且当时，则说明是积分方程(2)的解。引理成立。故要证明定理，只需证明积分方程(3)在区间I上有并且只有一个解。3. 用逐步逼近法构造Picard序列首先，引进如下叠代过程，其中，当时，在I上连续可微，且满足不等式，其中在在闭区域上的最大值。则，其中，即，且在I上式连续的。则又有在I上连续可微，且满足不等式。由此类推，可知构造的Picard序列完全位于闭区域中，且Picard序列在I上是连续的，并满足不等式。4. 证明Picard序列一致收敛到积分方程(3)的解由于，则可知序列的收敛性等价于级数的收敛性，故只需证明级数一致收敛即可。下面，

19、用归纳法证明不等式在I上成立，其中L为Lipschitz常数。当n=0时显然成立。假设当n=k时，不等式成立，那么当n=k+1时，即可知，当n=k+1时，不等式也成立。又由于，说明在I上收敛。由维尔斯特拉斯判别法知，在I上一致收敛，因此Picard序列在I上一致收敛。不妨令，则在I上连续，对等号两边同时令n趋向于，则有，容易证明在I上一致收敛，因此，即说明是积分方程(3)的一个解。5. 证明积分方程(3)解的唯一性我们用反证法来证明。设积分方程(3)在I上有两个不同的解和，令为他们的共同存在区间，为常数且，则由(3)知， (4)由于在区间J上，连续有界，不妨取其中一个上界K，则有，将它代回(4

20、)式右端有再将该式代入(4)式右端，归纳可得，由于收敛，故令，有。由此可知，即说明积分方程(3)的解释唯一的。 由初值问题(2)与积分方程(3)的等价性即知初值问题(2)的解存在且唯一，从而我们也完成了定理2的证明。第四章 总结通过一个学期的不断学习和实践，我的毕业设计终于完成了。在开始动手做毕业设计以前，总觉得毕业设计只是对这几年来所学知识的单纯总结，但是通过这次做毕业设计我才发现自己的看法有点太片面。毕业设计不仅是对前面所学知识的一种简单检验，而是更需要理解并且找到各种知识之间的联系，并且要将他们融会贯通到一起，这对自己的能力无疑是一种考验和锻炼。通过这次毕业设计，我明白了自己知识的欠缺。

21、自己需要学习的东西还太多，以前老是觉得自己的学习还可以，但是实际用起来才发现自己的眼高手低，对许多东西还知之甚少，甚至说是一无所知，以至于在设计中自己老是困难重重，不能顺利进行。通过这次毕业设计，我更加明白了学习是一个长期积累的过程，“冰冻三尺，非一日之寒；水滴石穿，非一日之功”。学习亦是如此，不能只在一朝一夕，要长期以往，坚持不懈。所以在以后的工作、生活中我们都会不断的虚心学习，努力提高自己知识水平和综合素质，这样才能使自己在以后的工作和生活中更能运用自如。这次毕业设计的课题是关于二阶常微分方程解的存在唯一性定理的证明，并且是在老师的一定指导下，由自己设计和完成的，锻炼了我独立思考解决问题的

22、能力。这些对我将来踏上工作岗位以后也是非常受益的，因为这是对我踏上工作岗位前的一次综合演练，也是一次真正的理论转化为实践的契机。尽管在设计的这个课题上有一定的成功案例可以去参考去借鉴，并且这些案例很成功也很出色，但是我仍然希望通过自己的努力来完成这个论文并希望有所突破。所以在本次证明过程中我完全是按照要求来进行，从课题分析开始，再进行总体研究、详细证明，最后到证明完成，每一步都非常细心非常用心，每一步都让我将理论学习的知识应用到实践中去。使我受益匪浅。在课题分析阶段，由于本次设计是一个以一阶常微分方程解的存在唯一性定理的证明为基础的，所以在设计前做好材料搜集的工作尤为重要。因此我对指导老师提供

23、的资料要反复认真的阅读，并且我还在图书馆借了很多关于常微分方程的书。 在总体设计阶段，由于我先前所做的大量工作，对课题分析做的比较全面，因此很快就对常微分方程的性质，解的存在唯一性定理有了充分的认识和理解，对课题的设计有了初步的规划，并着手列出论文的提纲。详细设计阶段，首先我考虑的是一阶常微分方程解的存在唯一性定理的证明，以及应用到的皮卡逐次逼近法进行系统的学习，通过逼近法来证明定理，找寻到合适的方法，对二阶常微分方程解的存在唯一性定理进行证明。最后，针对证明过程的不足之处通过查找资料和与老师同学沟通进行改进，重新纠错找到了一些错误并改正，使证明过程基本完善了。在以后的工作和学习中一定会对这些

