一阶常微分方程的初等解法.doc
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1、 本科毕业论文题 目:一阶常微分方程的初等解法院 (部): 理学院专 业: 信息与计算科学班 级: 信计082姓 名: 落在天涯海角边学 号: 2008121270指导教师: 李宗成完成日期: 2012年6月5日目 录摘 要IIIABSTRACTIV1 前 言11.1 选题的背景和意义11.2 本文要解决的问题和所用的方法11.3 成果及意义22 微分方程的基本知识32.1知识脉络图解32.2微分的基本概念43 一阶微分方程的解法73.1线性方程73.2变量分离方程83.3恰当微分方程与积分因子123.4一阶隐式微分方程153.5近似解法194 一阶微分方程解法的应用举例204.1等角轨线21
2、4.2动力学问题234.3电学问题244.4 光学问题264.5 流体混合问题28总 结30谢 辞31参考文献32 摘 要常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分,在整个数学中占有重要的地位。本文主要通过讨论一阶微分的相关解法问题,讨论的类型有:变量可分离方程、齐次微分方程、积分因子;本文主要归纳了一阶微分方程的初等解法,并同时例举典型例题加以说明。关键词:一阶常微分方程;变量变换;恰当微分方程;积分因子First-order Differential Equation With The Pirmary Method For NalysisABSTRACTOrdinary differen
3、tial equation is an integral part of the mathematical analysis or basic math, Occupies an important position in the mathematics. In this paper, through the discussion of first-order differential solution, the types of discussion are: Variable separable equation, Homogeneous differential equation, In
4、tegrating factor. This paper summarized the elementary solution of first order differential equations. and make some examples to illustrate.Key Words: First-order differential equation; Tariable transformation; Appropriate differential equation; Integrating factor 1 前 言1.1 选题的背景和意义微分方程差不多是和微积分同时先后产生
5、的,苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候,就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时,对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学,以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展,如复变函数都对常微分方程的发展产生了深刻的影响,当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。牛顿研究天体力学和机械力学的时候,利用了微分方程这个工具,从理论上得到了行星运动规律。后来,法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发
6、现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。微分方程的理论逐步完善的时候,利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律,只要列出相应的微分方程,有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。因此,常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学,而且越来越多烦人应用于社会科学的各个领域。常微分方程在很多学科领域内有着重要的作用,自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等等,这些问题都可以化
7、为求微分方程的解,或者化为研究解的性质的问题。1.2 本文要解决的问题和所用的方法本文主要解决了三个问题:(1)一阶微分方程的基本知识和性质;(2)一阶微分方程的解法;(3)一阶微分方程解法的应用举例。一阶微分方程的初等解法,即把微分方程的求解问题化为积分问题,其解的表达式由初等函数或超越函数表示。1.3 成果及意义现在,常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用,自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解,或者化为研究解的性质的问题。应该说,应用常微分方程理论已经取得了很大的成就,但是,它的现有理论也
8、还远远不能满足需要,还有待于进一步的发展,使这门学科的理论更加完善。2.微分方程的基本知识本部分主要介绍微分方程的知识和基本概念。2.1知识脉络图解常见几类一阶微分方程的初等解法变量分离法,方程特征变量变换法,齐次方程,令线性方程(常数变易法或公式法)线性齐次方程(分离变量法)伯努利方程令恰当方程凑微分法或公式法利用积分因子将非恰当方程化为恰当方程可以解出(或)的方程一阶隐方程与参数表示不显含(或)的方程2.2微分的基本概念2.2.1常微分方程和偏微分方程微分方程:将自变量、未知函数以及它的导数联系起来的关系式。常微分方程: 只含一个自变量的微分方程。偏微分方程:自变量的个数为两个或两个以上的
9、微分方程。方程是常微分方程的例子,是未知函数,仅含一个自变量。方程是偏微分方程的例子,是未知函数,是自变量。微分方程的阶数:微分方程中出现的最高阶导数的阶数。一般的阶微分方程具有形式这里是、的已知函数,而且一定含有;是未知函数,是自变量。2.2.2线性和非线性如果微分方程对于未知函数及它的各阶导数的有理整式的整体而言是一次的,称为线性微分方程,否则是非线性微分方程。如:是非线性微分方程。一般的阶线性微分方程具有形式这里是的已知函数。2.2.3解和隐式解微分方程的解:满足微分方程的函数称为微分方程的解.即若函数代入式中,使其成为恒等式,称为方程的解。如果关系式决定的隐函数为方程的解,称是方程的隐
10、式解。例如,一阶微分方程有解和;而关系式是方程的隐式解。2.2.4通解和特解通解:具有个独立的任意常数的解称为方程的通解。注:所谓函数含有个独立常数,是指存在的某一邻域,使得行列式 其中。特解:方程满足特定条件的解。 定解问题:求方程满足定解条件的求解问题.定解条件分为初始条件和边界条件,相应的定解问题分为初值问题和边值问题。2.2.5积分曲线和方向场一阶微分方程的解是平面上的一条曲线,将它称为微分方程的积分曲线;而方程的通解对应于平面上的一族曲线,称为方程的积分曲线族;满足初始条件的特解就是通过点的一条积分曲线。 方程的积分曲线上每一点的切线斜率刚好等于函数在这点的值,也就是说,积分曲线的每
11、一点及这点上的切线斜率恒满足方程;反之,如果一条曲线上每点的切线斜率刚好等于函数在这点的值,则这一条曲线就是方程的积分曲线。 设函数的定义域为,在内每一点处,画上一小线段,使其斜率恰好为,将这种带有小线段的区域称为由方程所规定的方向场。 在方向场中,方向相同的点的几何轨迹称为等斜线.微分方程的等斜线方程为。3.一阶微分方程的解法微分方程的一个主要的问题就是“求解”,即把微分方程的解通过初等函数或它们的积分表发出来。但一般的微分方程无法求解,只能是对某些类型通过相应的方法求解。这里详细介绍几种方法。3.1线性方程3.1.1 伯努利方程形如的方程,称为伯努利微分方程,这里,为的连续函数,是常数。利
12、用变量变换可将伯努利微分方程化为线性微分方程。事实上,对于,用乘两边,得到,引入变量变换,从而将代入得到,这是线性微分方程,可按常数变易法求得它的通解,然后代回原来的变量,便得到的通解.此外,当时,方程还有解。例 求解微分方程。解 这是一个伯努利微分方程,两边同乘以,得,令,则有,上式是一个一阶非齐次线形微分方程,由常数变易法可求得上式的解为,从而原方程的通解为3.2变量分离方程形如 (1)的方程,称为变量分离方程,分别是,的连续函数,这是一类最简单的一阶函数。如果,我们可将(1)改写成,这样,变量就“分离”开来了。两边积分,得到 (2)这里我们把积分常数明确写出来,而把,分别理解为,的原函数
13、。常数的取值必须保证(2)有意义。把(2)理解为,的隐函数关系式,或的,函数关系式,微分(2)两边,知对任意常数,由(2)所确定的函数关系式满足(1),因为(2)是(1)的通解。因(2)式不适合情形,但如果存在使,则直接验证知也是(1)的解。因此,还必须寻求的解,当不包括在方程的通解(2)中时,必须补上特解。例 求解方程。解 当时,将变量分离,得,两边积分,得,则有,即,因当显然也是所求方程的解,且包含于上式,故所求方程的通解为,其中为任意常数。3.2.1 可化为变量分离方程的类型一阶线性微分方程, (1)其中,在考虑的区间上是的连续函数,若,(1)变为, (2)称为一阶齐次线性微分方程。若,
14、(1)称为一阶非齐次线性微分方程。变量分离方程,易求得它的通解为,这里是任意常数。有些方程本不是可分离变量微分方程的类型,但经过变量变换可化为分离变量的微分方程。可分为三种情况来讨论:的情形这时有,因此,只要作变换,则方程就转化为变量分离方程。的情形这时方程可写为,令,则方程化为,这是变量分离方程。及,不全为零的情形因为方程右端分子,分母都是,的一次多项式,因此代表平面上两条相交的直线,设交点为,若令则化为从而变为因此,求解上述变量分离方程,最后代回原方程,即可得到原方程的解。例 求解方程。解 方程可化为,令,将代入上式,可得,易知是上式的一个解,从而为原方程的一个解。当时,分离变量得,两边积
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