24、引起高度的重视，争取不再让此类的事情发生。这也使我们意识到今后不论遇到什么情况都要分析原因，列出可能的情况后，沉着应对，必然能给予解决。下面我对整个毕业设计的过程做一下简单的总结。第一，接到任务以后进行选题。选题是毕业设计的开端，选择恰当的、感兴趣的题目.第二，题目确定后就是找资料了。查资料是做毕业设计的前期准备工作，我主要是通过去图书馆借阅相关书籍，当然在网络高度发达的当今时代，我还去中国知网和百度文库查阅了相关资料。感谢学校给我们提供的这些资源。第三，通过阅读找到的材料和认真学习，我对课题内容有了更近一步的了解，并且通过所学习的知识对一阶常微分方程的解存在唯一性定理进行证明。第四，了解了一

25、阶的证明之后，运用相应的方法对二阶常微分方程解的存在唯一性定理进行证明。第五, 写论文能提升以下几个方面的能力:1、文字表述:论文里的语言非常讲究，这方面需要继续加强。2、交流、讨论:文章的大致内容写完后，一定要和老师、其他同学多交流，让他们多提点建议。3、细心：公式编辑、标点符号、文章各段格式等，都需要细心。4、搜索：需要搜索很多资料，如何在短时间找到你想要得资料，得在搜索关键词上有所设置才行。一些好的数学网站，需要随时记录下来，以便日后继续使用。以上就是我这次设计的一点总结，总之，这次毕业设计让我学习到很多。虽然结束了，但这只能是一个开始。凡事我们只有对自己有了更高的要求，才能作为动力不断

26、取得新的成绩! 不管学会的还是学不会的，的确觉得困难比较多，真是万事开头难，不知道如何入手。 但只要你坚持不懈，一直用心努力，什么问题都是可以解决的。致谢本论文是在我的导师孙明正老师的亲切关怀和悉心指导下完成的。他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我。再次谨向孙老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。我还要感谢在一起愉快渡过毕业论文小组的同学们，正是由于你们的帮助和支持，我才能克服一个又一个的困难和疑惑，直至本文的顺利完成。同时也要感谢这篇论文所设计的各位学者。本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成这篇论文的写作。由于我的

27、学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友批评指正！参考文献1王高雄，周之铭，朱思铭，等.常微分方程M. 北京：高等教育出版社，19922东北师范大学微分方程教研室.常微分方程M.北京：高等教育出版社，20053孔志宏，陈喜娥.存在唯一性定理中唯一性的另外两种证法J.山西煤炭管理干部学院学报，2003（1）:23-264孟世才.常微分方程中解的存在唯一性定理教学初探J.重庆教育学院学报，2001,14（3）:445-4505鲜大权.常微分方程解的存在唯一性定理教学研究J.大学数学，2009,52（6）:54-576马如云，白定勇.二阶非线性边值问题解的存在唯一性定理J.纯粹数学与

28、应用数学，1998,14（2）：61-647P.B.Baily , L.F.Shampine , Waltman.P.E. Nonlinear Two Point Boundary Value ProblemsJ. New York: Academic Press, 1968(12):120-1248L.Collatz. The Numerical Treatment of Differential EquationsJ. Berlin: 3rd ed Springer, 1960(34):560-5649W.J.Coles, Sherman. Two-point problems for n

29、onlinear second or der ordinary differential equationsD. Math. Res. Center, 196410CH.Fabry, P.Habets. The Picard boundary value problem for nonlinear second order vector differential equationsJ. Differential Equation, 1981 (42): 186-19811A.Granas, R.Guenther, J.W.Lee. Nonlinear boundary value proble

30、ms for some classes of ordinary differential equationsJ. Rocky Mountain J.math. 1979 (10): 35-5812Antonion Tineo, An Existence Theorem for a class of BVP without Restrictions of the Bernstein-Nagumo TypeJ. Math.Anal.and Appl, 1993 (175): 25-32外文文献译文非线性函数的微分变换方法及其应用摘要 在这项研究中，提出了新的差分变换方法来解决一些非线性函数。建议的

31、方法是为了方便计算起见，由于简单的计算机编码并提供详细的解决方法。算法的新方法被应用到不同类型的非线性的函数模型中。关键词 差变换，逆差变换，Emdem-Fowler微分方程，非线性微分方程1. 引言微分变化法（DT）是一种数值方法求解微分方程或差分方程的系统1-7。微分变化方法最近引起关注，是由于关于此类的一些重要的应用可以用来解决工程问题1-7。文献中对于解微分方程都没有此方法，即用有因变量非线性变换方法解微分方程的方法。本文提出了解决这些问题的方法，例如非线性的Emden-Fowler和Lane-Emden类型的微分方程。在下一节中，我们开始通过引入微分变换的定义。在第3节中，我们给出变

32、换方法求解微分方程的新公式，在第4节中，我们展示了如何运用新公式，利用常微分方程。最后，我们用一个简洁的讨论总结本文。2. 基本定义在本节中，我们应当阐明一些定义和将在后续中被用到的转换表。细节请见参考文献1-7。微分变换方程定义如下4：(1) 其中是原函数，Y (k)是转换方程。这里意味着x的k阶导数。 Y (k)的微分变换方程被定义为：(2) 结合(1)和(2)我们得到(3) 从以上定义可以很容易地看到，差分变化的概念是从泰勒级数展开而得到的。(1)和(2)的基本的数学运算很容易得到，并在表一中给出结论。原函数变换函数(where c is a constant)3. 非线性函数的微分变换

33、 非线性函数Ny(x)的微分变化定义如下：(4) 其中Ny(x)是原非线性方程，N(k)是变换方程。N(k)的微分变化定义为(5) 从(4)和(5)我们得到这意味着微分变换的概念是从泰勒级数展开而得到的，但该方法不能确定象征性的衍生工具。然而，相关的衍生工具通过迭代的方法运用微分方程的变换方程可以进行计算。从定义(4)和(5)很容易证明变换方程完成基本的数学运算，如表二所示。非线性函数变换形式在实际应用中，函数Ny(x)表示一个有限序列，(5)可以写作：这里的m是决定这项研究中的收敛的自然频率。非线性差分变化不需要针对每个多项式的计算公式。初等展开的代数、三角或泰勒展开式只需要展开操作。Map

34、le大多被用来进行方便的计算工作。通过讨论以下合适的非线性形式，非线性差分变换的概念将更加清晰。并且按照以下不同的情况提出了建议方法的应用。Case 1: 如果 则 其中 ，从变换定义(4)中，我们得到 其中Case 2: 如果 则 其中 则 从变换定义(4)中，我们得到 其中 Case 3: 如果 则 我们首先设(6) 将(6)带入 中得到(7) (7)中的展开式可以按组重新排列，提出每一项的公共元素。这样，我们可以将(7)改写为：把以上带入方程 中，并赋值得到：Case 4: 如果 则 带入方程 中并赋值得到： 在这一节中，我们给出了两个数值例子，来说明上一节中的方法的有效性。例 1: 考

35、虑非线性微分方程(8) 初始条件为(9) 我们很容易得到微分方程(8)的精确解为。然后，通过变换形式表一和表二的初等属性，我们可以找到方程(4.2)变换形式如下：(10) 其中和分别是是方程和的变换形式，应用初始条件(4.2)，我们得到(11) 现在，把(11)带入(10)中，我们容易得到以下Y (k)的值, , 最后，使用逆变换，我们得到(12) 因此，(12)的封闭形式为 例 2: 考虑非线性的Emden-Fowler型方程11,12(13) 初始条件为(14) 显而易见，(13)的精确解是。然后，然后，通过变换形式表一和表二的初等属性，我们可以找到方程(4.2)变换形式如下：或者(15)

36、 其中Y (k)和N(k)分别是函数y(x)和的变换形式。应用初始条件(14)，我们得到(16) 现在，把(16)代入(15)中，我们很容易得到Y (k)的值, , , 最后，运用的逆变换，我们得到(17) 因此，方程(17)的封闭解是 5. 结束语本文的主要目标是为了通过微分变换方法来解非线性微分方程。所有问题的近似解都可以用所建议的方法来解决。数值方法给出了几乎取决于变换方法的类型的解析解。它还表明，这种方法的数值算法，很容易计算所需的洗漱或者设置计算机代码，以获得许多方面的一系列我们需要的解决方案。外文文献原文The Differential Transform Methods For

37、Nonlinear Functions And Its Applications Yildiray Keskin and Galip OturancAbstract. In this study, new differential transform methods were presented to solve some nonlinear functional. The suggested methods are convenient for computational purpose because of its simple computer coding and its provid

38、ing detailed solutions. The algorithms of the new methods were applied to the different types of nonlinear functional models.Key words: Differential transformation, differential inverse transformation, Emdem-Fowler differential equation, nonlinear differential equation.1. Introdution Differential tr

39、ansform method (DT) is a numerical method for solving differential equations or system of the differential equations 1-7. Differential transform method recently had interest because of some important applications for solving engineering problems 1-7. There is no known method in literature for solvin

40、g differential equations which have nonlinear dependent variable by transform method. This paper presents new formulae for solving these problems i.e. the nonlinear Emden.Fowler and Lane-Emden 8-12 type differential equations. In the next section we begin by introducing the definitions of the differ

41、ential transform methods. In section 3, we give new formulae for solving differential equations by transform methods. In section 4, we show how to apply the new formulae using for ordinary differential equations. Finally, we conclude this paper with a brief discussion in section 5.2. Basic Definitio

42、nsIn this section, we shall state some definitions and transform table which will be needed in sequel. For detail we refer to Refs.1-7. The differential transform of the function y (x) is defined as follows 4:(1) where y (x) is the original function and Y (k) is the transformed function. Here means

43、the th derivative with respect to x.The differential inverse transform of Y (k) is defined as(2) Combining (1) and (2) we obtain(3) From above definitions it is easy to see that the concept of differential transform is derived from Taylor series expansion. With the aid of (1) and (2) the basic mathe

44、matical operations are readily be obtained and given in Table 1.Original FunctionTransformed Form(where c is a constant)3. The Differential Transformation of Nonlinear FunctionalDifferential transform of nonlinear function Ny(x) is defined as follows:(4) Where Ny(x) is the original nonlinear function and N(k)